安徽省池州市东至县高三月联考理数试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精安徽省池州市东至县2017届高三12月联考数学(理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，则QUOTE\＊MERGEFORMAT（）A.QUOTEB.QUOTE\＊MERGEFORMATC。QUOTED。QUOTE\＊MERGEFORMAT【答案】A【解析】QUOTE或QUOTE，QUOTE，故选A。2。已知向量QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，则向量QUOTE\＊MERGEFORMAT的夹角为（）A。QUOTE\＊MERGEFORMATB。QUOTE\＊MERGEFORMATC。QUOTE\＊MERGEFORMATD。QUOTE\＊MERGEFORMAT【答案】C【解析】QUOTE\＊MERGEFORMAT，解得QUOTE\＊MERGEFORMAT,那么QUOTE\＊MERGEFORMAT，故选C。3。将函数QUOTE的图象上的所有的点横坐标缩短为原来的QUOTE\＊MERGEFORMAT(纵坐标不变）,再将所得的图象向右平移QUOTE\＊MERGEFORMAT个单位,则所得的函数图象对应的解析式为(）A.QUOTE\＊MERGEFORMATB.QUOTEC.QUOTE\＊MERGEFORMATD。QUOTE【答案】C4。已知等比数列QUOTE\＊MERGEFORMAT满足：QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE,则QUOTE（）A.21B.42C。63D。84【答案】B【解析】QUOTE，即QUOTE,解得QUOTE,而QUOTE\＊MERGEFORMAT，故选B.5.已知“QUOTE\＊MERGEFORMAT"是“QUOTE"的充分不必要条件，则QUOTE\＊MERGEFORMAT的取值范围为(）A。QUOTE\＊MERGEFORMATB。QUOTE\＊MERGEFORMATC。QUOTE\＊MERGEFORMATD。QUOTE\＊MERGEFORMAT【答案】C【解析】QUOTE，解得：QUOTE\＊MERGEFORMAT或QUOTE,由已知可得QUOTE或QUOTE,即QUOTE，故选C.6。《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱A。QUOTEB。QUOTEC.QUOTED.QUOTE【答案】C7。如图可能是下列哪个函数的图象（）A。QUOTE\＊MERGEFORMATB.QUOTEC。QUOTE\＊MERGEFORMATD.QUOTE【答案】D【解析】函数过原点,所有QUOTE\＊MERGEFORMAT排除，当QUOTE时函数只有一个零点，而QUOTE\＊MERGEFORMAT，应该有无数个，所有QUOTE排除，当QUOTE\＊MERGEFORMAT时,QUOTE\＊MERGEFORMAT,所有QUOTE\＊MERGEFORMAT排除，只有QUOTE成立，故选D.点睛：本题考查了由图象选解析式的问题，也是高考考察的重点,首先从左向右观察函数的图象，确定函数的定义域，以及一些特殊点，排除选项，其次，观察函数的变化趋势，分析函数的单调性，以及函数值的趋向，最后还包含函数性质,比如奇偶性，对称性，有时也会结合导数的几何意义判断。8.已知函数QUOTE\＊MERGEFORMAT，则关于QUOTE\＊MERGEFORMAT的不等式QUOTE\＊MERGEFORMAT的解集为（）A。QUOTE\＊MERGEFORMATB。QUOTEC。QUOTE\＊MERGEFORMATD。QUOTE【答案】D9。在QUOTE中，QUOTE\＊MERGEFORMAT分别为边QUOTE上的点，且QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，若QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE，QUOTE，则QUOTE\＊MERGEFORMAT（）A.QUOTEB。QUOTEC.QUOTE\＊MERGEFORMATD。QUOTE\＊MERGEFORMAT【答案】B【解析】QUOTEQUOTE，故选B.10.已知QUOTE\＊MERGEFORMAT是等差数列QUOTE的前QUOTE项和，且QUOTE\＊MERGEFORMAT，给出下列五个命题：①QUOTE；②QUOTE；③QUOTE\＊MERGEFORMAT;④数列QUOTE中的最大项为QUOTE\＊MERGEFORMAT；⑤QUOTE，其中正确命题的个数为（）A。2B.3C.4D。5【答案】B【解析】QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，所有QUOTE\＊MERGEFORMAT,①正确；QUOTE\＊MERGEFORMAT，②正确;QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，③正确；因为QUOTE，所有数列QUOTE\＊MERGEFORMAT的最大项为QUOTE\＊MERGEFORMAT，④不正确；因为QUOTE,即QUOTE,⑤正确。