吉林省长春市闵家镇中学高三数学文期末试题含解析

吉林省长春市闵家镇中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=+x的反函数图像是(

)

参考答案：答案：B2.设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的解，则等于

（

）A.5

B.

C.13

D.

参考答案：A

设，则方程必有根。不可能有两根，否则原方程有四解或五解。关于t的方程只能有一个正数解，且为，再令，求得。3.

是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：A4.已知函数（）为奇函数，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据奇函数求出a的值，再求f(1)得解.【详解】由题得经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数.所以.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的侧面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.若向量，则下列说法中错误的是（

）A．

B．向量与向量的夹角为

C．D．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得参考答案：D试题分析：，A正确；，B正确；，C正确；因此D错误，故选D．考点：向量的垂直，向量的共线，平面向量基本定理．7.《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（

）A．75

B．85

C.105

D．120参考答案：D设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得，，故选D.

8.设变量x,y满足,则2x+3y的最大值为(

)A.20

B.35

C.45

D.55参考答案：D9.设，则的大小关系是

A.

B.

C.

D.参考答案：D，所以根据幂函数的性质知，而，所以，选D.10.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A.

B.

C．π

D．2π参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知变量满足，目标函数的最小值为5，则c的值为

．参考答案：5如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点

时有最小值5，此时

，解得坐标为，代入得.【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3.确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

；体积为

.参考答案：

(1).

(2).几何体为一个三棱锥与一个四棱锥的组合体，如图，其中所以表面积为，体积为点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．14.不等式的解集是

.参考答案：或，当时，由得，得；当时，由得，解得，所以不等式的解集为.15.已知数列满足，则数列的前n项和_______．参考答案：16.点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是__________．参考答案：17.若tanα=，则=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数关系式求出sinα和cosα，再由=，能求出结果．【解答】解：∵tanα=，∴sinα=，cos，或，cos，∴=﹣sin2α===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，当时，函数有极大值.（Ⅰ）求实数、的值；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：①当时，，令得当变化时，的变化情况如下表：-+-单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格，又，，

略19.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A－BE－D的大小．参考答案：20.（本小题13分）已知椭圆：的离心率，是椭圆上两点，是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点.（1）求直线的方程；（2）是否存在这样的椭圆，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）离心率，椭圆：设直线的方程为，整理得

①

②由是线段AB的中点，得解得，代入②得，直线的方程为（2）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得

又设

∴假设存在这样的椭圆，使得以为直径的圆过原点，则得，又故不存在这样的椭圆.21.设函数f（x）=ex﹣ax﹣1，对?x∈R，f（x）≥0恒成立．（1）求a的取值集合；（2）求证：1+．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令x=（k∈N*），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＞0；当x＜lna时，f′（x）＜0，因此当x=lna时，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．因为f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，∴f（x）min=a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，令g（a）=a﹣alna﹣1，函数g（a）的导数为g′（a）=﹣lna，令g′（a）=0，解得a=1．当a＞1时，g′（a）＜0；当0＜a＜1时，g′（a）＞0，所以当a=1时，g（a）取得最大值，为0．所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，解得a=1；故a的取值集合是{a|a=1}．（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时，等号成立，令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln1，则有1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．22.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==25，y==