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文档简介
高等应用数学——提升模块二（概率论与数理统计）项目三随机变量的数字特征任务一数学期望及其简单性质任务二方差及其简单性质任务一数学期望及其简单性质离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望期望的简单性质1．离散型随机变量的数学期望例1
求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值.解E(
X
)
=
2
+
3
+
2
+
4
+
2
+
3
+
4
+
5
+
3
+
2
=
3.10E(
X
)
=
2
·
4
+
3·
3
+
4
·
2
+
5·
1
=
3.10
10
10
10nk
E(
X
)
=
xk
fk
,fk
是xk的频率.nP(
X
=
xk
)
=
pk
,
E(
X
)
=
xk
pk
.k任务一数学期望及其简单性质设离散型随机变量X的概率分布为P(
X
=
xk
)
=
pk
(k
=1,
2,
3,
),如果级数¥
xk
pk=
x1
p1
+
x2
p2
+
+
xk
pk
+
k
=1定义1绝对收敛，则称这级数为随机变量X的数学期望（或均值），简称期望，记作E(X)，即¥E(
X
)
=
xk
pkk
=1nE(
X
)
=
xk
pk
.k
=1任务一数学期望及其简单性质例2
掷一枚均匀的骰子，用X表示出现的点数，求E(X).解X123456p111111666666nE(
X
)
=
xk
pk
,
k
=116161616161
7
.6
2E(
X
)
=1·+
2
·+
3·+
4
·+
5·+
6
·
=任务一数学期望及其简单性质例3
甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列如下:X0123p0.50.20.20.1Y0123p0.40.30.20.1问哪一台机床的质量好些？解E(
X
)
=
0
·
0.5
+1·
0.2
+
2
·
0.2
+
3
·
0.1
=
0.9,E(Y
)
=
0
·
0.4
+1·
0.3
+
2
·
0.2
+
3
·
0.1
=
1.0,E(X
)<E(Y
)，即甲机床质量好些.任务一数学期望及其简单性质（1）两点分布设X服从二点分布，即X的分布列为X0
1pp
qnE(
X
)
=
xk
pk
,
k
=1E(
X
)
=
0
·
q
+1·
p
=
p.任务一数学期望及其简单性质（2）二项分布设X服从二项分布，即X的概率分布为nP(
X
=
k
)
=
C
k
pk
qn-k
, (k
=
0,1,2,
,
n)nE(
X
)
=
xk
pk
,
k
=1nnnk
Ck
p
k
q
n
-
k=
k
)
==E
(
X
)
=
k
P
(
Xk
=
0
k
=
0任务一数学期望及其简单性质np
(
p
+
q
)
n
-1
=
n
p
.=
k n
!
p
k
q
n
-
kk
!(
n
-
k
)
!n
k
=1= n
p
(
n
-
1)
!
p
k
-1
q
(
n
-1
)
-
(
k
-1
)(
k
-
1)
![
(
n
-
1)
-
(
k
-
1)]!n
k
=1n
-1r
(
n
-1
)
-
rr
=
0(
n
-
1)
!=p
qr
![(
n
-
1)
-
r
]
!np
令
r
=
k
-
1任务一数学期望及其简单性质（3）泊松分布设X服从泊松分布，即X的概率分布为e-l
,
(k
=
0,1,
2,
;
l
>
0)P(
X
=
k
)
=lkk!nk
kk
=1E(
X
)
=
x
p
,lk
-1¥k
=1=
el
,
(k
-1)!
=
l
.l
=¥¥e-l
=
e-l
k
=1
(k
-1)!lk
-1E(
X
)
=
k
k!k
=0le-l
ellk任务一数学期望及其简单性质解例4
某种子公司的某类种子不发芽率为0.2，今购得该类种子1000粒，求这批种子的平均发芽粒数.X
~
B(1000,
0.8),E(
X
)
=
np
=1000
·0.8
=
800.任务一数学期望及其简单性质0!?
