2022北京立新学校高二数学理模拟试卷含解析

2022北京立新学校高二数学理模拟试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

x(x+2)

1.不等式x-3<0的解集为()

A.{x|x〈-2或0<x<3}B.{x|-2<x<0或

x>3}

C.{x[x<-2或x>0}D.{x|x<0或x>3}

参考答案：

A

1

2.函数f(x)=3ax3-x2+5(a>0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是()

11

A.0<a<lB.0<a<2C.2<a<lD.a>l

参考答案：

D

【考点】利用导数研究函数的单调性.

1

【分析】函数f(x)=3ax3-x2+5(a>0)在(0,2)上不单调，即函数f(x)在(0,2)

内有极值点，结合图象可得到a的限制条件，从而可求出a的范围.

232

【解答】解：f(x)=ax.2x,函数f(x)=yax.x+5(a>0)在(0,2)上不单调，即函

数f(x)在(0,2)内有极值点，

因为a>0,且F(0)=0,所以有F(2)>0,即4a一4>0,解得a>l.

故选D.

3.已知△工5c中，a=42,b=6,8=60°,那么角Z等于（）

A.45°B.135°c,45"或135°

D.30。

参考答案：

A

4,函数〃x）=l°g2&+l）的值域为（）

A.（0，.）B.[°'EC.

D.口，用）

参考答案：

A

略

5.已知平面a与两条直线L"*,1*La,则是“用上口”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

参考答案：

C

根据线面垂直的性质定理可知，为充要条件，故选C.

6.下列四个命题：

①命题“若/一我+2=0,则x=l”的逆否命题为“若x#l,则I2-3x+2#0”；

T

a=—

②“4”是“CBS2a=0”的充分不必要条件；

③若「人1为假，）丫0为真，则A0有且仅有一个是真命题：

④对于命题p：3rE&,使得Y+x+l<0,则-iP：WxeA,使得Y+X+1".

其中，正确的命题个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

参考答案：

D

7.如果函数/。)=2--4。-&泣+1在区间[3,m)上是增函数，则实数a的取值范

围是

A(一0°,-2]B[-2,+°°)c(一阻4]D[4,+00)

参考答案：

8.A/4BC中，力>B是疝】/>sinB

A-充分非必要条件B.必要非充分条

a充要条件D.既非充分也

非必要条件

参考答案:

9.过点M(-2,0)的直线m与椭圆2+y=1交于R、P?两点，线段PR的中点为P,设直

线m的斜率为L(kWO),直线OP的斜率为kz,则kk的值为()

1

A.2B.-2C.2D.-~2

参考答案:

【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题.

【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公

式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线0P的斜率k2,

计算kh的值.

【解答】解：过点M(-2,0)的直线m的方程为y-0=k,(x+2),

代入椭圆的方程化简得(2k「+l)x2+8kjx+8k/-2=0,

2

-8kt-4k[2

22

；.xi+x2=2ki+1,，p的横坐标为2kl+1（

2kl-4kj22kl

222

P的纵坐标为k3x,+2）=2kl+1,即点P（2kl+1,2kl+1）,

-1

2k

直线OP的斜率k2=l,

，kik2=-2.

故选D

10.下列命题中，真命题是（）

x2

A.?x0CR,ex°W0B.?xGR,2>x

a

C.a+b=0的充要条件是E=-1D.a>1且b>1是ab>1的充分条件

参考答案：

D

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】对于A,根据指数函数的图象与性质来分析；

对于B,可举个反例说明其为假，如*=2时;左边=右边；

对于C,因为是充要条件，所以要互相推出；

对于D,只要能从左边推到右边即可.

【解答】解：A,根据指数函数的图象与性质可知e*N0恒成立，故A假；

B,举个反例说明其不成立即可，如x=2时，左边=右边，故B假；

—=~1

C,当a+b=O且bWO时，才能推出b,所以不是充分条件，故C假；

D,显然当a>l且b>l时，必有ab>l成立，故D为真命题.

故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

某学校数学课外活动小组在坐标纸上，为某沙漠设计植树方案如下：第k棵树

种植在点Pk(Xi’E)处，其中5=1,%=1，当kN2时，

1u上一］uk-2

x、=&i+l-5——+5——

<_L/「L：」,其中㈤表示实数a的整数部分，例如［2.6］=2,

［0.6］=0,按此方案，第2008棵树种植点的坐标为

参考答案：

分析：直接用累加法可得(3,402)。

12.已知函数f(x)的定义域为［-1,5］,部分对应值如下表：

X-10245

f(X)121.521

f(x)的导函数丫=『(X)的图象如图所示.

下列关于函数f(x)的命题：

①函数f(x)的值域为［1,2］；

②函数f(x)在［0,2］上是减函数；

③如果当xG［-l,t］时，f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4；

④当l<a<2时，函数y=f(x)-a最多有4个零点.

其中真命题的序号是一一.

参考答案：

①②④

13.如图，在正三棱柱工3C-4&G中，45=1.若二面角的大小为

60°,则点C到平面45cl的距离为

参考答案：

3

4

略

X—y-»-l>0

x4-y-3>0

14.若x,y满足约束条件卜一3《°则z=x+2y的最小值为.

参考答案：

3

【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

由z=x+2y,得y=-2X7,平移直线丫二一,、?，由图象可知当直线经过点C时,

__L二

直线y=2X2的截距最小，此时z最小，

：x-3=0fx=3

由1x+y-3=0,得1尸0,即c(3,0)

此时z=3+2x0=3.

故答案为：3

15.下列命题：

①设a,b是非零实数,若aVb,则ab'VaZb；

②若a<b<0,则ab；

x2+3

③函数yXx2+2的最小值是2；

14

④若x、y是正数，且x+y=l,则xy有最小值16；

21

⑤已知两个正实数x,y满足x+y=l,则x+y的最小值是久历.

