数学-2024届高三数学一轮复习题型专练导数多选题38题（解析版）

2024届高三数学一轮复习题型专练函数及其性质多选题38题参考答案1．ABD【分析】求出、两点的坐标，得出关于的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；解方程，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线相切于点，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.【解析】令，得，令，得，则点、，如下图所示：由图象可知，，其中，令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，A选项正确；，，则，，曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，令，即，即，则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；构造函数，可得，函数在上为增函数，由于，，则存在，使得，可得，当时，；当时，.，所以，函数没有零点，C选项错误；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，则曲线在点处的切线方程为，即，同理可得曲线在点处的切线方程为，所以，，消去得，令，则，函数在上为减函数，，，则存在，使得，且.当时，，当时，.所以，函数在上为减函数，，，由零点存在定理知，函数在上有零点，即方程有解.所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.故选：ABD.【点评】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.【解析】解：对于A，当时，，，所以，故切点为（0，0），则，所以，故切线斜率为1，所以在处的切线方程为：，即，故A正确；对于B，，，则，若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，令，即在上恰有一个解，则在上恰有一个解，即与的图象在上恰有一个交点，，，令，解得：，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，极小值为，而，作出，的大致图象，如下：由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；对于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，设，，则，，令，解得：，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，，所以在上的最大值为，所以时，在上，恒成立，即当时，才恒成立，所以对任意，不恒成立，故C不正确；对于D，当时，，，令，则，即，作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，则在上恰有2个零点，故D正确.故选：ABD.【点评】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.3．BCD【分析】利用特值法，在f(x)与g(x)取两点求距离，即可判断出选项的正误；解方程，可判断出选项的正误；利用导数判断函数的单调性，结合极值的符号可判断出选项的正误；设切线与曲线相切于点，，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出选项的正误．进而得出结论．【解析】在函数上分别取点，则，而（注），故选项不正确；，，则，，曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，令，即，即，则满足方程，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；构造函数，可得，函数在上为增函数，由于，（1），则存在，使得，可得，当时，；当时，．，函数没有零点，选项正确；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，则曲线在点处的切线方程为，即，同理可得曲线在点处的切线方程为，，消去得，令，则，函数在上为减函数，（1），，则存在，使得，且．当时，，当时，．函数在上为减函数，，，由零点存定理知，函数在上有零点，即方程有解．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线．故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．4．BCD【分析】由题中所给的等式，分别构造函数和，则的表示上一点与上一点的距离的平方，利用导数的几何意义可知当时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【解析】由，令，由，令则的表示上一点与上一点的距离的平方，设上与平行的切线的切点为由，切点为所以切点为到的距离的平方为的距离为与的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点评】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.5．AC【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A选项的正误；利用基本不等式可判断B选项的正误；分和分析的单调性，结合零点存在定理可判断C选项的正误；分和两种情况计算，可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，当时，，，所以，函数在区间是增函数，A选项正确；对于B选项，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，函数在区间上的最小值是，B选项错误；对于C选项，令，当时，，，，则，此时函数在区间上单调递增，又，，则，所以，函数在区间上有且只有一个零点；当时，，，，，则.当时，，当时，，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，，则函数在区间上单调递减，且，，则，所以，函数在区间上有且只有一个零点.综上所述，函数上有两个零点，C选项正确；对于D选项，当时，，当时，，所以当时，，则，即当时，，D选项错误.故选：AC.【点评】本题考查导数的应用，同时也考查了函数最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．ABD【分析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；对于选项B：利用换底公式：，等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；【解析】令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，对于选项A：因为，所以，即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；对于选项C：，由于函数在上单调递减，所以，即，因为，所以，取，则，故选项C错误；对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.