空间点线面位置关系及平行判定及性质

空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1．平面的根本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A，B&1 lUdA,BGaJ2．平面的根本性质公理2〔确定平面的依据〕经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的根本性质公理2的推论〔1〕经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面〔2〕经过两条相交直线，有且只有一个平面〔3〕经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的根本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线Acalaflp=1AG卩AG1丿5．异面直线的定义与判定〔1〕定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行〔2〕判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行〔1〕平行四边形abcd〔矩形，菱形，正方形〕对边平行且相等，AB//CD,BC//AD〔2〕三角形的中位线E,F分别是AB,AC的中点中位线平行且等于底边的一半，EF//BC〔3〕线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行Illa,1u®,a.0二mn1//m〔4〕面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行a//0,ap|Y二a,0门丫二bna//b〔5〕线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行a丄a,b丄ana//b7．直线与平面平行〔1〕线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行a9a,bua,a//bna//a〔2〕面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面a//0,auana//08．平面与平面平行〔1〕面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行aua,bua,a"b=A,a//0,b//0na//0〔2〕垂直于同一直线的两个平面互相平行a丄a,a丄0na//0【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1．给定以下四个命题aua,bua,a//0,b//0na//0a丄a,au0na丄0l丄m,l丄nnm//na丄0,汕0=l,aua,a丄lna丄0其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④变式1．给岀以下关于互不一样的直线l,m,n和平面a,0,y的三个命题:假设l，m为异面直线，lua,mu0，那么a//0；假设a//卩，lua,mu0，那么l//m；假设an0=l,0rv=m,nia=n,l//y，那么m//n其中真命题的个数为A．3 B．2 C．1 D．0

题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2.如图，在四面体PABC中，PC丄AB,PA丄BC，点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点，求证：DE//平面BCP变式1•如图，在四面体PABC中，PC丄AB,PA丄BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC，BC,PB的中点，求证：四边形EEFG为平行四边形变式2.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC二90，AB二AC二AA二1，延长AC111111至点P，使CP二AC，连接AP交棱CC于D.1111

题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF11AC,AB=辽,CE=EF=1，求证：AF//平面BDEBC所成的角为45。，ABAC=90。,点•求证：DE//平面ABC；且AB二AA],D,E,F分别为BC所成的角为45。，ABAC=90。,点•求证：DE//平面ABC；且AB二AA],D,E,F分别为BA,CC,BC的中11题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4.如下图，圆柱的高为2,PA是圆柱的母线，ABCD为矩形,AB二2,BC二4,E,F,GP分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：PB//面EFG；

变式1•如图，在长方体ABCD-ABCD中，E,P分别是BC,AD的中点，M,N分别P111111是AE,DC的中点，AB=2a,AD二AA二a，求证:MNII面ADDA1111A HA H题型五：探究性问题例5.如下图，直棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ZBAD=90。，1111AB=2，AD=CD=1，在线段AB上是否存在点P〔异于A,B两点〕使得CPII平面A1A1B1C1D1?证明你的结论变式1.如图，直三棱柱ABB-DCC中，ZABB]=90，AB=4,BC=2,CC=1，DC上有一动点P，你的结论一动点P，你的结论【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【稳固练习】1．下面命题中正确的选项是()．假设一个平面内有两条直线与另一个平面平彳丁，那么这两个平面平彳丁；假设一个平面内有无数条直线与另一个平面平彳丁，那么这两个平面平彳丁；假设一个平面内任何一条直线都平彳丁于另一个平面，那么这两个平面平彳丁；假设一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平彳丁，那么这两个平面平行．A•①③B•②④C.②③④D•③④2•平面a〃平面氏aua,bu氏那么直线a,b的位置关系是().A.平彳丁B•相交C.异面D.平彳丁或异面3．在空间中,以下命题正确的选项是()．A•假设3〃。，b〃a,那Nb〃aB.假设a〃a,b〃a,au氏bu氏那么p〃aC•假设a〃氏b〃a,那Nb〃PD•假设a〃氏aua,那么a〃pm、n为两条不同的直线，a、p为两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是()．A.m〃n,m丄ann丄aB.a〃p,mua,nu m〃nC.m丄a,m丄nnn〃aD.mua,nua,m〃氏n〃0na〃p5•在正方体ABCDABCD中，E是DD的中点，那么BD与平面ACE的位置关系111111为 .解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平彳丁四边形，0为AC的中点，M为PD的中点•求证：PB〃平面ACM.2、如图，假设PA丄平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF〃平面PCE.

3、如图，在正方体ABCDABCD中，M、N、P分别为所在边的中点.1111求证：平面MNP〃平面ACB；114、如图，在三棱柱ABCABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB,AC的中1111111点，求证：(1)B,C,H,G四点共面；(2)平面EFA〃平面BCHG15、如下图，在三棱柱ABCABC中,AA丄平面ABC,假设D是棱