2022年福建省福州市高考数学质检试卷及答案解析

2022年福建省福州市高考数学质检试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）若复数z满足z（1-i）=4i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知4（-V3,0）,B（V3,0）,C（0,3）,则AABC外接圆的方程为（）

A.（X-1）2+y2=2B.（X-1）2+y2=4

C.?+（y-1）2=2D./+（y-1）2=4

3.（5分）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，

还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数

的折线统计图：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

则下列结论中不正确的是（）

A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600

B.乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上

C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙

D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙

4.（5分）是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）已知尸是半径为3cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置Po开始，按

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n

逆时针方向做圆周运动，角速度为ymd/s.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标

系x°y,若/PoOx=E，则点P的纵坐标y关于时间r（单位：s）的函数关系式为（）

-rinn

A.y=3sin(4什可)B.y=3sin(—t+—)

TTnn

C.y=3sin(4r—3)D.y=3sin(—t——)

6.(5分)从集合｛1,2,3｝的非空子集中任取两个不同的集合A和B,若ACBH0,则不

同的取法共有()

A.42种B.36种C.30种D.15种

7.（5分）已知平面向量b,"均为单位向量，且值一b|=l,则（a-bXb-c）的最

大值为（）

113

A.—B.-C.ID.—

422

8.（5分）折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长10c〃?、宽8cm的长方形的纸

片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S”S2.若

51：52=1：3,则折痕长的最大值为（）

A.V89C/7?B.10cmC.2\[2§cmD.2A/34C/M

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

x2y2

（多选）9.（5分）已知椭圆C：+「l的左、右焦点分别为F”尸2,P为C上一点,

则（）

V2

A.C的离心率为三B.△PF1F2的周长为5

C.ZFIPF7<90°D.1W|PFI|W3

（多选）10.（5分）已知等差数列｛4“｝的前"项和为S”公差”W0.若SWS6,则（）

A.41VoB.d<0C.〃6=0D.S13WO

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（多选）】1.（5分）设函数/（x）的定义域为R,/（x-1）为奇函数，/（x+1）为偶函数，

当在（-1,1］时，/（幻=-/+1,则下列结论正确的是（）

73

A./（一）=-7

24

B../（x+7）为奇函数

C./（%）在（6,8）上为减函数

D.方程/（x）+lgx=O仅有6个实数解

（多选）12.（5分）已知正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为0.点E满足族=XAB

（0〈入VI）,过点E作平面a平行于AC和BC,设a分别与该正四面体的棱BC,CD,

D4相交于点F,G,H,贝IJ（）

A.四边形EFGH的周长为定值

B.当人=2时，四边形EFGH为正方形

1_13

C.当人=5时，a截球O所得截面的周长为:~7T

j4*

D.四棱锥A-EFGH的体积的最大值为|V2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.（5分）己知函数/（x）="a+/,优在x=l处取得极值，则实数a=.

14.（5分）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm,高为20cm,则这个茶叶盒

的表面积约为c£.（精确到0」，通21.732）

sinacosa

15.（5分）写出一个使等式+/7C7=2成立的a的值为

sm(a+7)cos(a+-)

66

16.（5分）已知抛物线C：/=4x的焦点为凡过广的动直线/交C于A,B两点，过A,

B分别作C的切线Z1，12,1\与12交于点P.经探究可知点P必在一条定直线上，其方程

为;记/1，/2与y轴的交点分别为M,N,若/的倾斜角为30°,则四边形PMFN

的面积为

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛即｝的前〃项和为S",ai=i,改=2,且S〃+2=S”+I+4M

(1)求斯

11

(2)求证:——+-----+…+------<2.

+1。2+1an+l

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18.（12分）iBAABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinC=sinC+

V3cosC,A=^.

(1)求c；

(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出

三角形的面积；若不存在，说明理由.

①BC边上的中线长为日；

②AB边上的中线长为迎；

③三角形的周长为6.

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19.(12分)如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，点E为AB的中点，点尸在BC上，且

AC=BC=3BF.

(1)证明：平面Ai8iF_L平面CGE；

473

(2)若乙48c=60°,A4i=2AB,且三棱锥E-4a尸的体积为7-，求CE与平面AiBiF

所成角的正弦值.

