全等三角形经典例题(含答案)

新思路全等三角形的经典例题判定方法条件注意⑴边边边公理（SSS）三边对应相等三边对应相等⑵边角边公理（SAS）/两边和它们的夹角对应相等（“两边夹一角”）必须是两边夹一角，不能是两边对一角⑶角边角公理（ASA）两角和它们的夹边对应相等（“两角夹一边”）不能理解为两角及任意一边…⑷角角边公理（AAS）两角和其中一角的对边对应相等例1：已知：如图，过ABC的顶点A,作AFLAB且AF=AB, AHXAC,使AH二AC,连结BH、CF,且BH与CF交于D点。求证：（1）BH=CF（2）BH±CF分析：从图中可观察分析，若证BH二CF,显然，若能证出ABH/AFC,问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB,AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，NBAF和NHAC都是直角。而图中的/BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：（1）VAFXAB,AHXAC&/.ZBAF=ZHAC=90二.ZBAF+ZBAC=ZHAC+ZBAC即NFAC二NBAH在ABH和AFC中A5=AF（已知）<ZBAH=/必。（已证）A"=AC（已知）...ABH0AFC（边角边）.*.BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设AC与BH交于点P在APH中,/ZHAP=90/.Z2+Z3=90（直角三角形中两个锐角互余）VZ1=Z2（全等三角形对应角相等）Z3=Z4/.Z1+Z4=Z2+Z3=90在PDC中;VZ1+Z4=90/.ZHDC=90/.BH±CF例2：已知，如上图：BD、CE是ABC的高，分别在高上取点P与Q,使BP=AC,CQ=AB。求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在ABP和QCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB,也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出N1=N2再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有ZBDA=NCEA=90，这样就

可看出N1和N2都是NBAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到N1=N2,这样问题就可以迎刃而解了。证明：•.•BDLAC于DCEXAB于E、二.ZBDA=ZCEA=90/.Zl+ZBAC=Z2+ZBAC=90/.Z1=Z2在ABP和PCA中=（已知）21=N2（已证）BP=AC（已知），ABP0QCA（边角边）?.AQ=AP（全等三角形对应边相等）例3：已知：如图，0A=OB、0C=0D求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在ADE和BCE中去寻找答案，而要证明ADE0BCE,比较明显的有一组对顶角相等，即NAED二NBEC,另外可以通过等式性质得到，OA-OD=OB-OC,即AD=BC,那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE二BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出NA=NB（或NADE二NBCE）,NA二NB除了是ADE和BCE的对应角外，它们还是AOC和BOD的对应角，只要AOC^BOD,那么就可以推出ZA=ZB,这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下AOC和BOD全等条件够吗证明：在AOC和BOD中04=03（已知）= 公共角）oc=00（已知）/.AOC0BOD（边角边）AZA=ZB（全等三角形的对应角相等）,/OA=OB（已知）OC=OD（已知）¥.*.AD=BC（等式性质）在ADE和BCE中=已证）v/AED=ZB£C（M顶角相等）AD=（已证），ADE0BCE（角角边）?.AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明NADE二NBCE来证明ADE^BCE呢例4：已知：如图，AD〃BC,AE、BE分别平分NDAB和NCBA,DC过点E。求证：AB=ARBC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。

证明（一）：在AB上截AF二AD,连结EF在ADE和AFE中AO=A厂（已作）<ZDAE=已知）AE=AE（公共边）二.ADE0AFEZD=ZAFE（全等三角形对应角相等）VAD#BC（已知）/.ZD+ZC=180（两直线平行，同旁内角互补）XVZD=ZAFE（已证）ZBFE=ZC（等角的补角相等）在BFE和BCE中ZBFE=NC（已证）ZFBE=NC8E（已知）BE=8月（公共边），BFE/BCE（角角边），BF=BC；.AB=AD+BC证明（二）：延长AE、BC交于点F。VAE.BE分别是NDAB和NCBA的平分线。XVAD#BC/.Zl+Z2+Z3+Z4=180（两直线平等，同旁内角互补）/.Z2+Z3=90/.ZAEB=90，ZBEF^O在ABE和FBE中[/3=/4（已知）BE=6石（公共边）ZAEB=ZBEF=90。（已证）二.ABE0FBE（角边角）；.AB=BFAE=EF在AED和FEC中/1="（两直线平等，内错角相等）<AE=石厂（已证）ZAED=/FXcG寸顶角相等）AED0FEC...AD=FC.•.AB=AD+BC（等量代换）

F例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分/BAD、CELAB于E,且NB+ND=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢由于AC是角平分线，所以在AE上截AF二AD,连结FC,可证出ADC/AFC,问题就可以得到解决。F证明（一）：在AE上截取AF二AD,连结FC。在AFC和ADC中AF=A0（已作）Nl=N2（已知）AC=AC（公共边）/.AFC0ADC（边角边）ZAFC=ZD（全等三角形对应角相等）VZB+ZD=180（已知）AZB=ZEFC（等角的补角相等）在CEB和CEF中NB=/石方。（已证）BZCEB=ZCEF=90。（已知）CE=。石（公共边）B，CEB/CEF（角角边）BE=EF,/AE=AF+EF，AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF二BE,连结FC（如右图）。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看,当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：ABC中，AD是BC边上的中线。求证：AD<1（ab+ac）2分析：求证AD<1（AB+AC）,即可变形为2AD<AB+AC,其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题