其中正确命题的序号是—.

参考答案：

②④

【考点】不等式的基本性质；基本不等式.

【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式.

【分析】①的结论不成立，举出反例即可；

②由同号不等式取倒数法则，知②成立；

③④⑤分别利用基本不等式即可判断.

【解答】解：①设a,b是非零实数，若a<b,则ab'Va'b,此结论不成立，

反例：令a=-10,b=-1,则ab"=-10>a2b=-100,故①不成立；

11

②若aVbVO,由同号不等式取倒数法则，知故②成立；

4+3_____]__________

③函数y=Vx2+2=7x2+2+7x2+2>2的前提条件是JX2+2=1,•.•"+222,二函数y

的最小值不是2,故③不正确；

14_14[±IT1

④：x、y是正数，且X+JM,，l=x+y22Vxy,...VxyW4；.xy216,故④正确，

2112x-2x

⑤两个正实数X,y满足x+y=l,；.y=1-x=X,即y=X-2>o,;.x>2,

Xx-2+22

y+x=x+x-2=x-2+x-2+2=x-2+x-2+3^2V2+3,当且仅当x=2+M,y=V2+l时取

等号，故⑤不正确，

故答案为：②④.

【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成

立的条件等知识点的灵活运用.

16.命题“女€R，P>0"的否定是.

参考答案：

€A,x2<0

17.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有4个红球，则,（6=2）

为.

参考答案：

3

10

解析:S嚏亮

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

__3

18.二次函数/。)满足/(-3)=-73,1/(-2)=-1,且对称轴'=一5

(1)求“X)；(2)求不等式/⑺>-35--(108+刖)x+2冽2-73(冽eK)的解

集.

参考答案：

解：(1)设/(x)=a/+以+c(aH°)

.../(-3)=-73,/(-2)=-1>且〃x)的最大值是8,

a<0

-劭+c=-73

44以-2B+c=-1

.2«~2解得

a=-36

<b=-108

.C=-73：./(X)=-36x2-108X-73

(2)由(1)知不等式/⑺>-35--(108+痴)x+2/-73等价于

—36X2-108x-73>-35x2-(108+3m)x+2m2-73

即产-3wx+2w2cogp(x-w)(x-2w)<0

当活=0时，所求不等式的解集为空集；ks5u

当w>0时，所求不等式的解集为｛雁1冽<*<2加｝；

当M<0时，所求不等式的解集为Ml2w<x<羽｝

19.数列｛aj满足ai=Lna„+i=(n+1)a„+(n+1)n(nCN')，

(1)令c产n,证明｛cj是等差数列，并求a“；

]

(2)令,求数列｛b„｝前n项和S„.

参考答案：

【考点】数列的求和；等差关系的确定.

an

【分析】(1)把已知数列递推式两边同时除以n(n+1),可得数列｛T｝是以1为首项,

以1为公差的等差数列，求其通项公式后可得a0；

]

(2)把(1)中求得的数列通项公式代入b,K届后整理后利用裂项相消法求数列

｛b„｝前n项和S,,.

【解答】(1)证明：由na“+i=(n+1)a„+(n+1)n,得

n+1n,又：1

数列｛n｝是以1为首项，以1为公差的等差数列,

a

-^l+(n-l)Xl=n

贝Un

.a=n2

)•n:

1

⑵解：•.•b“=V^/anH=n(n+l)X

n+1,

334nn+1=n+1.

20.已知p：-x?+2x-mVO对x£R恒成立;q：x，mx+l=O有两个正根.若p/\q为假命

题，pVq为真命题，求m的取值范围.

参考答案：

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】先确定命题P，q为真时，实数m的范围，进而由p/\q为假命题，pVq为真命

题，则p,q一真一假，得到答案.

【解答】解：若P为真，则△=4-4m<0,HPm>l…

△=IT|2-4>0

《

若q为真，贝,即mW-2…

为假命题，pVq为真命题，则P，q一真一假

m〉l

若P真q假，则">-2,解得：m>l…

（Mi

若P假q真，则fn<-2,解得：mW-2…

综上所述：mW-2,或田>

1…

/8=4sinKsin（x4■马

21.已知函数3,在△ABC中，角的对边分别为。，b,c.

（I）当L2」时，求函数的取值范围；

（II）若对任意的XW*都有/（工）4/8,*=2,c=4,点。是边8C的中点，求AO

的长.

参考答案：

J(x)=4sinxsin(K+=4simc(sinxrosy+casx?biy)

解（I）函数

=2sin2x+2^snxcasx=l—cos2x+-^sn2x=2sin(2x——)+1

6

Qxjo,外..--<2x--<—

L2j666

JF

-1<2sin(2x-—)<2

则6

故得函数/U)的取值范围是：@3]

/（j0=2si®（2x--）+l

（II）由（I）可知6

任意的xeJt都有（冷，-2A6~2+2kX

一公歪

QO<d<第3

》=Zc=4由余弦定理：e——

可得：a=2后

———=———=--—sn/F=—,9nC7=l

由正弦定理，sindsinBsinC可得：2

:一B=一,C=—

62

JD=/犬*d5c）?二行

由勾股定理：可得V2

22.对于函数歹=/（x）,若存在XgC火，使得/@。）=的成立，称X。为不动点，已

知函数/（X）="”+©+1〃+@-1），3工0）

（1）当"=11=-2时，求函数/（x）不动点.

⑵若对任意的实数力，函数/（X）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

参考答案：

解：（1）是等差数列，且。3=5,即=13,设公差为d。

1+2d=5%=1