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20.(12分)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加〃(〃6N*,且〃22)次

抽奖，每次中奖的概率为士不中奖的概率为士且各次抽奖相互独立.规定第1次抽奖

33

时，若中奖则得10分，否则得5分.第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：

方案①：若中奖则得30分，否则得。分：

方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.

第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束.

(1)如果〃=2,以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？

并说明理由.

(2)记顾客甲第i次获得的分数为X,(i=l,2,…，〃)，并且选择方案②.请直接写出

7

E(X(+l)与E(Xi)的递推关系式，并求E(X8)的值.(精确到0.1)参考数据：(|)

«=0.059.

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21.（12分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C：二X——v=1的右焦点为凡7为直线/：x

36

=1上一点，过尸作7F的垂线分别交C的左、右支于P,Q两点，交/于点A.

（1）证明：直线0T平分线段PQ；

（2）若照|=3|Qfl，求177f的值.

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22.(12分)已知函数/(x)=e'-arsine-法+c的图象与x轴相切于原点.

(1)求b,c的值;

(2)若/(X)在(0,1T)上有唯一零点，求实数4的取值范围.

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2022年福建省福州市高考数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）若复数z满足z（1-i）=4i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解:,:z（1-/）=4i,

••z=E=（i+i）（iT）=-2+2,,

••.z在复平面内对应的点（-2,2）位于第二象限.

故选：B.

2.（5分）己知A（-V3,0）,B（V3,0）,C（0,3）,则△ABC外接圆的方程为（）

A.（X-1）2+夕=2B.（X-1）2+y2=4

C.7+（y-1）2=2D.A（y-1）2=4

解：由A（-V3,0）,B（V3,0）,可得△ABC外接圆的圆心在y轴上，

设圆心为M（0,b）,

由可得族-3|=后彳与，解得6=1,

则外接圆的半径为r=2,

可得外接圆的方程为了+（y-1）2=4,

故选：D.

3.（5分）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，

还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数

的折线统计图：

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甲'乙日步数折线统计图

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

则下列结论中不正确的是()

A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600

B.乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上

C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙

D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙

解:对于A,甲的频数从小于大为：2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,

中位数是11600,故A正确；

对于B,乙的暑期三步数7030,星期四12970,

12970

-----旬.84V2,・,•没有增加1倍以上，故3错误；

7030

1

对于C,=y(16000+7965+12700+2345+16800+9500+11600)=11000,

1

=y(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500,

，亍例〉元乙，故C正确；

对于D,S屋=1[(16000-11000)2+(7965-11000)2+(12700-11000)2+(2435-

11000)2+(16800-11000)2+(9500-11000)2+(11600-11000)2]=«147951678.57.

S/=3(14200-10500)2+(12300-10500)2+(7030-10500)2+(12970-10500)

2+(5340-10500)2+(11600-10500)2+(10060-10500)2]=7462842.86,

2

.*.s/>sz,故。正确.

故选：B.

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4.（5分）"Q<a〈b”是“a—!<b-^r的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：（a-b）（1+白），怔（°，+8）,bE（0,+8）,

1・①若"0<a<b",则a—''<0,即所以具有充分性；

②若&V。-则（。-b）（1+"^）<。,不一*定可以推到0<a〈b,如u—~5,b—

-2,（〃-b）（1+/）<0,但aVbVO,所以不具有必要性；

故选：A.

5.（5分）已知尸是半径为3cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置尸o开始，按

71

逆时针方向做圆周运动，角速度为丁ad/s.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标

系x°y,若/PoOx=条则点尸的纵坐标y关于时间r（单位：s）的函数关系式为（）

A.y=3sin(4t+电B.y=3sin(—t+—)

,23

Tin

C.y=3sin(4?-J)D.y=3sin(-t——)

723

解：设点尸的纵坐标y关于时间,（单位：s）的函数关系式为y=4sin（a）r+（p）,

由题意可得A=3,<p=-J,

7Tt77Tit71

t（5）时，射线OP可视角-----的终边，则y=3sin（------）.

2323

故选：D.