对于选项B：，因为，所以等价于，因为，因为，所以不等式成立，故选项B正确；故选：ABD【点评】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.7．AD【分析】求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【解析】对于选项A：，，当时，，所以函数在内单调递增；故选项A正确对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即，，，，即有且，，可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.故选：AD【点评】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.8．AC【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.【解析】对于A，当时，，，因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；对于C，当时，，，，当时，，，则恒成立，即在上单调递增，又，，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，由，可得，因为，所以，则，故C正确；对于选项D，，，令，得，，，则，令，得，则，令，得，则，此时函数单调递减，令，得，则，此时函数单调递增，所以时，取得极小值，极小值为，在的极小值中，最小，当时，单调递减，所以函数的最小值为，当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.故选：AC.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.9．AD【分析】设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，即，由此可判断D.得选项.【解析】设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故B错误；，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；当时，，故，函数单调递增，故，即，又，所以，所以，所以有，故D正确.故选：AD.【点评】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.10．ABD【分析】根据题意将问题转化为，，和，分别是与和交点的横坐标，再用导数研究函数和的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【解析】解：由题，，和，分别是和的两个根，即与和交点的横坐标.对于函数，定义域为，，所以函数在和上单调递增，且时，；对于函数，，所以函数在上单调递增，在单调递减，且当，时，，时，；故作出函数，的图像如图所示，注意到：当时，，由图可知，，，从而，解得，所以选项AD正确，选项C错误，又.故选：ABD.【点评】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.11．AD【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.【解析】对A，因为，，令，得，故在该区间上单调递增；令，得，故在该区间上单调递减.又当时，，，故的图象如下所示：数形结合可知，的解集为，故正确；对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需有两根，也即有两根，也即直线的图象有两个交点.数形结合则，解得.故要满足题意，则，故错误；对D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，，对任意的恒成立，故单调递增，则恒成立，也即，在区间恒成立，则，故正确.故选：AD.【点评】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.12．CD【分析】，不是恒小于零，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；设，函数单调递增，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，即，由此可判断D，得选项.【解析】，不是恒小于零，所以不恒成立，故A错误；设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故B错误；设，函数单调递增，所以，所以，即有，故C正确；当时，，故，函数单调递增，故，即，故D正确.故选：CD.【点评】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.13．ABD【分析】根据“相关曲线”的定义，即曲线和曲线存在公切线，然后对各个选项依次判断即可．【解析】解：对于选项，曲线：表示以为圆心，为半径的圆，曲线：表示焦点在轴，长轴长为，短轴长为的椭圆，易知两封闭曲线没有公共点，两曲线共有4条公切线，其中2条外公切线，2条内公切线，故正确；对于选项，曲线和曲线是共轭双曲线（它们各自在轴上方部分），因此两曲线没有公切线，故正确；对于选项，当时，画出曲线和曲线的图象如下图所以两曲线不会有公切线，故错误；对于选项，不妨设曲线和曲线存在公切线，曲线的切点为，曲线的切点为，结合导数的几何意义有，整理得：①，令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，当时，，故函数的值域为，要使得方程①有解，则，当时，显然满足上式，所以正确．故选：．【点评】本题考查新定义问题，理解新定义是解决本题的关键，主要考查的知识点是利用导数求函数单调性、最值，数形结合的数学思想，属于难题．14．BCD【分析】构造出函数，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中，从而确定函数是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误.【解析】构造函数，因为，故函数在R上单调递减函数，因为，所以，即故A正确，B错误因为，即，所以，故C错误因为，即，所以，故D错误故选：BCD【点评】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题.15．ABC【分析】先根据导数研究函数单调性得当时，在上单调递增，当时，由在单调递减，在单调递增.再根据选项，结合函数性质依次讨论各选项，即可得答案.【解析】对于A选项，∵，∴，令，当时，在上恒成立，∴在上单调递增.