故选B.11。已知QUOTE\＊MERGEFORMAT为正实数,则QUOTE的最大值为（)A.QUOTEB。QUOTEC.2D.1【答案】A【解析】原式为QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，同理QUOTE,所有QUOTE,等号成立的条件为QUOTE，所有QUOTE的最大值是QUOTE,故选A.点睛：本题主要考察了基本不等式的变形问题，重点说说基本不等式求最值的问题，常见的形式包括QUOTE,QUOTE，QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE\＊MERGEFORMAT（QUOTE\＊MERGEFORMAT）QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，以及QUOTE，QUOTE等公式，利用基本不等式求最值时，经常用到拼凑法,拼凑法灵活多样,需掌握技巧，比如本题就是比较常见拼凑的形式，还要注意使用基本不等式求最值时，需保证“一证,二定,三相等”。12.已知点QUOTE是QUOTE\＊MERGEFORMAT的中位线QUOTE\＊MERGEFORMAT上任意一点，且QUOTE,实数QUOTE\＊MERGEFORMAT满足QUOTE，设QUOTE，QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE，QUOTE\＊MERGEFORMAT的面积分别为QUOTE，记QUOTE，QUOTE，QUOTE\＊MERGEFORMAT，则QUOTE取最大值时，QUOTE\＊MERGEFORMAT的值为（）A.QUOTEB。QUOTE\＊MERGEFORMATC。1D.2【答案】D【解析】由条件可知QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE，那么QUOTE，等号成立的条件为QUOTE，说明点QUOTE\＊MERGEFORMAT在线段QUOTE\＊MERGEFORMAT的中点处,此时，QUOTE，所有QUOTE，QUOTE\＊MERGEFORMAT，故选D。点睛：本题的综合性比较强，向量与平面几何的结合，以及基本不等式求最值的综合问题,解决向量问题经常利用图形转化已知条件和结论，所以在平时学习时需清楚向量的代数表达和哪些平面几何知识建立联系，这样才能将一些比较抽象的代数问题变得具体.第Ⅱ卷(共90分）二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）13。已知幂函数QUOTE的图象过点QUOTE，则QUOTE\＊MERGEFORMAT__________．【答案】QUOTE【解析】设幂函数QUOTE\＊MERGEFORMAT，当QUOTE时，QUOTE，解得QUOTE，即QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT,故填：QUOTE\＊MERGEFORMAT.14.QUOTE的值为__________．【答案】QUOTE【解析】QUOTE\＊MERGEFORMAT，故填：QUOTE\＊MERGEFORMAT。15。设偶函数QUOTE\＊MERGEFORMAT对任意QUOTE，都有QUOTE，且当QUOTE时，QUOTE，则QUOTE\＊MERGEFORMAT__________．【答案】-8【点睛】本题考查了函数的性质,注意涉及周期性,属于基础题型，在函数中会有一些比较抽象的式子,有关于周期的,对称的，很多同学不太理解，重点说说这些抽象的式子，周期的有QUOTE\＊MERGEFORMAT,函数的周期为QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT，周期为QUOTE,或是有关半周期的式子QUOTE\＊MERGEFORMAT，这些都说明半周期为QUOTE\＊MERGEFORMAT,或是已知QUOTE\＊MERGEFORMAT，我们可以再得到QUOTE\＊MERGEFORMAT，两式相结合，也可以得到QUOTE，函数的半周期为3等式子,学习时不要弄混.16。在锐角QUOTE中，QUOTE\＊MERGEFORMAT，则QUOTE\＊MERGEFORMAT的最小值为__________．【答案】8【解析】QUOTE\＊MERGEFORMAT,即QUOTE\＊MERGEFORMAT,所以两边同时除以QUOTE\＊MERGEFORMAT，可得QUOTE\＊MERGEFORMAT，设QUOTE\＊MERGEFORMAT，那么有QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，那么QUOTE\＊MERGEFORMAT,故最小值为8。点睛:本题的综合性比较强，三角函数的恒等变形和函数求最值的问题相结合，QUOTE是解三角形的问题中用的比较多的一个公式，这样帮助我们消元,同时还要根据公式QUOTE\＊MERGEFORMAT变形为正切关系，这样统一了角,统一了三角函数名称，才能转化为函数关系求最值。