6.（5分）从集合｛1,2,3｝的非空子集中任取两个不同的集合A和B,若AC8W0,则不

同的取法共有（）

A.42种B.36种C.30种D.15种

解：根据题意，集合A中最少1个元素，最多3个元素,

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分3种情况讨论：

①集合A中有1个元素，集合A有3种选法，集合3的选法有2?-1=3种选法，此时有

3X3=9种取法，

3

②集合A中有2个元素，集合A有C3=3种选法，集合B的选法有23-1-1-1=5种

选法，此时有3义5=15种取法，

③集合A中有3个元素，集合A有1种选法，集合B不是空集和全集即可，有23-2=6

种选法，此时有1义6=6种取法，

则有9+15+6=30种取法，

故选：C.

1.（5分）已知平面向量b,K均为单位向量，且值一句=1,贝！|（a-b）*Cb-c）的最

大值为()

113

A.-B.-C.1D.一

422

解：—〃2=。2—2。・匕+匕2=2—2a・b=l,

171

・・.Q•b=1，

/.(a—b)-(b—c)=a-b—a-c—bz-I-b-c=—1—(a—b)-c=—\a-b\-

—>—>T—>]—>T—>

\c\cos<a—bfc>=-o—cos<a—b,c>,

cosVa—btc>G[-1/1]f

A（a-b）•（/?-c）G[-|,

TTT—1

（a—b）•（b—c）的最大值为3.

故选：B.

8.（5分）折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长10CM、宽8cm的长方形的纸

片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为Si,S2.若

Si：S2=l：3,则折痕长的最大值为（）

A.>/89cmB.10cmC.2\[29cmD.2y/34cm

解：由题意得：长方形纸片的面积为10X8=80（C77?）,又Si：52=1：3,

22

...Si=20cm,S2=60cm,

①当折痕如下图所示时，

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22

TS：AE=X,AF=y,则.oJx<10,解得：｛算［兽=x+y=/+曙,

k0<y<8

②当折痕如下图所示时，

(l(x+y)x8=20

(x+y=5

设AE=XfDF=y,则)Q<%<10解得:

IO<%<5

(0<y<10

•・♦/（，）在（25,40）上单调递减，在（40,100）上单调递增,

又g(0)=25+64=89,gg)=64,g⑸=25+64=89,：.g(x)6[64,89],

：.EFG[8,V89],

③当折痕如下图所示时,

1(x+y)x10=20

俨+y=4

解得:

0Vxv8lO<x<4>

{0<y<8

：.EF2^(x-y)2+100=(2x-4)2+100,

令〃（x）=（2x-4）2+100（0Wx<4）,则。（x）在（0,2）上单调递减，在（2,4）

上单调递增,

又h(0)=16+100=116,h(2)=100,h(4)=16+100=116,：.h又)G[100,116],

：.EFe［10,2V29］；

综上所述：折痕长的取值范围为［8,2V29］;

二折痕长的最大值为2内cm.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

x2y2

（多选）9.（5分）已知椭圆C：y+y=1的左、右焦点分别为Fi，尸2,P为C上一点,

则（)

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A.。的离心率为三B.△尸人尸2的周长为5

C.NFiPF2V90°D.1W|PFI|W3

解：对于选项4：由题意可知。=2,c=y/a2-b2—A/4-3=1,

，离心率e=故选项A错误，

对于选项&由椭圆的定义|PFi|+|Pb2|=2a=4,|Q&|=2c=2,

•••△PFia的周长为4+2=6,故选项8错误，

乙FiPF?CV3

对于选项C：当点P为椭圆短轴端点时，tan---=-=—y

2b3

又；0。(丝产,〈go。,，/FJ2=30。,即NF|PF2=60°,

22

/.ZFIPF2<90°,故选项C正确，

对于选项D：由椭圆的几何性质可知a-cW|PFi|Wa+c,

；.1W|PQ|W3,故选项。正确，

故选：CD.

(多选)10.(5分)已知等差数列｛即｝的前”项和为S”公差1W0.若SWS6,则()

A.VOB.d<0C.“6=0D.S13WO

解：由题意，等差数列｛斯｝是首项为正数的递减数列，

则ai>0,d<0,故选项A错，选项8对；

当”=5时，有S5WS6，则46=S6-S520,故选项C错误；

当"=7时，S7WS6，则a7=S7-S6W0,所以Si3=13〃7W0,故选项。正确.