E
(
X
)
=
ll0e-lP(
X
=
0)
==
e-l
=
0.135,
l
=
-ln
0.135
»
2,E(
X
)
=
l
»
2.解k
!例5在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误.如果我们假定每页的错字个数是服从泊松分布的随机变量，求每页的平均错字个数.lkP(
X
=
k
)
=
e-l
,
(k
=
0,1,
2,
),任务一数学期望及其简单性质数学期望（或均值）,简称期望,记作E(X),即2．连续型随机变量的数学期望xp(x)dx.+¥-¥E(
X
)
=
定义2设连续型随机变量X的概率密度为p
(x),如果积分
+¥-¥
+¥-¥|
x
|
p(x)dx
存在,则称积分xp(x)dx
为随机变量X的任务一数学期望及其简单性质例6
已知随机变量X的概率密度为
0,0
£
x
£1,其他.p(x)
=
2(1
-
x),求X的数学期望E(X).1011220022
3+¥-¥E(
X
)
=xp(x)dx
=2x(1-
x)dx
=
1
13
2
(x
-
x
)dx
=
2x
-
x=
.3
解任务一数学期望及其简单性质（1）均匀分布设随机变量X在区间[a，b]上服从均匀分布，即X的密度为
0,其他.
1
,
a
£
x
£
b,p(x)
=
b
-
a+¥-¥xp(x)dx,
E(
X
)
=
x
bab=
(b
+
a).21
x
2
1
b
2
-
a
2
1=b
-
a
2
2
b
-
adx
=a
b
-
a
E(
X
)
=
xp(x)dx
=+¥-¥任务一数学期望及其简单性质（2）指数分布设X服从指数分布，即X的密度为0,(l
>
0)x
‡
0,x
<
0,p(x)
=
le-lx+¥-¥xp(x)dx,
E(
X
)
=
001l1l1
.l+¥+¥0-lx-¥+¥+¥-t-t
+¥0-tE(
X
)
=xp(x)dx
=
lxe dx
=te dt
=[(-te
)+e dt]
=
令t
=lx任务一数学期望及其简单性质（3）正态分布X
~
N
(m,s
2
)-12ps12s
2(-¥
<
x
<
+¥
,s
>
0)ep(x)
=(
x-m
)2+¥-¥E(
X
)
=xp(x)dx,
1222t2xee
dt,2s
2dx
s
12ps
1
2ps2ps12p-
1
(
x-m
)2+¥-¥+¥--¥+¥
-1
t2+¥
-1
t2-¥-¥x-mE(
X
)
=(s
t
+
m)e dt
=te dt
+
m
令
=
tm0E(
X
)
=
m.任务一数学期望及其简单性质10001例7
若某种电子元器件的寿命X（小时）服从参数为l
=的指数分布，求该种元器件的平均寿命.解E(X
)=1
=1000(小时).l即该元器件的平均寿命为1000小时.任务一数学期望及其简单性质3．期望的简单性质1010222·
4
+
32
·
3
+
42
·
2
+
52
·
1
.10
10
10=22
+
32+
22
+
42
+
22
+
32
+
42
+
52
+
32
+
22E(
X
)
=一般地，有下面求平均值的计算公式2nk
kx
f
.E(
X
)
=
kn
k
kk
=1x
2
pE(
X
2
)
=任务一数学期望及其简单性质一般地，如果X是离散型随机变量，X的概率分布为P(
X
=
xk
)
=
pk
(k
=1,
2,
3,
),则随机变量Y=f
(X)的均值可按下述公式计算：E[
f
(
X
)]
=
f
(xk
)
pk
.k如果X是连续型随机变量,X的密度为p
(x),则随机变量Y=f
(X)的均值可按下述公式计算：f
(x)
p(x)dx.+¥-¥E[
f
(
X
)]
=
任务一数学期望及其简单性质期望的性质：E(c)
=
c.E(kX
)
=
kE(
X
).E(
X
+
b)
=
E(
X
)
+
b.E(kX
+
b)
=
kE(
X
)
+
b....其中k、b、c都是常数.证(4)
设X的密度为p
(x)..f
(x)
p(x)dx,+¥-¥E[
f
(
X
)]
=
E(kXk+¥-¥+¥+¥-¥-¥+
b)
=(kx
+
b)
p(x)dx
=xp(x)dx
+
bp(x)dx
=kE(
X
)
+
b.
