广东省湛江市廉江第三中学高二数学文期末试题含解析

广东省湛江市廉江第三中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可以推出“x＞﹣1”成立，反之则不一定能推．由此即可得到“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件．【解答】解：∵当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可得﹣1＜x＜3∴此时必定有“x＞﹣1”成立，故充分性成立；反之，当“x＞﹣1”成立时，不一定有“﹣1＜x＜3”成立，因此也不能推出“（x+1）（x﹣3）＜0”成立，故必要性不成立．综上所述，“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题给出两个不等式的条件，要我们判断其充分必要性，着重考查了不等式的解法和充要条件的判断等知识，属于基础题．2.函数的图象可能是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据可得正确的选项.【详解】设，，A，C，D均是错误，选B.【点睛】本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.

3.，，，则

（

）A.45

B.50

C.55

D.60参考答案：D4..设全集是实数集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合是

（

）A． B．

C．

D．

参考答案：C5.双曲线的焦距为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先将双曲线方程化成标准式，即可求出，再利用三者关系求出，即得到焦距。【详解】即，所以，因为，所以，焦距为，故选B。【点睛】本题主要考查双曲线的性质的应用。6.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为(

)A．

B．C．

D．参考答案：A7.已知，则（

）A．e2

B．e

C．

D．不确定参考答案：B略8.设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则cos的值等于A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知函数f（x）＝x2－bx＋a的图象如图所示，则函数g（x）＝lnx＋f′（x）的零点所在的区间是（）A.（，）B.（，1）C．（1,2）D．（2,3）参考答案：B10.在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】充要条件．【分析】由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知=2R，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正弦函数具有如下性质:若,则(其中当时等号成立).根据上述结论可知,在中,的最大值为______.

参考答案：12.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是

．参考答案：x+2y﹣8=0【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．再由由点斜式可得l的方程．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．13.阅读右面的程序框图，则输出的=

.参考答案：3014.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是

。参考答案：略15.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225，=1600，=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高．参考答案：166【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点求得回归方程，最后利用回归方程的预测作用求解该班某学生的脚长为24的身高即可．【解答】解：由题意可得：，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则，∴回归直线方程为，当x=24时，，则估计其身高为166，故答案为：166．16.点的极坐标为

。参考答案：或写成。略17.已知，且向量与的夹角为30o，则=

．参考答案：27【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件进行数量积的计算，便可求出的值．【解答】解：根据条件，=．故答案为：27．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在圆上任取一点P，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足.点M在线段DP上，且.（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；（Ⅱ）记（Ⅰ）所得的曲线为C，已知过点的直线与曲线C相交于两点A、B两点，设Q为曲线C上一点，且满足（其中O为坐标原点），求整数的最大值．参考答案：22.（Ⅰ）解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则由，即，得：，因为点P在圆上运动，所以.①把代入方程①，得，即这就是点M的轨迹方程.……5分（Ⅱ）曲线的方程为．由题意知直线的斜率存在.设直线的方程：，………6分，，，由得.………8分，.

……9分∵，∴，，

.

…………10分∵点在椭圆上，∴，∴

…………11分，

……………13分∴的最大整数值为1.

……14分

略19.中，分别为角的对边，且满足.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）；

（Ⅱ），则

于是，

由得，当即时，20.直线3x－4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点．（I）求圆C的方程；（II）圆C的弦AB长度为且过点(1,)，求弦AB所在直线的方程．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）或解：（I）令，则即

令则即．．．．．．．．．．．．1分圆心坐标为，直径．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）设直线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为,，所以圆心到直线的距离为．．．．．．．．．．．．．．．8分即解得或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以直线方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.已知锐角α，β满足：sinβ=3cos（α+β）sinα，且α+β≠（Ⅰ）求证：tan（α+β）=4tanα；（Ⅱ）求tanβ的最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）根据sinβ=sin[（α+β）﹣α]=3cos（α+β）sinα，展开化简可得要证的等式成立．（Ⅱ）由：tan（α+β）==4tanα，可得tanβ=，再利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵sinβ=sin[（α+β）﹣α]=3cos（α+β）sinα，即sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，即sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以：tan（α+β）=4tanα成立．（Ⅱ）由：tan（α+β）==4tanα，化简得：tanβ==≤，∴tanβ的最大值为，当且仅当tanα=时取到．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于基础题．22.已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为，（1）求圆C的方程；（II）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【分析】（I）设圆C的半径为r，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，从而确定圆C的方程；（II）当切线方程的斜率不存在时，显然得到x=2为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k，由P的坐标和k写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程．【解答】