2023届陕西省西安市长安一中高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(含答案)

长安一中2020级高三第二次质量检测数学(理科)试题(共12小题5分)一、选择题，每小题21．已知复数=（为虚数单位），则的共轭复数的模为（）i−zzi23zA．12．如图是甲A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的C．甲有7次考试D．甲数学极差大于乙数学成绩的极差B．C．D．735、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（）次数成绩比乙高成绩的+x−4x24,5=，则（）3．已知集合A=B=0,1,2,3,4,50x，()()()()BADA．BCAB．AB．BA．RRRR4．图形是信息传播､互通的重要的视觉语言，《画法几何》是法国著名数学用“三视图"来表示三“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角.下图且网格纸上小正方形的边长为1，则锥的外接球的表面积为（）家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，维空间中立体图形.即做一个几何体的度观察，从正投影的角度作图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，该三棱A．26B．27C．30D．33高三理科数学试题第1页，共5页()y=sin2xlogx的图象大致是（）5．函数2A．C．B．D．6．已知在中，三个内角，，的对边分别为ca，b，，若函数ABCACB()()1fx=x3+bx2+a2+c2−acx+3无极值点，则cos的最小值是（）B3111A．BCD．．．4236−ABCDABCD中，为线段上的动点（不含端点），则下列AB1的正方体7．如图，棱长为结论错误的个数是（）①平面DAP⊥平面P11111AAP1110,2②APD的取值范围是1−③三棱1锥BDPC的体1积为定值④DC⊥DP11A．1B．2C．3D．4国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为8．中“曲池”､该几何体是上下的几何体，底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，AA垂直于1AD圆心角为，弧长度是弧BC2AA=5，底面扇环所对的底面，13倍，=，则积为（）长度的该曲池的体CD21195．10D．A．BC．22高三理科数学试题第2页，共5页9．设球O与圆锥SO的体积分别为V，V，若球O的表面积与圆锥SO的侧面积相等，且圆锥SO11121V1V2的轴截面为正三角形，则的值是（）323626A．BCD．3．3．33:+y2=1(ab0)的右焦点为x210．设椭圆b2C,AB关于原点对称，且满足F，椭圆上的两点Ca2FAFB=0,|FB||FA|2|FB|C的离心率的最大值是（），则椭圆1253A．BCD．3．．333x+−1(0)，给出下列结论：=11．已知fx()2sin23f(x)=1，f(x2)=﹣1，且1|x﹣x|=π，则ω=1；①若12minω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的y轴对称；图象关于6②存在4147f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；,24242③若−,f(x)在上单调递增，则0,④若64ω的取值范围为.3其中，所有错误结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④a12．设=0.1e0.1,b=1，c=−ln0.9，则（）9abcA．cbaB．cabC．D．acb二、填空题(共4小题，每题5分)13．已知⃗满足平面向量，⃗⃗，⃗⃗|=2，⃗−⃗⃗|=√2，则⃗与的夹角为．___________⃗⃗⃗=(11)，14．已知双曲线2−2=1(>0,>0)的两条渐近线均与圆(−5)+2=9相切，右焦点222和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．15．核酸检测是疫情防控的一项重要举措.某相邻两个居民小区均计划在下天时间内，随机选择其中的连续三天做检测，则恰好仅有一天这两个居民小区同时在做检测的概率为16．已知的三月的1日至7日这七___________.边长分别为，，，角是钝角，则的取值范围是________.△2高三理科数学试题第3页，共5页三、解答题：（一）必考题：共60分(每题12分)a17．已知等差数列a是单调递增数列，a=2，且a−a,a+5成等比数列，1,S是数列的nn345n2前n项和.3b的前项和，求(1)求数列a的通项公式；设(2)b=，是数列Tnn.Tnaann+1nnn18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝15，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.(1)证明：CD⊥平面PDM；(2)求直线AN与平面PBC所成角的正弦值.19.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次I的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为P=1P=，P=11p，．求批次I成品口罩的次品率．3534331123()(2)已知某批次成品口罩的次品率为p0p1，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概()()pp=p．