2022年广东省揭阳市华侨高级中学高三数学理联考试题含解析

2022年广东省揭阳市华侨高级中学高三数学理联考试

题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

a=log}2.bHogjSic=log[5

1.设1，则()

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<b.D.b<c<a

参考答案：

C

略

2.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7

辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往H地至少72吨的货物，派用的每辆车需

满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润45()

元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计

划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为

A.4650元B.4700元C.4900

元D.5000元

参考答案：

C

3.命题“Vx€R„都有ln(x2+l)>0”的否定为

(A)VxW&,都有InX+DMO⑻讥"，使得ln(x()2+l)>0

2

(C)PxWR,都有ln(x2+l)<0(D)W?',使得ln(x0+l)<0

参考答案：

D

略

4.复数1-%(***).

A.2-JB.l-2iC.-2+iD,-l+2i

参考答案：

C

5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于48g的概率为03,质量小于485g

的概率为0.32,那么质量在［48,485)(g)范围内的概率是()

A.062B,038c,002D.068

参考答案：

c解析:032-0.3=0.02

6.向量。=(2。3=(兀-2),若则［+%=()

A.(3,-1)B.(-3,1)C.(-2,-1)D.(2,

1)

参考答案：

A

略

7.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要

将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传意为：996斤棉花，分别赠送给8个子

女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等

级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()

A.65B.184C.183D.176

参考答案：

B

分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最

终结果.

详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996,

设首项为4,结合等差数列前〃项和公式有:

«x7

、;工，万♦28x17=996

解得：■=的，则%=.+7d=65"xl7=lM

即第八个孩子分得斤数为1M.

本题选择8选项.

点睛：本题主要考查等差数列前〃项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.函数y=x'—3x的极大值为肛极小值为〃，则m+n为

A.0B.1C.2

D.4

参考答案:

A

9.如图，在正方体从ABCD-EFGH中，下列命题中错误的是

A.BD//面F1IA

B.EC±BD

C.ECJ_.面FHA

D异面直线BC与AH所成的角为60°

参考答案:

D

略

10.三棱锥S-A8C中，SAL底面A8C,若=AC-4C=3,则该三棱锥外接球的

表面积为（）

21g

A.187rB.~Tc.217rD.427r

参考答案：

C

【分析】

先利用正弦定理计算出AABC的外接圆直径2r,再结合三棱锥的特点，得出球心的位置:

过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计

算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案.

【详解】解：由于AB=BC=AC=3,则AABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理

1r--------=2^

知，△ABC的外接圆直径为皿3,

由于SAJ_底面ABC,所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱

锥的外接球的球心，所以外接球的半径

21

因此，三棱锥S-A8C的外接球的表面积为4兀配=4兀x4=2171.

故选：C.

【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能

力，属于中等题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

3+i

11.已知i为虚数单位，则1-1=.

参考答案：

1+2

略

y=—1

]2.函数如。式41)的定义域为.

参考答案：

3

(4,1)

13.

理统计某校400名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右，规定不低于

60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率是，优秀人数是。

3

参考答案:

答案:80%

x-y+lNO

14.如果实数x、>满足条件lx+>+14°,那么2x__y的最大值为.

参考答案：

1

15.设/。)是定义在R上的奇函数，且y=/5)的图象关于直线*=5对称，则

+/(2)+〃笏+/(4)+/(5)=

参考答案：

0

16.平面向量。与'的夹角为60°,。=(2.0),在卜1,则|。+2牛=.

参考答案：

243

略

17.已知等差数列｛©的前力项和为%，若生+/=】4,则三等于

参考答案：

84

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参

加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60),[60,70),[70,

80),[80,90),[90,100],并绘制出频率分布直方图，如图所示.

(I)求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试

的成绩低于90分的概率；

(II)设A,B,C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M,N两名学生的考试成绩

在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M,N至少有一人

被选中的概率；

（III）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）.

（注：将频率视为相应的概率）

参考答案:

【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的

概率.

【分析】（I）根据频率分布直方图中频率和为1,求出a的值，估计这名学生参加考试

的成绩低于90（分）的概率；

（II）用列举法求出从这5位学生代表中任选两人的所有选法种数以及代表M,N至少有

一人被选中的选法种数，求出对应的概率；

（III）求出样本的中位数落在那个区间内.

【解答】解：（I）根据频率分布直方图中频率和为1,得；

a=0.1-0.03-0.025-0.02-0.01=0.015,

二估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率为；

I-0.15=0.85；...

（II）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：

AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN；

代表M,N至少有一人被选中的选法共7种，

分别为：AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN；

设“学生代表M,N至少有一人被选中”为事件D,

7

.•.P（D）...

7

•••学生代表M,N至少有一人被选中的概率为元;

(III)v0.01xl0+0.2xl0=0.3<0.5,

0.3+0.025x10=0.55>0.5,

.•.样本的中位数落在区间［70,80)内.…

19.(本小题满分16分)

X=l(a>b>0)

已知椭圆/3的左顶点为力，左右焦点为

外玛，点尸是椭圆上一点,

"二9用弓两且△杼；外的三边构成公差为1的等差数列.

