2022-2023学年数学九年级上册同步测控优化训练 (九)

2022-2023学年数学新人教九年级上册同步测控优化训练

24.1.4圆周角

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.在。。中，同弦所对的圆周角（）

A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对

思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或

互补.

答案：C

2.如图24-1*4-1,在。O中，弦人口=弦。（2,则图中相等的圆周角的对数有（）

图24-1-4-1

A.5对B.6对C.7对D.8对

思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等

角对等弧，等弧对等角.

先找同弧所对的圆.周角：弧AD所对的N1=N3；弧DC所对的N2=,/4；弧BC所对的N5=

Z6；弧AB所对的/7=/8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=MDC,所以/1=/4,Zl=

Z2,N4=N3,N2=Z3.由上可知，相等的圆周角有8对.

答案：D

3.下列说法正确的是（）

A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

思路解析：本题考查圆周角的定义.

.答案:D

4.（2023东北师大附中月考）如图24-14-2,已知A、B、C、D、E均在OO上，且AC为。O的

直径，则NA+NB+NC=度.

图24-1-4-2

思路解析：根据圆周角定义，求得弧的度数是半圆周的一半.

答案：90°

10分钟训练（强化类训练，可用于课中）

1.（山东济南模拟）如图24-14-3,把一个量角器放在/BAC的上面，请你根据量角器的读数

判断/BAC的度数是（）

A.30°B.60°C.15°D.20°

思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答

答案：C

2.(2023南京建邺一模)如图24-1-4-4,A、B、C是。O上的三点,NACB=30°,则NAOB等

于()

A.75°B.60°C,45°D.30°

思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.

答案：B

3.(重庆模拟)如图24-14-5,OB、OC是。O的半径，A是。。上一点，若已知/B=20°,

ZC=30°,则NA=.

思路解析：连结AO,则AO=OB,OA=OC,所以NA=NB+NC=20°+30°=50°.

答案：50°

4.(经典回放)在半径为1的。O中，弦AB、AC分别是3和2,则NBAC的度数是一______.

思路解析：如图(1)和图(2),分两种情况，作直径AD,连结BD,易知ZBAD=30°,Z

CAO=45",/.ZBAC=15°或75°.

(1)(2)

答案：15°或75°

5.如图24-146所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ,A为BC外一动点，当点

A运动到使/BAP=NCAQ时，AABC是什么三角形？试证明你的结论.

思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.

解：当NBAP=/CAQ时，AABC是等腰三角形.

证明：如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E,连结DB、CE,由/

BAP=NCAQ,得弧BD=MCE.

从而于RBDE=MCED,所以BD=CE,NCBD=NBCE.又BP=CQ,

则4BPD丝aCQE,这时/D=/E,由此弧AB=MAC,故AB=AC,

即4ABC是等腰三角形.

快乐时光

某足球队队员添了一个小孩，所有队友被邀请参加洗礼，来到教堂.突然孩子从母亲手中

滑落，守门员果断地扑出，在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼，守门员习惯地拍

了两下，接着熟练地大脚开出.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.如图24-147,已知。O中，AB为直径，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分线交。

O于D,求BC、AD和BD的长.

Ak~J~

D

图24-1-4-7

思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角

三角形的性质解题.

解：：AB是直径，.\ZACB=ZADB=90°.

在RtAACB中，BC=A/AB2-AC2=V102-62=8.

VCD平分NACB,.,.弧AD=MBD..*.AD=BD,

在RtAADB中,AD=BD=曰AB=5后(cm).

2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件

哪一个肯定是半圆环形？()

图24-1-4-9

思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，

可得只有B符合定.理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模

型.

A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也

不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.

答案:B

3.(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9,A、C、B是。。上三点，若NAOC=40°,则NABC的度

数是()

A.10°B.20°C.40°D.80°

思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.

答案：B

4.如图24-14-10(1),已知aABC是等边三角形，以BC为直径的0O交AB、AC于D、E.(l)

求证：ZXDOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2),若NA=60°,ABWAC,则⑴中结论是

否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

4A

图24-1410

思路分析：^ABC是等边三角形，所以NB、NC均为60°,利用60°的圆周角定理，可

知△DOB、△£€)(：均为等边三角形.第二种情形类似.

(1)证明：:△ABC为等边三角形，

AZB=ZC=60°.

VOB=OC=OE=OD,AAOBD和AOEC都为等边三角形.

.../BOD=NEOC=60°..•.NDOE=60°.

...△DOE为等边三角形.

(2)解:当/A=60°,ABWAC时，(1)中的结论仍然成立.

