异方差实证与估计

异方差的检验、估计与实证一、问题的提出如果在回归模型y.=^0+^1X.+u.中，无论Xi取何值，ui的方差Var（ui）=E（罟）中2（i=1,2，…，N）,就说随机扰动项ui具有同方差性。然而，现实中的大量现象与同方差性相违背。研究结果表明用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同的样本点上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存在异方差性。用时间序列数据进行分析也存在异方差性问题。只是出现的频率少于截面数据回归分析，其主要原因是时间序列数据变量的演变大都是同步的，即数据单整阶数相同。如消费和收入的变动趋势基本相近，因此在估计消费函数时，不会出现异方差问题，但用单整阶数不同的时序数据进行时序回归分析，就会遇到异方差性问题1。因此，经济计量建模中对“异方差性"（Heteroskedasticity）的研究就成为不能回避的问题。计量经济理论认为如果存在异方差还用最小二乘法去估计参数，会产生以下严重后果：①参数估计量非有效，即不再具有最小方差的性质。而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但不具有渐进有效性；②解释变量的显著性检验失效。在变量的显著性检验中，构造了t统计量，它是建立在随机干扰项共同的方差□不变而正确估计了参数方差的基础上的，如果出现了异方差，估计的参数方差出现偏误，t检验就失去了意义，其他检验也是如此；③模型预测失效。一方面，由于上述后果，使得模型不再具有良好的统计性质；另一方面，在预测值的置信区间中也包含有参数方差的估计量，仍然使用OLS估计量将会导致预测区间偏大或者偏小2。二、异方差性的检验针对异方差问题，涌现出大量的检验方法，常见的有：图示检验法、等级相关检验法、Glejser检验，Battlett检验、Breusch_Pagan检验、Goldfeld_Quandt检验、Wald检验、拉格朗日乘数检验、似然比检验和White大样本检验。这些检验的共同思想是设法通过误差的估计量来检验误差方差与解释变量间是否存在相关性。若存在明显的相关，则原模型存在异方差性；否则，认为原模型满足同方差条件。下面本文将在系统介绍异方差检验的各种方法的基础上，分析各自的应用条件、注意事项，并对优缺点进行评述。（一）图示检验法图示检验法是一种定性分析，只能用来初步判断异方差的存在与否。具体做法是先不考虑存在异方差的假定下构造回归模型，然后对回归的残差平方ei2进行观察。如果回归模型是关于截面数据的，则看ei2对Yi或对某一个解释变量Xi1白雪梅.异方差性的检验方法及评述[J].东北财经大学学报，2002，06:26-292李子奈.计量经济学[M].北京:高等教育出版社，2000的散点图。若散点图呈现某种规律或趋势，则表示存在异方差性；否则，认为不存在异方差性。如果回归模型是一个时间序列模型，则看ei2对时间t的散点图，若ei2随时间t增加而变化，则表示存在异方差性；反之，则认为不存在异方差性。该检验法的优点是直观、简单、明了；缺点是检验的结论粗糙，是一种对残差的定性分析。它要求回归计算残差的平方ei2对真实关系中的随机扰动项的平方ui2具有代表性，否则ei2对Yi或某一个Xi存在明显趋势并不等于ui2对Yi或某一个Xi也存在这种趋势。帕克(Park)检验帕克检验是依据图示提出□是解释变量Xi的某个函数，进而把图示法公式化。帕克建议的函数形式为。2=02Xiaevi，取对数得lna2=ln^2+alnXi+飞。由于丐是未知的，帕克提议以ei2作为of的代表，进行下述回归：Inei2=ln^2+alnXi+vi(1)对(1)式进行统计检验，若a在统计上显著，则说明数据存在异方差性；若a在统计上不显著，则说明不存在异方差性。帕克检验的问题是,vi可能不满足OLS法的假设条件，而且ei2本身可能也存在异方差性。另外须指出，按照帕克检验得出的不存在异方差性的结论，只是对特定函数形式而言，如果在采用其它函数形式的假定下，也可能存在异方差。由于函数具体形式未知，因此需要进行各种形式的试验。戈里瑟(Glesier)检验戈里瑟检验法首先把被解释变量Y对所有的解释变量X1，X2，…，Xk进行回归，计算随机误差项u的估计值e，然后用某个务的某种函数形式为解释变量对|e|做回归，即|ei|=f(Xi)+6.。选择关于变量Xi的不用函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验：如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。