当时，由，解得；由，解得；∴在单调递减，在单调递增.∵函数有两个零点，，不妨设，∴，，即，即，解得：；所以A不正确；对于B选项，因为函数有两个零点，，所以，是方程的两根，即，所以，设，则，所以因此令，则，所以，因此，即，所以B不正确；对于C选项，由于令，则，所以，因此，即：，故C错误；对于D选项，由在单调递减，在单调递增，所以有极小值点，由得，因此故D正确.综上，不正确的命题序号是ABC.故选：ABC.【点评】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数学运算能力，是难题.16．ABCD【分析】根据偶函数的定义，可判断．根据利用导数函数与平移变换调性，结合二次函数的单调性可判断；利用结合对称性可判断.【解析】即，所以是偶函数．故正确；，当时，，所以在上单调递增．又是偶函数．在上单调递减．因为图象是由的图象移一个单位得到，所以在单调递减，在单调递增，当时，在单调递减，在单调递增，又因为在单调递减，在单调递增，故正确；当时，关于对称，关于对称，且处不相交，所以交点的关于对称，交点的个数是偶数，故正确．若与的图象只有一个公共点，则，且两函数图象的极值点点重合，可得．故正确．故选：．【点评】本题考查如何判定函数的奇偶性，考查了利用对数研究函数的单调性，同时考查了计算能力与转化思想的应用，属于中档题．17．BCD【分析】由已知得，设，利用导数得到数列的单调性即可判断B、C，再利用，通过简单运算即可判断A、C.【解析】由知，，故为非负数列，又，设，则，易知在单调递减，且，又，所以，从而，所以为递减数列，且，故B、C错误；，故当时，有，所以，故D错误；因为，而，故A正确；故选：BCD.【点评】本题考查利用导数研究数列的性质，涉及数列的单调性、数列和的估计，考查逻辑思维能力的计算能力，属于中档题.18．BD【分析】根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.【解析】的定义域为R，，是奇函数，但是，不是周期为的函数，故选项A错误；当时，，，单调递增，当时，，，单调递增，且在连续，故在单调递增，故选项B正确；当时，，，令得，，当时，，，令得，,因此，在内有20个极值点，故选项C错误；当时，，则，当时，，设，，令，，单调递增，，，在单调递增，又由洛必达法则知：当时，，故答案D正确.故选：BD.【点评】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.19．AC【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可.【解析】的导数为，则，,对于A，即解得，故正确；对于B，，当x时在单调递增，故错误；对于C，可化为：设，又∴在上单调递减，∴在上恒成立，即，又在单调递增，在上单调递减，，∴故正确；对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点，即，，又在单调递增，在上单调递减，，时，即2a，a，故错误；故选：AC【点评】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题.20．ACD【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时，，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【解析】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．BC【分析】首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【解析】，令，得到.分别画出和的图像，如图所示：由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.所以，，为增函数，，，为减函数，，，为增函数，，，为减函数.所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，当时，取得极大值为，所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确.因为在为增函数，为减函数，所以存在，满足，且，显然，故D错误.故选：BC【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.22．BC【分析】由已知得，分n为偶数和n为奇数得出函数的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令，则，构造函数，利用其单调性可判断C；当时，取函数上点，求出点P关于直线对称的对称点，代入可判断D.【解析】因为函数(n为正整数)，所以，当n为偶数时，，函数是偶函数；当n为奇数时，，函数是奇函数，故A不正确；当n为偶数时，，所以，当且仅当时，即取等号，所以函数的最小值为4，故B正确；当n为奇数时，令，则，函数化为，而在上单调递增，在上单调递递减，所以在时，取得极小值，故C正确；当时，函数上点，设点P关于直线对称的对称点为，则，解得，即，而将代入不满足，所以函数的图象不关于直线对称，故D不正确，故选：BC．【点评】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.23．AC【分析】选项A先求导函数，判断当时，；当时，，从而判断是的极小值点，故选项A正确；选项B先假设存在正实数k，使得恒成立，再求无解，从而判断不存在，故选项B错误；选项C先求导函数，判断单调性，最后判断函数有两个零点，判断选项C正确；选项D先根据单调性得到，再令得到，假设成立，最后推出矛盾说明假设错误，判断选项D错误.【解析】选项A：因为，所以，当时，；当时，，所以是的极小值点，故选项A正确；选项B：假设存在正实数k，使得恒成立，当时，，解得：；当时，，解得：，故选项B错误；选项C：因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，；当时，；当时，，所以函数有两个零点，故选项C正确；选项D：因为函数在上单调递减，在上单调递增，，若当时有，则，，整理得：，令，则，，，假设，则，又因为只需证，但当时，，说明不等式不成立，所以假设错误，故选项D错误.故选：AC.【点评】本题考查利用导函数研究函数的极值、零点问题，利用导函数证明函数不等式问题，是偏难题.24．ACD【分析】对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.【解析】对进行求导可得：，显然为减函数，，故存在，使得，并且，，为增函数，，，为减函数，故为极大值点，所以A正确；所以，可得：，因为，所以，故B错误，若是的一解，即，则，故和都是的解，故C正确，由，可得，令，，令，因为，所以，故为减函数，而，所以当，，即，为增函数，，即，为减函数，所以，故当，有两个解，故D正确.故选：ACD.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.25．BC【分析】根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.