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT图象的一条对称轴是直线QUOTE．（1）求QUOTE\＊MERGEFORMAT；（2)求函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的单调递增区间;(3）证明:直线QUOTE\＊MERGEFORMAT与函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的图象不相切．【答案】（1)QUOTE；（2）单调递增区间为QUOTE\＊MERGEFORMAT；（3）证明见解析．【解析】试题解析:（1)。∵QUOTE是函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的一条对称轴，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，∵QUOTE\＊MERGEFORMAT,∴QUOTE\＊MERGEFORMAT．(2）由QUOTE，得QUOTE，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT，即QUOTE\＊MERGEFORMAT的单调递增区间为QUOTE(3）∵QUOTE\＊MERGEFORMAT,∴曲线QUOTE\＊MERGEFORMAT的切线的斜率的取值范围为QUOTE\＊MERGEFORMAT，而直线QUOTE\＊MERGEFORMAT的斜率为QUOTE\＊MERGEFORMAT，所以直线QUOTE\＊MERGEFORMAT与函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的图像不相切.18。在QUOTE中，角QUOTE\＊MERGEFORMAT的对边分别为QUOTE，且QUOTE．（1）求QUOTE\＊MERGEFORMAT的值；（2）若QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE\＊MERGEFORMAT,求向量QUOTE\＊MERGEFORMAT在QUOTE\＊MERGEFORMAT方向上的投影．【答案】（1)QUOTE\＊MERGEFORMAT；（2）QUOTE试题解析：(1)由QUOTE\＊MERGEFORMAT，可得QUOTE,即QUOTE,∴QUOTE（2）由正弦定理得QUOTE，由题意知QUOTE，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT．由余弦定理得QUOTE，解得QUOTE（舍）QUOTE\＊MERGEFORMAT在QUOTE方向上的投影：QUOTE。19.设函数QUOTE，QUOTE．（1）当QUOTE\＊MERGEFORMAT（QUOTE为自然对数的底数）时，求QUOTE的最小值；（2）讨论函数QUOTE\＊MERGEFORMAT零点的个数．【答案】（1）QUOTE\＊MERGEFORMAT的最小值是QUOTE；（2）当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，函数QUOTE\＊MERGEFORMAT无零点；当QUOTE或QUOTE时，函数QUOTE\＊MERGEFORMAT有且只有一个零点；当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，函数QUOTE有且只有两个零点．【解析】试题分析：（1)求函数的导数QUOTE\＊MERGEFORMAT，函数的极值点为QUOTE，所以得到函数的单调区间，也就得到函数的最小值了；（2）根据QUOTE，参变分离后得到QUOTE，设QUOTE，通过导数求函数的单调性，以及图象特征，转化为QUOTE与函数的交点个数问题.（2)∵函数QUOTE，令QUOTE，得QUOTE;设QUOTE\＊MERGEFORMAT，则QUOTE\＊MERGEFORMAT当QUOTE时，QUOTE,QUOTE\＊MERGEFORMAT在QUOTE\＊MERGEFORMAT上是增函数;当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE在QUOTE上是减函数;当QUOTE是QUOTE\＊MERGEFORMAT的极值点，且是唯一极大值点，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT是QUOTE的最大值点；∴QUOTE的最大值为QUOTE\＊MERGEFORMAT,又QUOTE\＊MERGEFORMAT结合QUOTE的图像,可知：①当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，函数QUOTE\＊MERGEFORMAT无零点;②当QUOTE时，函数QUOTE有且只有一个零点；③当QUOTE时，函数QUOTE有两个零点;④当QUOTE时，函数QUOTE\＊MERGEFORMAT有且只有一个零点；综上：当QUOTE\＊MERGEFORMAT时,函数QUOTE无零点；当QUOTE或QUOTE\＊MERGEFORMAT时，函数QUOTE\＊MERGEFORMAT有且只有一个零点;当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，函数QUOTE有且只有两个零点.