如果认为|ei|与多个解释变量有关，那么可构造|ei|同多个解释变量的回归模型进行类似检验，但这种情况下的操作相当繁琐。戈里瑟检验可作为一种经验或实际处理方法加以应用。优点是不仅可以发现是否存在异方差性，而且还可以确定异方差性的具体形式，为进一步消除异方差奠定了基础。缺点是①勺不一定满足OLS法的假定条件；②设定的函数形式可能是关于参数非线性的，因此不能使用OLS法去估计参数；③要求在大样本情况下使用，对小样本则只能从定性的角度给建模者提供有关异方差的信息；④需要选择不同的解释变量，尝试不同的函数形式，多次反复试验，过程十分繁琐。戈德菲尔特一匡特(Goldfeld-Quandt)检验戈德菲尔特—匡特检验是以F检验为基础的。适用于样本容量较大、异方差递增或者递减的情况。检验的原假设是听二笑。具体步骤：第一步将n组样本观测值按解释变量观测值Xi的大小排序；第二步将序列中间的c=n/4个观测值除去，并将剩下的观测值划分为较小与较大的两个子样本，每个子样本的容量均为（n-c）/2；第三步对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方和S1和S2；第四步计算统计量F=S1/导】）并与显著性水平为a,自由度为（叱12S2/（^k1）2k1，叱k1）的F分布临界值进行比较，若F>Fa（v1，v2），表明存在递212增的异方差；若F<F]_a（v2,v1），则表明存在递减的异方差；反正，则不存在异方差。此检验的优点是简单，便于计算，在方法把握上没有难度。缺点是：（1）按照解释变量的大小排列观测值，隐含着一个假定即方差变化与X变化是同方向的，这一假定是否成立是未知的；（2）样本必须足够大；（3）要求不能违背检验的前提条件，如ui服从正态分布，ui不存在序列相关；（4）当模型中的解释变量为2个或者2个以上时，按哪个解释变量大小排列观测值是一个问题；（5）只能检验递增或者递减的异方差，而不能检验复杂的异方差。（五）怀特（White）检验该检验是由怀特（White，1980）首次提出的。它是通过一个辅助回归式构造光2统计量进行异方差检验。假定有一个包含两个（可推广到两个以上）解释变量的多元回归模型：Yi邙o+^X”+仔2X2i+ui（2）首先，对上式进行OLS回归，求出残差％,然后对以下辅助回归方程进行估计：ui2=a0+aiX1i+«2X2i+a4X1i2+a5X2i2+a6XiiX2i+vi（3）式中，ui为（2）中的ui估计值。ui2需对回归式中的各个解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。怀特检验的原假设为H0：ui不存在异方差。（3）式计算的可决系数R2乘以样本数N,渐进地服从光2分布。其自由度等于（3）式中解释变量项数（注意，不计算常数项），即NR2〜光2（5）。若NR2S/2（5），接受H0，ui不存在异方差。怀特检验的优点是不需要对观测值进行排序，也不依赖随机误差项服从正态分布假设，易于实施。但也存在一些需要注意的问题：一是辅助方程引进回归元的平方以及它们的交叉乘积项,损失许多自由度。二是R2易受样本数据特征的影响。三是该检验对于小样本特性尚不清楚，因此不宜在小样本情况下使用。三、实例分析分析中国2013年各地区居民可支配收入与衣着支出模型。设衣着支出为CLO，可支配收入为INC。数据如表1所示:表表12013年全国各地区居民衣着支出和可支配收入地区衣着支出（CLO）可支配收入（INC）北京1170.9840321.00天津927.3732293.57河北457.4522580.35山西470.4622455.63内家古564.5825496.67辽宁584.1325578.17吉林535.0922274.60黑龙江550.9419596.96上海769.0443851.36江苏684.3932538.00浙江847.6137851.00安徽332.7723114.22福建483.4130816.37江西308.4421872.68山东492.3028264.10河南481.6622398.03湖北345.1322906.42湖南342.0923413.99广东309.5433090.05广西170.9023305.38海南180.8322928.90重庆410.4725216.13四川466.7622367.63贵州254.0320667.07云南211.1823235.53西藏369.4520023.35陕西385.0522858.37甘肃352.6618964.78青海449.1319498.54宁夏452.9321833.33新疆482.5619873.77资料来源:《中国统计年鉴》2014年，北京，中国统计出版社由表1可以看出，随着居民可支配收入的增加，衣着支出也表现出增加的趋势，而且增加的速度加快。