故选：BD.

(多选)11.(5分)设函数f(x)的定义域为R,/(%-1)为奇函数，/(x+1)为偶函数,

当xe(-1,1］时，f(x)=-7+1,则下列结论正确的是()

73

A.f(-)=-4

724

B.f(x+D为奇函数

C.f(x)在(6,8)上为减函数

D.方程/(x)+/gx=O仅有6个实数解

解:V/(X-1)为奇函数，-X-1)=-/(X-1),即f(-X)=-f(X-2),则

函数关于(-1,0)对称，

V/(x+l)为偶函数，x+1)=/(x+l),即为/(-x)=/(x+2),则函数关于x

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=1对称，

则/(x+2)=-/(x-2),

当％=0时，由=-/(x-1),得/(-I)=-/(-1),得f(-1)=0,

得f(x+4)=-f(x),即/(x+8)=f(x),同时/(x)=-/(x-4),

77qq1iQ

则“5)=/(--8)=/(-p=-/(-i+4)=-f(-p=-n-2]=寸,

故A正确，

/(x+7)=于(x+7-8)=/(%-1)=-/(-x-1)=-/(-%-1+8)=-/(-x+7),

则/(x+7)是奇函数，故8正确，

；函数的周期是8,.../(x)在(6,8)的单调性和(-2,0)的单调性相同，

由图象知，/(X)在(-2,0)上为增函数，则/(x)在(6,8)上增函数，故C错误，

由/(x)+lgx—0得f(x)=-Igx,

作出函数/(x)和y=~lgx的图象如图：由图象知两个函数有6个交点，即/(x)+1&x

=0有6个不同的根，故。正确，

故选：ABD.

(多选)12.(5分)已知正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。.点E满足港=XAB

(0<A<l),过点E作平面a平行于AC和BD,设a分别与该正四面体的棱BC,CD,

D4相交于点F，G,H,则()

A.四边形EFG”的周长为定值

B.当人=方时，四边形EFGH为正方形

113

C.当人=可D时，a截球。所得截面4的周长为二兀

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D.四棱锥A-EFGH的体积的最大值为|V2

解：4c〃平面a,平面afl平面ABC=EF,平面a。平面4£>C=G”,

则AC〃EF,AC//GH,

所以EF//GH,

又平面a,平面a。平面平面aC平面BOC=GF,

则BD//EH,BD//GF,

所以EH//GF,

所以四边形EFG4为平行四边形.

由后可得AE：AB=X,则HE：DB=人,EF：AC=\-A,

又正四面体ABC。的棱长为3,

则"E=G尸=3入，EF=GH=3（1-入），

选项A：四边形EFG”的周长为HE+GF+EF+GH=2[3入+3（1-入）]=6.故4正确;

选项B：当2=/时，HE=GF=^,EF=GH=

则平行四边形EFG”为菱形，

又正四面体A8CD中，对棱BCJLAC,贝U

则菱形EfGH为正方形，故8正确；

分别取80、BC、AC的中点M、N、Q,连接。N、CM、MQ,

设。N、CM交于K,连接AK,则AK为正四面体的高，

正四面体48co的棱长为3,其外接球的球心为0,则。在4K上，连接C0,

AM=CM=|V3，KM="M=掾x1遮=干，AK=>JAM2-KM2=瓜

设球O半径为R,则CO2=KC2+KO2,

即R2=（通产+（遍—R）2,解得R='e，

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由4M=CM,AQ=QC,可得MQ_LAC,

同理有MQ±BD,则MQ为异面直线BD、AC之间的距离，

__Q

MQ=yjMC2-QC2=JV2,

则点K到AC的距离为近，球心O到AC的距离为三孤,

4

选项C：当4=」时，设a与MC交于T,则7C=」MC=卓，T到AC的距离为座,

3322

y/2

球心0到平面EFGH的距离为一，

4

则平面a截球0所得截面半径为J/?2—哈2=J卓同）2_昭2=孚，

则平面a截球。所得截面的周长为旧兀，故C错误；

选项。：由4E=/L4B,MQ=|■夜，

3

可得点A到平面EFGH的距离为^^九

又平行四边形EFGH为矩形，

则四棱锥A-EFGH的体积V=1x32x3(1-A)x|V21=|>/222(1-A),

Q_

令/'(X)=|V2x2(l-x)(0<x<l),

则/(%)=|V2x(2-3x),

由/，(x)>0得OVxV1

由,(幻<0得|<<1,

则/(x)在(0,|)单调递增，在(|,1)单调递减，

所以在％=|时，f(x)取最大值/(|)=x(|)2(1-1)=竽，

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即3亚M(1-4)的最大值为有一，

2\/2

故四棱锥A-EFG”的体积的最大值为丁.故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.(5分)已知函数/(x)="y+/nx在x=l处取得极值，则实数a=-2.