任务一数学期望及其简单性质例8
已知随机变量X的概率分布列为X-
3-1023p0.30.10.20.150.25X
2的期望E(X
2).E[
f
(
X
)]
=
f
(xk
)
pkk求解22k
kx
pE(
X
)
==k(-3)2
·0.3
+(-1)2
·0.1+
02
·0.2
+
22
·0.15
+
32
·0.25
=
5.65.
任务一数学期望及其简单性质f
(x)
p(x)dx,已知
X
~
N
(0,1)，求E(
X
2
).+¥-¥例9解
E[
f
(
X
)]
=
+¥-¥-+¥-¥e dx
=x222x22x
p(x)dx
=E(
X
)
=
1
2p
+¥-¥-+¥-¥-
-¥
+¥
e
dxxdx22x2x22e
=
-
x
1
e
-
2
+
1
2p2p
1
2p.
01\
E
(
X
2
)
=1.任务一数学期望及其简单性质Xa a
-
bpp
1
-
p例10
根据统计资料，一位40岁的健康人在5年内仍然活着的概率为p(0<
p
<
1,
p为已知)，在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办人寿保险，参加者需交保险费a元（a为已知），如果5年内死亡，公司赔偿b元
（b
>
a
）.如何确定b，才能使公司可期望获益？如果有m人参加公司保险，公司可期望收益是多少？解E(
X
)
=
ap
+
(a
-
b)(1-
p)
=
a
-
b(1-
p).E(
X
)
>
0,
.a1
-
pb
<a
-
b(1
-
p)
>
0,任务一数学期望及其简单性质
b
>
a,.a\
a
<
b
<1-
p（2）如果有m人参加保险，公司可望收益为E(mX
)
=
mE(
X
)
=
ma
-
mb(1-
p).任务一数学期望及其简单性质任务二方差及其简单性质方差的概念几种常用的分布的方差方差的简单性质1．方差的概念看下面两组数据：（1）2，3，2，4，2，3，4，5，3，2；（2）2，3，3，3，4，3，2，3，4，3，3，3.3(2
-3)2
+(3
-3)2
+(4
-
3)2
+(3
-3)2
+(3
-
3)2
+(3
-3)2
]
=
1
.2
2
2
21
4
3
2
1
D(
X
)
=
(2
-
3)
·
+(3
-
3)
·
+(4
-
3)
·
+(5
-
3)
·
.10
10
10
10nk
=11
k
kD(
X
)
=
[(x
-
E(
X
)]2
f21110D(
X
)
=·[(2
-
3)2
+(3
-
3)2
+(2
-
3)2
+(4
-
3)
+(2
-
3)2
+(3
-
3)2
+(4
-
3)2
+(5
-
3)2
+(3
-
3)2
+(2
-
3)2
]
=1.22112D(
X
)
=·[(2
-
3)2
+(3
-
3)2
+(3
-
3)2
+(3
-
3)2
+(4
-
3)2
+(3
-
3)
+n
k
kk
=1[(x
-
E(
X
)]2
pD(
X
)
=任务二方差及其简单性质设离散型随机变量X的概率分布为P(
X
=
xk
)
=
pk
,
(k
=
1,2,3,
)¥k
[(x
-
E(
X
)]2
pk
=1则k
称为X的方差，记作D(X)，即¥kk-
E(
X
)]2
pD(
X
)
=
[(xk
=1定义1任务二方差及其简单性质设连续型随机变量X的密度是p
(x)，则称定义2
+¥-¥[x
-E(X
)]
p(x)dx为X的方差，记作D(X)，即2+¥-¥D(
X
)
=
[x
-
E(
X
)]2
p(x)dxD(
X
)
=
E[
X
-
E(
X
)]2D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2方差D(
X
)的算术平方根
D(
X
),叫做随机变量X的标准差或均方差.任务二方差及其简单性质例1
设某显像管厂生产一种规格的显像管的使用寿命X(小时)的概率分布列如下：X80009000100001100012000p0.10.20.40.20.1求显像管使用寿命的平均值、方差和标准差.解E(
X
)
=
8000
·
0.1
+
9000
·
0.2
+10000
·
0.4
+11000·0.2
+12000·0.1
=10000.E(
X
2
)
=
80002
·0.1+
90002
·0.2
+100002
·0.4
+110002
·0.2
+120002
·0.1
=101200000.