不同收入居民的衣着支出表现出很大的差异，这就很难保证同方差的假定。（一）用OLS估计参数运用EVIEWS7.0软件，选择最小二乘法，得到如下回归模型：表2OLS估计Dep^naenivariable：CLOMethod:LeastSquaresDate:12/07/1fiTime.22.0BSample:130includedabseivabons：30vanableCoeffidantStd.ErrorVStatisdcProbC-167.99411210545-13&77S601762INC0.0251430.00457354983990.0000R-squaredG.519168Meandependentvar4786919AdjustedR-squared0.501995S.D.dependentvar2224256S,E.ofregression1569645Akaikeimfocrtterion1301426Sumsquaredresid6B9860.0Schwarzcriterion13.10767Loglikelihood-193.2139Hannan-auinrtcriter13,04414F-staiistic30.23239Durbin-Watsonstat0.828745PrcDCF-staiistic）0.000007CLO=-167.994147401+0.0251429190764*INC（4）（-1.387756）（5.498399）R2=0.519168S.E.=156.9645F=30.23239异方差性检验图示法根据散点图，初步可以判断有可能存在递增型异方差。下面利用怀特检验进步证明。怀特检验辅助回归方程为：ei2=-65625.73+4.5161INC.-3.93E-05INC.2(5)HeteraskedasticityTest:WhiteHeteraskedasticityTest:WhiteF-statistic2955294Prob.F(2.27>0.0691O^R-squared5.387361Prob.Ghi-S-quare[2)-0.0676ScaledesplainedSS4531095Prob.Ghi-S-quarefi)-0.1033TestEquation:□ep&ndlentVariable:RESIDEMethod:LeastSquares□ate:12/08/16Time:18:USample:130Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-65625.7J1171125-0.560J650.5799INC4.516138S.-1S09570.5520^10.585&INM-3.93E-050.0001^S-0.29154707729R-squared0.179595Meandependentvar22995.33AdjustedR.-squared0.118825SLD.dependentvar32499.22SE.ofregression30507.33Akaikeinfocriterion23.58396Sumsquaredresid2.51E^10Schwarzcriterion23.72408Laglikelihood-350.799I4Hannan-Guinncriter.2362879F-statistic2.955294□urbin-YVatsonstat2.B93231ProttF-statistic}0.069QS4在显著性0.1下，护(2)=4.61,nR2=5.387861,nR2>/2(2),所以我们在0.1的显著性水平下拒绝原假设，模型(1)存在异方差。戈里瑟检验做q|对INC回归，得到模型：TOC\o"1-5"\h\z|ei|=-16.55865+0.005423*INC(6)(-1.387756)(5.498399)R2=0.519168做|ei|对VINC回归，得到模型：|ei|=-171.316622591+1.84670558611*VINC(7)(-1.261219)(2.180356)R2=0.145141做q|对INC2回归，得到模型：|ei|=60.6512548456+8.88392117346e-08*INC2(8)(1.864198)(2.177417)R2=0.144807上述模型回归系数均显著不为零，即认为模型(1)存在异方差性。戈德菲尔特—匡特检验首先，将样本按照自标量“INC”的大小进行排序，其次，去掉中间1/4个观测值约8个，剩余22个观测值，由前11个观测值与后11个观测值组成容量均为11的两个子样本，分别以这两个子样本数据建立回归方程。