【解析】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，当时，，当时，单调递减；当时，单调递增；图像所以，当时，，综上可得，选项B正确；对于选项C，，选项C正确.对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且，当时，，当变化时，，的变化情况如下：00极大值极小值极大值，极小值，当时，当变化时，，的变化情况如下：120极小值极小值，图像综上可得，或，的取值范围是，D不正确.故选：BC【点评】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.26．AB【分析】A．将问题转化为方程仅有一个解，然后构造新函数求解出的值；B．根据导数的几何意义求解出切线方程，然后判断是否平行；C．分析的单调性，直接求解出最大值并判断选项是否正确；D．对求导，利用导数分析单调性并判断选项是否正确.【解析】A．函数有唯一零点方程有唯一解，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，且方程有唯一解，所以，所以，故A正确；B．因为，所以，所以，且，所以切线方程为：，所以切线与平行，故B正确；C．记，在上单调递增，所以，故C错误；D．记，，所以在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误.故选：AB.【点评】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解切线方程、利用导数分析函数的单调性和最值以及函数零点和方程根的转化，对学生综合分析问题的能力要求很高，难度较难.27．AB【分析】直接对各选项分析即可.【解析】对于选项A，当时，在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，，则，在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.【点评】本题考查三角函数与函数的导函数，利用导函数研究单调性，进而求最值，属于中档题.28．ACD【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可.【解析】因为函数，定义域，所以，则，，对于A，，即，，即，故A正确；对于B，，当时，，单调递增，故B错误；对于C，若时，总有恒成立，则，在上恒成立，即，令，则，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故，因为，所以，故成立，C正确对于D，函数有两个极值点，则有两个零点，即，则，令，则，在递增，在单调递减，，即，，D正确，.故选：ACD.【点评】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题.29．BC【分析】将函数，利用对称性判断C,利用函数性质判断AD，利用导数判断C即可．【解析】由函数A.函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x轴，故不是周期函数；B.令，单调递增，又且对称轴是x＝，故在取得最小值，又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当恒成立，且因为<0在恒成立，故的最小值在取得，由，单增，又单调递减，同理，在单调递减，在单调递减，在单增，故故f（x）有最大值又有最小值；B正确．C.函数f（x）的定义域是R，且故其对称轴是x＝，此命题正确；D，f（），f（），∴f（）＜f（），故D不正确，综上，BC故选：BC．【点评】本题主要考查了函数思想，转化思想，属中档题，是个基础题．还考查函数图象的对称变化和利用导数解决单调性问题，数形结合法是解答本类题的重要方法．本题函数解析式复杂，不利于判断．30．BC【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．【解析】解：经验证，，，，都满足条件①；，或；当且时，等价于，即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，由的单调性知，当时，，∴，令，，，当且仅当即时，“”成立，∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，有单调性知，当时，，设，，则，在上是减函数，可得，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；D中，，则，则是偶函数，而（），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；故选：BC．【点评】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．31．AD【分析】对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等式等价变型，通过恒成立，可得C正确；D求出的最大值，当且仅当时取等号，故D错误.【解析】A.设，由图可知，当时，存在，使此时，故A错误.B.设单调递增，，B正确C.又，，C正确D.当且仅当；当且仅当；所以，当且仅当时取等号，D错误.故选：AD【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.32．CD【分析】求出的导数，讨论的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【解析】解：∵函数，∴，①若，那么，函数只有唯一的零点2，不合题意；②若，那么恒成立，当时，，此时函数为减函数；当时，，此时函数为增函数；此时当时，函数取极小值，由，可得：函数在存在一个零点；当时，，，∴，令的两根为，，且，则当，或时，，故函数在存在一个零点；即函数在上存在两个零点，满足题意；③若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递减，当时，，，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；④若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递增，故函数在上单调递增，函数在上至多存在一个零点，不合题意；⑤若，则，当时，，，即恒成立，故单调递增，当时，，，即恒成立，故单调递减，当时，，，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，的取值范围为，故选：CD.【点评】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.33．ABC【分析】将，当时，恒成立，转化为，.当时，恒成立，令，利用导数法研究其最小值即可.【解析】因为当时，恒成立，所以，当时，恒成立，令，则.令，因为，所以在上单调递增.因为，所以在上有且仅有一个实数根，于是在上单调递