D(
X
)
=
E(
X
2
)
-
E2
(
X
)
=101200000
-100002
=1200000.D(
X
)
=
1200000
»1095.45.任务二方差及其简单性质\
D(
X
)
=
E(
X
2
)
-
E
2
(
X
)
=
p
-
p2
=
p(1-
p)
=
pq.任务二方差及其简单性质2.几种常用的分布的方差（1）两点分布
E
(
X
)
=
p,E
(
X
2
)
=
12
·
p
+
02
·
q
=
p
,nn2
knk
Ck n
-
kk
=
0=
k
)
=p
q
=E(
X
2
)
=
k
2
P
(
X
k
=
0（2）二项分布
E
(
X
)
=
np,nk
2n
!k n
-
kp
q
=
k
=1nn
!k n
-
k[(
k
-
1)
+
1]p
q
=(
k
-
1)
!(
n-
k
)
!
k
=1nk
!(
n
-
k
)
!k n
!k n
-
kp
q
=(
k
-
1)
!(
n
-
k
)
!
k
=1任务二方差及其简单性质n
(
n
-
1)
p
2
+
np
,(
k
-
1)
n
(
n
-
1)(
n
-
2
)
!
p
2
p
k
-
2
q
(
n
-
2
)
-
(
k
-
2
)+n
k
=1n
k
=1(
k
-
1)
!(
n
-
k
)
! n
!
p
k
q
n
-
k
令
r
=
k
-
2
(
k
-
1)
!(
n
-
k
)
!n
-22r
=0(n
-
2)!n(n
-1)
ppr
q
(
n
-2
)-r
+
E
(
X
)
=r
![(n
-
2)
-
r
]!
\
D(
X
)
=
E(
X
2
)
-
E2
(
X
)
=n(n
-1)
p2
+
np
-
n2
p2
=
npq.任务二方差及其简单性质22k
!lklklk（3）泊松分布
E
(
X
)=
l,+¥k
=0+¥k
=1lk
-2
l2+¥+¥e-l
=e-l
=(k
-1)!e-l
=
l2
+
l,(k
-
2)!k
=1
(k
-1)!E(
X
)
=
k
(k
-1+1)
k
=2e-l
+
\
D(
X
)
=
l2
+
l
-
l2
=
l.任务二方差及其简单性质（4）均匀分布2
E
(
X
)
=
a
+
b
,222
2bax1
b3
-
a3
1E(
X
)
=dx
= =
(b
+
ab
+
a
),b
-
a
3(b
-
a)
3
132
a
+
b
2
112=
(b
-
a)2
.\
D(
X
)
=
(b2
+
ab
+
a2
)
-
任务二方差及其简单性质l（5）指数分布
E
(
X
)
=
1
,,00
2l
2l
2l+
2
+¥+¥+¥0E(
X
)
=x
le dx
=xe dx
=+¥x
20E(
X
2
)
=-lx-lxle-lx
dx
=
-x
2
e-lx\
D(
X
)
=
2
-
1
=
1
.l2
l2
l2任务二方差及其简单性质（6）正态分布
E
(
X
)
=
m,222t2t2t22t2[te2pss
22ps
22p
s
22p
1
2p(
x-m)22s
2+¥-¥+¥+¥---¥-¥+¥-+¥
-2+¥ -
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