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文档简介
空间向量的基本定理姚旺河一、教学目标:1、知识与技能:理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的;在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量。2、过程与方法:经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。3、情感态度与价值观:经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,培养学生的探索精神。二、教学重点和难点重点:共线、共面定理及其应用;空间向量的基本定理及其推论难点:空间向量分解定理唯一性的理解三、教学方法:根据本节课的特点,尝试运用“问题探究式”教学法,遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素,教师“诱”在点上,学生动脑思,动手探。四、教学手段:多媒体辅助教学五、教学设计一、 复习回顾:(大约5分钟)1.共线(平行)向量的定义:2.空间任意两个向量a,b(b丰0),a//b的条件:3-平面向量基本定理:如果即S是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数九1,九2,使a= ;(教师提问,学生回答,教师强调限制条件)二、 共线向量定理:(大约3分钟)对空间任意两个向量a,b(b丰0),a//b的充要条件是 (学生类比平面向量共线的条件类比得出,师生共同分析限制条件)三、共面向量定理(大约17分钟)向量与平面平行:(大约5分钟)已知平面a和向量a,作OA=a,如果直线OA平行于a或在a内,那么我们说向量a平行于平面量a平行于平面a,记作:a//a.通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.(教师强调共面向量的意义,学生深化理解)思考与讨论1:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明.思考与讨论2:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢?(教师提问,从而引出共面向量基本定理)共面向量定理:(大约12分钟)如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p-xa+yb.思考与讨论:P85:练习A1、2、3、4(通过对练习题的讨论让学生对共线向量及共面向量定理进一步深化理解。例1已知斜三棱柱ABC-A'B'C',设AB=a,AC=b,AA'=c。在面对角线AC'上和棱BC上分别取点M和N,使AM二kAC',BN二kBC(0<k<1)。求证MN与向量a和c共面。分析:本题主要利用共面向量定理来证明向量与向量的共面问题。只要将MN用a和c的线性表示就可证明共面。四、空间向量分解定理(大约18分钟)例2已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',设AB=a,AD=b,AA'=c,试用基底{a,b,c}表示如下向量:AC',BD',CA',DB'(大约5分钟)分析:本题主要是利用向量的加法运算,由本例题引出空间向量基本定理。C'C'学生先自主做,教师引导点出空间内的任意向量都可用三个不共面的向量表示,从而引出空间向量基本定理。C'C'空间向量分解定理,大约8分钟):如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量证明:(存在性)设a,b,c不共面,p,存在一个唯一的有序实数组(x,y,z),使P二xa+yb+zc证明:(存在性)设a,b,c不共面, !■>—=■ —=■ *-* 1- 1-过点O作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p过点P作直线PP平行于OC,交平面OAB于点P';在平面OAB内,过点P'作直线PAIIOB,P'B'〃OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B',于是,存在三个实数x,y,z,使OAi=OA=xa,OB/=OB=yb,OC/=OC=zc >->>>—►—>->OP=OA+OB+OC=xOA+yOB+zOC,所以p=xa+yb+zc(教师精讲存在性的证明,主要让学生理解如何对空间向量的分解,如何作平行线。―► —► r- —f(唯一性)假设还存在x',y',z'使p=xie+yie+zie123…xe+ye+ze=x/e+y/e+z/e123123•.(x-xi)e+(y-y/)e+(z-zi)e=03不妨设X丰x'即x-x'H0•e不妨设X丰x'即x-x'H0•e1x-x/2x-x/3•e,e,e•e,e,e共面此与已知矛盾123•••该表达式唯一综上两方面,原命题成立•(唯一性让学生了解,不要求掌握证明)由此定理,若三向量a,b,c不共面,那么空间的任一向量都可由a,b,c线性表示,我—b-—fc-—fc- —r—»f们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量。注:①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底;②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来.例3如图,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量OA,OB,OC表示向量OG.(大约5分钟)解:OG=OM+MGB
B=OM+-MN31—>2—-―-=-OA+—(ON—OM)23=-OA+2[-(OB+OC)—丄OA]2322=-OA+-(OB+OC)—-OA2 3 3=丄OA+-OB+-OC633OG=-OA+-OB+-OC6 3 3分析:本题是对空间向量基本定理的应用。五、总结反思:(大约2分钟)学生从知识、题型与方法、数学思想三个方面总结,然后同桌交流各自的看法,最后教师找一名学生回答,其他学生进行补充,教师适当引导。1.知识:共线向量定理和共面向量定理;2.题型与方法:3.数学思想方法:类比,数形结合,等价转化4.注意问题:1.知识:共线向量定理和共面向量定理;2.题型与方法:3.数学思想方法:类比,数形结合,等价转化4.注意问题:六、达标检测(大约5分钟)学生自主完成,订正答案,教师强调注意事项1.已知a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,a丰0,若a//b,求实数x,y的值。2.已知a=i-2j+k,b=—i+3j+2k,c=—3i+7j,证明这三向量共面。七、布置作业必做题:1.已知三个向量a,b,c不共面,并且p二a+b—c,q二2a—3b—5cr=r=—7a+18b+22c向量p,q,r是否共面?选做题: ► >- ► ►OP=xOA+ ► >- ► ►OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=】)的四点P,A,B,C是否共面
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