点睛：本题利用导数研究函数的零点,是高考考查的热点，对于超越方程求求根的个数，一般可根据构造函数，利用函数的导数分析函数的单调性和极值，分析函数图象的变化趋势分析函数图象,列出参数应满足的不等式求解，或是参变分离，转化为QUOTE和函数图象的交点问题，同样利用导数研究分离后等号右边的函数。20。已知函数QUOTE，若对于数列QUOTE\＊MERGEFORMAT满足:QUOTE\＊MERGEFORMAT，且QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE．（1)求证：数列QUOTE为等差数列,并求数列QUOTE\＊MERGEFORMAT的通项公式;(2）设QUOTE，若数列QUOTE的前QUOTE\＊MERGEFORMAT项和为QUOTE,求QUOTE．【答案】（1)QUOTE；（2）QUOTE\＊MERGEFORMAT．【解析】试题分析：（1）代入函数关系整理为QUOTE，再构造QUOTE\＊MERGEFORMAT，求得QUOTE，最后根据累加法得到数列QUOTE的通项公式;（2)根据(1）的结果代入得到QUOTE\＊MERGEFORMAT，根据错位相减法求和.试题解析：(1)QUOTE即QUOTE，∵QUOTE\＊MERGEFORMAT，∴QUOTE，∴数列QUOTE是一个以3为首项,以2为公差的等差数列；则QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE，QUOTE，……，QUOTE\＊MERGEFORMAT累加得QUOTE\＊MERGEFORMAT.验证QUOTE\＊MERGEFORMAT时上式成立,∴QUOTE\＊MERGEFORMAT（2）QUOTE，则QUOTE\＊MERGEFORMAT两式作差得：∴QUOTE\＊MERGEFORMAT点睛：数列求和的一些方法:(1）分组转化法，QUOTE，而数列QUOTE\＊MERGEFORMAT可以直接求和，那就用分钟转化法求和,举例QUOTE；（2）裂项相消法，能够将数列列为QUOTE\＊MERGEFORMAT的形式，再用累加法求和，举例QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，或是QUOTE\＊MERGEFORMAT等;（3)错位相加法,QUOTE\＊MERGEFORMAT，而QUOTE是等差数列,QUOTE\＊MERGEFORMAT是等比数列,适用于错位相减法求和，举例QUOTE\＊MERGEFORMAT;(4）倒序相加法，QUOTE\＊MERGEFORMAT，而QUOTE,两个式子相加得到一个常数列，即可求得数列的和，举例QUOTE,满足QUOTE;(6）其他方法。21.设二次函数QUOTE\＊MERGEFORMAT,方程QUOTE\＊MERGEFORMAT的两个根QUOTE\＊MERGEFORMAT满足QUOTE\＊MERGEFORMAT．（1）当QUOTE时，证明：QUOTE；（2)设函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的图象关于直线QUOTE\＊MERGEFORMAT对称,证明：QUOTE．【答案】(1）证明见解析；（2）证明见解析．试题解析：（1）令QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，∵QUOTE的两个根QUOTE\＊MERGEFORMAT，∴可以设QUOTE,当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，由于QUOTE，得QUOTE\＊MERGEFORMAT又QUOTE,得QUOTE\＊MERGEFORMAT即QUOTE\＊MERGEFORMAT又QUOTE\＊MERGEFORMAT,∵QUOTE\＊MERGEFORMAT，∴QUOTE\＊MERGEFORMAT，QUOTE，得QUOTE，∴QUOTE(2）由题意知函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的对称轴为QUOTE，∵QUOTE\＊MERGEFORMAT有两个根QUOTE，即QUOTE为方程QUOTE\＊MERGEFORMAT的根,∴QUOTE\＊MERGEFORMAT,QUOTE，因为∵QUOTE,∴QUOTE．22.已知函数QUOTE\＊MERGEFORMAT（其中QUOTE为常数）．（1)当QUOTE\＊MERGEFORMAT时,求函数QUOTE的单调区间；（2）当QUOTE\＊MERGEFORMAT时，设函数QUOTE\＊MERGEFORMAT的3个极值点为QUOTE，QUOTE，证明:QUOTE\＊MERGEFORMAT．【答案】(1)单调递减区间为QUOTE;单调递增区间为QUOTE\＊MERGEFORMAT;（2）证明见解析.【解