解：因为/(x)=族+:=0,又因为函数/G)在x=l处取得极值，

a

所以/(I)=0,于是5+1=0,解得。=-2,

故答案为：-2.

14.(5分)如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10。〃，高为20a”，则这个茶叶盒

的表面积约为1719.6cm2.(精确到0.1,遍，1.732)

里

城

•**

串

耳

滞

尔

解：因为正六棱柱底面边长为10a",

1n

所以正六棱柱的底面积为6x1xlOX10Xsin600=300x货=150遍2150义1.732=

259.8(cw2).

又因为高为20cm,

所以这个正六棱柱的表面积为5=259.8X2+6X10X20=519.6+1200=1719.6(cm2),

即这个茶叶盒的表面积约为1719.6C“2.

故答案为：1719.6.

sinacosan

15.(5分)写出一个使等式兀、+——^7=2成立的a的值为.(答案不唯一，

stn(a+-)cos(a+=)-8

66

a=5+绊，任取一个值均可),

oZ

sinacosasinacos(a+-)+cosasin(a+-)sin(2a+-)

6661

解：;•=2,

+/^7-sIa+7-T

sin(a+g)cos(a+：)sE(a+B)cos(a+m)2n((23

6666

rrjr

/•sin(2a+q)=sin(2a+可)，

第19页共27页

：.2a+j+2a+^-(2k+1)兀伙+Z),

解得：。=岑工兀一京戏2),

当k=Q时，a=5,

o

71

故使得等式成立的一个a的值为g(答案不唯一).

8

故答案为：，(答案不唯一，只要满足a=笔3兀一工(k£Z)即可).

16.(5分)已知抛物线C：/=以的焦点为F,过尸的动直线/交C于A,B两点，过A,

B分别作C的切线八，12,4与/2交于点P.经探究可知点P必在一条定直线上，其方程

为x=-1；记/I，/2与y轴的交点分别为M，N,若/的倾斜角为30°,则四边形

PMFN的面积为4.

解：由抛物线方程知：F(1,0),

设/：x—ty+\,A(xi,yi)(yi>0),B(%2>”)(”<0),

%=ty+1

由y2=4x'得：y7-40-4=0,

.[%+=4t

"171y2=-4

♦Y丫_W1一级豆一1

••X1&-彳♦彳—]6—I'

当y20时，由y2=4x得：y=2&：・y，=%

1

U：y-yi=-r=(x-x),

VX11

又yi=Zi-y--^=x+y/x7；

VX1

当y<0时，由/=4x得:y=-2y/x,：.y，=-&

•'-11：y-y2=--^=(x-x2)»又=-2低，：.l2：y=-义X一圾,

Vx2Vx2

又ko，",x=~y/xix2=-1'

...点P必在定直线彳=-1上;

由/i，，2方程可求得M(0,O，N(0,—V^2)，

A\MN\=y/x[+

当/倾斜角为30°时，/的方程为：x=V3y+1,

•fyi+y2=4百，

,•尿乃=一4

第20页共27页

.•俨1+%2=V3（71+丫2）+2=14

2

/.\MN\=+上+2"I%2=14+2=16,

解得：|MN=4,

1

四边形PMFN的面积S=S“MN+SNMN=\IMMx2=4.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛“”｝的前〃项和为Sn，01=1,42=2,且S"+2=S”+i+4a”.