证明：连结CD.：BC为。O的直径，

.,.ZBDC=90"./.ZADC=90".

ZA=60°,AZACD=30°.AZDOE=2ZACD=60°.

VOD=OE,.♦.△DOE为等边三角形.

5四边形ABCD中,AB〃DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图24-1411,求BD的长.

思路分析：由AB=AC=AD=a可以.得至IJ点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因

而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.

解：：AB=AC=AD=a,...点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作。A,

并延长BA交。A于E,连结DE.

,/AB〃CD,弧“BC=qADE.BC=DE=b.

「BE为。A的直径，，NEDB=90°.

在RtAEDB中，BD=BE2-DE2=-b2,BD的长为74«2-b2.

6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，

乙已跟随冲到B点，如图24-14-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙

射门好？

图24-1-4-12

思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑,

如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门

MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.

解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设

MA交。O于C,则NMANCNMCN,而/MCN=NMBN,所以NMANCNMBN.因此在

B点射门为好.

7.如图24-14-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且/

APB=。，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？

思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔

A、B的视角小于。，即可安全绕过暗礁区.

解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于9,即可安全绕过暗礁区.

(1)在弧APB外任取一点C,连结CA、CB,设CA交弧APB于F,连结FB.

VZAFB=Z0,ZAFB>ZC,/.ZC<9.

(2)在弧APB的弓形内任取一点D,连.结AD并延长交弧APB于E,连结DB、EB.VZ

E=0,ZABD>ZE,AZADB>0.

由(1)(2)知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧弧APB外任一点对A、B.的视角都

小于0;在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于0;在圆弧弧APB内任一点对A、B

的视角都大于6.为此只有当对两灯塔的视角小于6的点才是安全点.

8.(湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种

特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1414(1)所示：

图24-1-4-14

ZAOC是aABO的外角,，/人€«2=/人80+/8人0.

又：OA=OB,，ZOAB=ZOBA,.*.ZAOC=2ZABO,

即NABC」ZAOC.

2

如果/ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.

思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论：(1)圆心在

圆周角的一边上(是已给的情况)；(2.)圆心在圆周角内部；(3)圆心在圆周角外部.

解：如果/ABC的两边都不经过圆心，

结论NABC=，ZAOC仍然成立.

2

(1)对图(2)的情况，连结BO并延长交圆O.于点D,

由题图(1)知:NABD=，ZAOD,

2

ZCBD=-ZCOD.

2

.•.ZABD+ZCBD=-ZAOD+-ZCOD,

22

即/ABC」NAOC.

2

(2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.

9.(经典回放)如图24-1Y-15所示，已知AB为。0的直径，AC为弦，OD〃BC,交AC于D,

BC=4cm.

⑴求证：AC1OD；

⑵求OD的长；

(3)若NA=30°,求。。的直径.

图24-1-4-15

思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.

(1)证明:TAB是。O的直径，；.NC=90°.

V0D/7BC,AZADO=ZC=90°..,.AC±OD.

(2)解:：OD〃BC,又是AB的中点，...0D是AABC的中位线.

0D=—BC=—X4=2(cm).

22

(3)解:：NA=30°，在RtZ\ABC中，ZA=30°,

BC=-AB.

2

AB=2BC=8(cm)，即。O的直径是8cm.

10.(经典回放)如图24-1416所示，AB是。O的直径，C、D、E都是。O上的点，则N1+

Z2=.

思路解析：N1所对的弧是弧AE,N2所对的弧是弧BE,而弧AE+弧BE=MAB是半圆,

因此连结AD,NADB的度数是90°,所以/ADB=/1+N2.本题也可以连结EO,得到圆

心角NEOA和NEOB,而NEOA+NEOB=180°,所以Nl+N2=90°,这是圆周角定理的

直接应用.

答案：90°

图24-1416图24-1-4-17

11.(经典回放)如图24-1-4-17所示，AB为00的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列

叙述正确的是()

A.NAPB为锐角B./AQB为直角

C.NARB为钝角D.NASBCNARB

思路解析：AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以/APB、NAQB、NARB、Z

ASB都是直角.由于,四个角都是直角，所以NASB=NARB=90°.

答案：B

附送

考试必备心理素质

一、强化信心

1、经常微笑：经常有意识地让自己发自内心地对别人、对自己

微笑。

2、挺胸、抬头走路：挺胸抬头、步伐有力、速度稍快地走路。

3、积极自我暗示：要做自己的心理支持者，不吓唬自己，多肯

定自己。

4、不要攀比：高考的成功就是考出自己的水平。无论考前考中，

都