(I)求椭圆的离心率；

(11)若0尸=2/，求椭圆方程;

(IH)若c=l,点P在第一象限，且△尸鸟玲的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一

个公共点，求点尸的坐标.

参考答案:

解：(I)依黑&4-o»0),g(-c,O),玛(c,0).设Rs,f),.

―►3—­1―-31

由PA--PF,—PF得：(-o-s,-t)=-(-c-s,-t)—(c-s,-f>

22222

31

即一4-S=-(-C-S)--(C-S).4=2c.・

22

所以椭困的离心率是L;........................................................................

4分,

(H)不妨设M<P外.由6玛=2c.及A/%号的三边构成公差为1的零差数列,再结合。=2。

,r+r=28①

所以V((S+C)2+£2=QC-1)2②.

(S-C)2+产=QC+1)2③

①X2-②-③得：?=9,所以椭［8方程是二+亡=1

10分・

3627

22222

(III)椭圆方程是L+匕=1,设产(s/),贝二+1=1,3=4一竺

43433

以椭圈长轴为直径的圆的圆心为（0,0）,半径为2,“

设△朋用的外接圈方程是，+y2+Dx+£y+H=0,P

又用,马美干1y轴对称，故£）=0,即圈方程为，+J+劭+9=0,，

由瓦（-1,0）和尸（s,z）在圆上得:，

..F=-l

l+F=0

,26s2+Z2-l_Z2-9....................12分.

S2+Z2+£'Z+F=0

t3t

则圆心坐标为河。-与），半径为厂=亚^^=写丑，

△产田舄的外接画与以椭圆长轴为直径的画只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，,

即。的=|2-r|p

固=2_亚史或固=亚三一2（此方程无解）......................14分-

2222

解得：|总|=3'，/

由^_±=三得:2/一%-18=0,/=--（舍去）或£=一6（舍去）一

3122

/-93c33

由^~~^=-2得：2d+%-18=0,£=2或£=-6（舍去），点尸。；）."

3t222

法二：由盘△尸巴玛的外接圆圆心必在〉轴上，设其圆心为〃(0.加)，半径为r,则

3?+4/3=12

,/=/+1=(s-O)2+("切)'，.......................................................................12分。

|w|=2-r

5

r=~~3

4£=­

由题$",加,r>0,从而斛得，,2〉

3

m=­s=1

4

所以点尸坐标为(1$........................................................................................16分~

略

20.已知函数〃力=3')/

(1)若盘=2,求函数〃9的单调递减区间；

(II)若函数/(“)在(一U］上单调递增，求a的取值范围；

(III)函数/(力是否可为火上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明

理由.

参考答案：

⑴(9.词［立吟⑵UH；⑶不可能

iltlbi折：<I>当。=2与，/(x)={®-?)<*,

(¥)=(2«■(2JK).".(2JK3^)■，(2***.・8・———・**—―***—•••♦——・“―—・《・»«•—・・♦・・・―2/，

(x)40f^0240,x4—xz.•••«*•・一*•«・♦・**•»««•••一♦••••»•••«•••*•<■*•・》«••••3

J(x)(区间S.(-®］和［,Hej一一一一4分

(II)因为函数，(x)在(一U］上单凋递增，

所以，(x)N0对于Xe(T可都成立，

即，(力［。“。-4-力/“对于工«一14］都成立

、丁皿,1

<7>--------=Xfl

故有xll.................................................................6分

g(x)=x+l--2-^x)=,+7-^J>0

令"fx+1,则(x+,)恒成立，

故食㈤在(—L可上单调递增，则

水口二则：.......................................8分

所以"的取值范围是

LN

L2).........................................................................................................9分

(III)假设/(力为犬上的单调函数，则为依上单调递增函数或为R上单调递减函数.

①若酬I“X)在火上单凋递增，则f(x)>0对于xeR都成立，

即［o+(a-2)x-Y］/20恒成立，

因为/>0,所以x'-(a-2)x-aW0对于xe&都成立，

而函数A(x)=xa-(a-2)x-fl的图象是开口向上的抛物,

则¥-(0-2)x-a40不可能恒的，

所以不可能为R上的单调递增的数.........................................11分

②若函数,(X)在R上单调递减，则，(x)4°对于xwA都成立，

即［a+("2)x-/］/"。恒成立，

因为一>0,所以x"(a-2)x-aA0对于女友都成立，

故有A=("一2)'-4“4。，整理，得a3+440,显然不成立.

所以/(x)不可能为犬上的单调递减函

数，.....................................................13分

综上，可知函数/(耳不可能为R上的单调函

数...............................................14分

考点：导数与函数的单调性.

【名师点睛】求函数的单增区间，就是在定义域下解不等式八劝＞°，函数在某区间上

是增函数，就是八功20在区间上恒成立；一要注意应用分离参数法，使用极端原理，

二要注意利用一元二次方程的根的分布.

21.在平面直角坐标系X。中，曲线y=/-6x+1与坐标轴的交点都在圆c上

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x-y+4=°交于A、B两点，且3工0g求a的值.

参考答案：

H：(