⑴求an;

111

（2）求证:++…+<2.

a2+lGn+1

解：（1）数列｛斯｝的前〃项和为S”ai=b。2=2,且％+2=S?+I+4即,

整理得Sn+2-S“+l=4〃〃;

故。〃+2=4。〃;

所以当〃=2%-I时，。2阱1=4。2，1，

所以数歹U｛〃2h]｝是以1为首项，4为公比的等比数歹U；

所以Q2MT=22k-2=2（2kT）T；

当n=2k时，同理可得：a2k=2x4fe-1=22fc-1；

71

所以=2T(HGN+).

11n—1

证明：（2）-----

Qn+12"T+1

所以武+喜+•••+点v$°+6&•..

18.（12分）记AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinC=sinC+

V3cosC,a=*

(1)求c；

（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出

三角形的面积；若不存在，说明理由.

①BC边上的中线长为y学[2；

②AB边上的中线长为近；

③三角形的周长为6.

第21页共27页

解：⑴因为4=泉

1F5

所以Z?sinC=sinC+V3cosC=2(-sinC4--VcosC)=2(sinCcosA+cosCsinA)=2sin(A+C)

22

=2sinB,

bc

由正弦定理知,

sinBsinC'

所以加inC=csinB,所以c=2.

(2)选择条件①：

设。为BC的中点，贝ijA£>=:，

因为几+AC=2AD，所以(几+成1)2=4\AD|2,^\AB^+2\AB|•|品|cosA+|=4|/W|2,

所以4+2X2Xbx*+/=4x(孝)2=2,化简得廿+2>2=0,无解,

所以△ABC不存在.

选择条件②：

设点E为A8的中点，则CE=夕，AE=^AB=1,

在△ACE中，由余弦定理知，C£2=AC2+AE2-2AC-AEcosA,

所以7=廿+1-26・12，解得6=3或-2,

2

所以△4BC的面积S=/csirh4=*x3X2x苧=与三

选择条件③：

因为三角形的周长为6,且c=2,所以a+匕=4,

在△ABC中，由余弦定理知，i?=fe2+c2-2bccosA,

所以“2=〃2+4-2bX2x^,即(4-b)2=Z>2+4-2b,解得6=2,

所以△ABC的面积S=/csinA=x2X2x亨=V3.

B

C

A

第22页共27页

B

A-------------------。

19.(12分)如图，在直三棱柱ABC-4BC1中，点E为AB的中点，点/在8c上，且

AC=BC^3BF.

(1)证明：平面AiBiF,平面CC1E；

4V3

(2)若NABC=60°,AA\=2AB,且三棱锥E-A\B\F的体积为——，求CE与平面A\B\F

9

所成角的正弦值.

解:(1)在直三棱柱ABC-AiBiCi中，CCi，平面AiBiG,：.CC\LA\B\,

•.•点E为AB的中点,且AC=8C,C.ABLCE,'：AB//A\B\,：.A\B\X.CE,

：CEnCCi=C,...AiBi_L平面CC1E,

；48匚平面A\B\F,；.平面48iF_L平面CCiE；

(2)VZABC=60°,△ABC为正三角形，设AB=f,则AAi=248=2f,

由(1)可得，CELL平面区44Bi，

依题意得BF=故点F到平面BAA\B\的距离为拉=|x多=易，

:・S△&8述='xABXA4=]xrX2/=广,/.VE-A-^B^F=尸一必8送=gS△人便送x

*/磊副

•.•三棱锥E-AiBiF的体积为手，...[户=华，..“=2,

以E为坐标原点，EC,EB,A4i所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第23页共27页

2

V3

zXz一

自O4尸O

(J(3,-

0),Al(0,x,Z\3

旭5

0),0%=(0,2,0),--4

：.CE=(-V3,0,3,3

设平面AiB］尸的一个法向量为几=(x,y,z),

(2y=0

n-AB=0

则11，即万，5，

-5-x+n-y—4z=n0

n-ArF—0oJ

令z=l,得晶=(4^3,0,1),

-1_-12_4/3

・・cos<CE,n>=~——=r-=—厂.

\CE\-\n\43X7/

4V3

:・CE与平面48产所成角的正弦值为一^―・

20.(12分)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加〃(/1GNS且〃22)次

抽奖，每次中奖的概率为二，不中奖的概率为3且各次抽奖相互独立.规定第1次抽奖

33

时，若中奖则得10分，否则得5分.第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：

方案①：若中奖则得30分，否则得0分；

方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5