经回归，得RSS1=82296.86，RSS2=383086.8，计算出F=383086.8/82296.86=4.65,取a=0.05时，查F分布表得F005（11，11）=2.85,而F=4.65>F005（11，11）=2.85，所以模型（1）存在递增的异方差。以上四种检验方法，都证明了模型存在异方差。（三）异方差的消除当通过检验，探明模型中存在异方差后，要设法消除其影响，将异方差模型转化为同方差模型，对其作OLS估计后，再变换回原模型。常用的方法有加权最小二乘法（WLS）、对数据取对数等。1.加权最小二乘法以1/|ei|为权重进行加权最小二乘估计，得到下列回归方程：DependentVariable:CLOMethod:LeastSquaresDate:12/08/16Time:1&19Sample:130Indludledobserva.tion.s:30Weightingseries:IVAB&fRESID}Weighttype:Inversestandarddeviation[EViewsdefaultscaling）VariableCoefficientStd.Errori-StatisticPrab.C-481.284S44.09936-10.913640.0000INC0.0361020.00201417JS259S0.0000WeightedStatisticsR-squared0.919849Meandependlentvar756.0647AdjustedR-squa.red0.915907S.D.dependentvar764.5738S.E.ofregression13-31833AfcaikeinfocriterionS.080501Sumsquaredresid4960.&84SchwarzcriterionS.17391斗Loglikelihood-1-19.2075Hannan-Quinncriier.S.1-103S4F-staiistic321MOSDurbin-Watsonsbt■1.376504Prob(F-statistic)0.00000-0Weightedmeandep.309.1599CLO=-481.28475218+0.0361016530719*INC(9)(-3.124130)(14.41743)R2=0.881287S.E.=70.03382F=207.8623可以认为，该模型已经消除了异方差。各项统计检验指标全面改善。R2=0.519168—0.919849,F：30.23239—321.3408,S.E.=156.9645—13.31833,t：-1.387756,5.498399—-10.91364,17。92598。2.对数法通过对数据取对数也可以达到消除异方差的效果。原因是：对数变换能使测定变量值的尺度缩小；经过对数变换后的线性模型，其残差表示为相对误差，而相对误差往往比较小。对表1的数据取对数后，得到如下回归方程：LOG(CLO)=-6.22185002228+1.21394235128*LOG(INC)(10)(-2.003176)(3.959979)R2=0.358995S.E.=0.364274F=15.68143DependentVariable:LOG(CLO)Method:LeastSquares□ate:12^08/16Time:17:22Sample:130Includedobservations:30VariableCoefficient3td.Errort-3tatisticProb.G-6.2218503..105992-2.003-1760.0549LOG(INC)12139420.3065533.9&99790.0005R-squared0.358995Meandependentvar6.07+992AdjustedR-squared0.33S102S.D.dependentvar0447072S.E.ofregression0.364274Akaikeinfocriterion0.BS2519Sumsquaredresid5.71&474Schwarzcriterion0.975932Loglikelihood-11.2J779Hannan-Cluinncriter.6912403F-statistic1&.6S143Durbin-Watsonstat1.3€4359ProbfF-statistic)0.00046S对上述方程进行White检验。HeteroskedasticityTest:WhiteHeteroskedasticityTest:WhiteF-statistic0.137305Pr