安徽省蚌埠市铁路中学高一下学期期中数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省蚌埠市铁路中学高一（下）期中数学试卷一。选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°,b2=ac，则△ABC一定是(）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（)A． B． C．2 D．33．已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．74．已知等比数列｛an｝满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．2435．已知等差数列{an｝前9项的和为27,a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．976．△ABC的内角A,B，C所对的边a,b,c满足（a+b)2﹣c2=4,且C=60°，则ab的值为(）A． B． C．1 D．7．若cos（﹣α）=,则sin2α=(）A． B． C．﹣ D．﹣8．若tanθ=，则cos2θ=(）A． B． C． D．9．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A． B． C． D．10．若tanα=，则cos2α+2sin2α=()A． B． C．1 D．11．函数f（x）=（sinx+cosx)(cosx﹣sinx）的最小正周期是()A． B．π C． D．2π12．已知函数f(x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．﹣=．14．已知△ABC的三边长分别为3,5，7，则该三角形的外接圆半径等于．15．已知，则的值为．16．无穷数列｛an}由k个不同的数组成，Sn为｛an}的前n项和，若对任意n∈N*,Sn∈{2，3}，则k的最大值为．三。解答题：本大题共6小题，共70分．要求写出必要演算或推理过程．17．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．(Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．(Ⅰ)证明：A=2B；(Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．19．已知函数f(x）=asinx•cosx﹣acos2x+a+b(a＞0)（1)写出函数的单调递减区间；（2）设x∈[0，］，f（x）的最小值是﹣2,最大值是，求实数a，b的值．20．已知｛an}是公差为3的等差数列,数列｛bn｝满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求｛an}的通项公式；（Ⅱ)求｛bn}的前n项和．21．已知等比数列｛an｝满足，n∈N*．(Ⅰ)求数列｛an}的通项公式；（Ⅱ）设数列｛an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N＊恒成立，求实数k的取值范围．22．已知｛an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55,a2+a7=16．(1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若数列{bn}满足+…+=an（n∈N＊）求数列｛bn}的前n项和Sn．

2016-2017学年安徽省蚌埠市铁路中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=ac,化为（a﹣c）2=0，解得a=c．又B=60°，可得△ABC是等边三角形，故选：C．2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=(）A． B． C．2 D．3【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0,从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=,∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣(舍去）．故选：D．3．已知{an｝为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于()A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B4．已知等比数列｛an}满足a1+a2=3，a2+a3=6,则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．243【考点】87：等比数列．【分析】由a1+a2=3,a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．【解答】解:由a2+a3=q(a1+a2)=3q=6，∴q=2，∴a1（1+q）=3,∴a1=1，∴a7=26=64．故选A．5．已知等差数列｛an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案．【解答】解：∵等差数列{an｝前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98,故选：C6．△ABC的内角A,B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A． B． C．1 D．【考点】HR：余弦定理．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°,再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,∴2ab﹣4=﹣ab,∴ab=．故选:A．7．若cos（﹣α)=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos(﹣2α）,再利用二倍角的余弦可得答案．法°:利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解:法1°：∵cos(﹣α）=，∴sin2α=cos(﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=,∴（1+sin2α）=,∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．8．若tanθ=，则cos2θ=（）A． B． C． D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．9．在△ABC中,B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（)A． B． C． D．【考点】HU：解三角形的实际应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=,BC边上的高等于BC,∴AB=BC，由余弦定理得:AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D10．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A． B． C．1 D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】将所求的关系式的分母“1"化为（cos2α+sin2α），再将“弦"化“切"即可得到答案．【解答】解：∵tanα=,∴cos2α+2sin2α====．故选：A．11．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是()A． B．π C． D．2π【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H1:三角函数的周期性及其求法．【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx)(cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B12．已知函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f(x）上横坐标成等差数列的三个点A,B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（)A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B,C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出;③④可由变化率判断出．【解答】解：由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B,C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．二。填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．﹣=．【考点】GT:二倍角的余弦．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：14．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5,c=7，运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解:可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为:．15．已知,则的值为．【考点】GU:二倍角的正切；GR：两角和与差的正切函数．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanx的值,从而求得tan2x,即可求得．【解答】解：∵，∴=2，解得tanx=;∴tan2x===∴==故答案为：．16．无穷数列｛an｝由k个不同的数组成,Sn为｛an｝的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则k的最大值为4．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2,3｝，列举出n=1，2,3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N＊，Sn∈｛2,3｝，可得当n=1时,a1=S1=2或3；若n=2,由S2∈｛2,3},可得数列的前两项为2,0；或2，1;或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0;或2，0，1;或2，1，0；或2,1,﹣1；或3，0，0;或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1,﹣1;若n=4,由S3∈｛2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0,0,1；或2，0,1,0;或2,0，1，﹣1;或2,1,0,0；或2，1，0,﹣1;或2,1，﹣1,0；或2，1，﹣1,1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1,0；或3,0，﹣1，1;或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0,1；或3,﹣1，1,0；或3，﹣1,1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1，﹣1,或3,0,1，﹣1．故答案为：4．三.解答题:本大题共6小题，共70分．要求写出必要演算或推理过程．17．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ)求cosA+cosC的最大值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=,进而得到答案；（Ⅱ)由(I）得:C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos(﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈(0，)，∴A+∈（，π），故当A+=时，sin(A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．18．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．(Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理,结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A,B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=,∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B,∴sinC=cosB，∴B+C=90°,或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．19．已知函数f(x）=asinx•cosx﹣acos2x+a+b（a＞0）（1）写出函数的单调递减区间;（2)设x∈［0,],f（x）的最小值是﹣2,最大值是，求实数a，b的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性；HW：三角函数的最值．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于asin（2x﹣）+b，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z,求得x的范围即得函数的单调递减区间．（2)根据x∈[0,］,可得2x﹣的范围,sin（2x﹣）的范围，根据f(x）的最小值是﹣2，最大值是，求得实数a，b的值．【解答】解：（1)f（x)=asinx•cosx﹣a=﹣+=﹣+b=asin（2x﹣）+b．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递减区间为［kπ+，kπ+]，k∈z．（2）∵x∈［0,],∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin(2x﹣)≤1．∴f（x）min==﹣2，f(x)max=a+b=,解得a=2，b=﹣2+．20．已知｛an｝是公差为3的等差数列，数列｛bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．(Ⅰ）求｛an｝的通项公式;(Ⅱ）求｛bn}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合｛an｝是公差为3的等差数列，可得{an}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列｛bn｝是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得:｛bn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=,∴a1=2，又∵{an｝是公差为3的等差数列，∴an=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．即3bn+1=bn．即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴｛bn｝的前n项和Sn==（1﹣3﹣n)=﹣．21．已知