某医院0pp0率为，记的最大值点为，改进生产线后批次J的口罩的次品率J获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口p罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有99.9%的把握认0为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？()nad−bc2K=()()()()附：2．a+bc+da+cb+d高三理科数学试题第4页，共5页()PKk20.0503.8410.0106.6350.0057.8790.001k10.8282(3,），椭圆C的左顶点为．(−2,0)20.已知椭圆C的一个焦点为，椭圆过2P(1)求椭圆C的方程；0的直线过点(2)已知斜率存在且不为D(1,0)，设直线与椭圆C交于A，B.ll=分别交直线x=3于点,，且，记直线AB，RD的斜率分别为k,k.MNMRRN若直线,PAPB探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．()kkfx=ex−ax2−bx−1,a,bR,e=2.71828为自然对数的底数21.已知函数.()()()(1)设gx是函数fx的导函数，求函数gx在区间上的最小值；0,11()ebxa时g(x)=0，证明：当x0时，−ln(x+1)x2．(2)若2min（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与]参数方程()22.在平面直角坐标系xOy中，圆2,2C的圆心坐标为且过原点，椭圆E的参数方程为1x=2cos（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y=sin()=极坐标方程为30.C曲线的2(1)求圆C的极坐标方程C2和曲线的普通方程；1(2)若曲线CC相交于异于原点的点P，是椭圆上的动点，求面积的最大值EOPM.M1与圆2[选修4—5：不等式选讲]()23.已知函数f(x)=2x+2x−1，集合A=xfx3.1−t−1s,tA，求证(2)若t(1)求A；ss.高三理科数学试题第5页，共5页2020级高三第二次质量检测理数答案详解一、选择题题号123456C7A89101112CD答案CCBBADBC二、填空题14.=115.616.(−1,√2−1]2513.42−21692选填详解：()1．C【详解】因为2z−z2=2−12i．故选：C．−是，所以其共轭复数i2=+12i3i32．C【详解】对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法错误；对于B，甲的数学成绩在130故B说法错误；65分以上的次数分以上的次数为次，为次，乙的数学成绩在130对于C,甲有7次考试成绩比乙高故的说法正确；,C对于D，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法错误.x+2x−40(2,4)，所以ð=Ax|x≤−2或x≥4}.{3．B【详解】因为A=<=−xR(){}ð=所以AB4,5故选：B.R4B．【详解ABCD−】依题意，如图，三棱锥是给定的三视图对应的两两垂直，且A=BACAD3，==三棱锥，其中AB,AC,AD三棱锥ABCD−与以AB,AC,AD为棱的正方体有共同的外接球，其直径是该正方体的体对角线，ππ，故选：B因此，三棱锥的外接球直径2R=AB2+AC2+AD2=33，其体积V4R27==2()()f(x)ysin2xlogx，则f(−x)=sin−2x⋅log−x=−f(x)，25．A【详解】设==⋅2()故=f(x)sin2xlogx为奇函数，故C,D⋅错误；2π()而令y=sin2x⋅logx=0时，在π之间的函数零点有1,两个，故B错误，故选：A(0,)22=1x3+bx2acacx+3，+()+−()6C．【详解】解：因为fx223所以f(x)x+2bxa++c2−ac，′=22′=若无极值点，即无变号零点，又二次函数f(x)yx2bx+a2=++c2−ac开口向上，f(x)02′≥∆≤0所以恒成立，等价为判别式，f(x)0a2+c2−b2，所以=+−≥accosB≥1故选：．C即=∆−4(a2+c2−ac)„0，得b24b2ac222ac27A．【详解】∵DA平面AAP，∴平面⊥⊥DAP平面AAP，111111①正确；22=9，此时8=+若P是AB上靠近A的一个四等分点，DP1211145AP2AA2+AP2−2AA×AP×cos45DP+AP2<AD2，2，8111111此时∠DPA为钝角，②错；1BDC，因此P−BDC的底面由于BP//CD，则BP//平面是确定的，高也是定值，其体积为定11111③值，正确；而DC⊥DC，DC//AB，所以DC⊥AB，且DC,⊥AD111111111,APDABAD=A，所以平面DC⊥1111111DP⊂平面APD，因此DC⊥DP，④A正确．故选：．111118．【详解】D不妨设弧AD所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，由弧AD长度为弧RBCrBC长度的3倍可知R=3r=−==，CDRr2r2，ππ=×−×=(R2r)510故选：=r1R3=.所以，故该曲池的体积V.D.24R9．【详解】C设球O的半径为，圆锥SO的底面半径为，r则圆锥SO的母线长l=2r，114πR34πR3V=∴1V6.33==3=πrl=2πr24πR=由题意得2，解得，r2R13πr3πr332⋅4r2−r2210D．【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，F'FAFB0FAFB⊥四边形AFBF'为平行四边形，又⋅=，即，=ABF=F'2c，所以平行四边形AFBF'为矩形，所以设AF'=n，AF=m，在直角ABF中，，+=22m+n=2amn4c2，mn2c2，nmb2mn2b=+=得，所以2[]，m12c2m=令，得t+=FBFA≤2FB，得≤=t∈1,2，又由tntb2n5∈1,441，9212c5cb2∈2,2，即2∈,+=所以t，所以tb22ba2225==1−b2∈c25,，所以离心率的取值范围是，故选：D.23,所以eaa232ππω+2π611B=ω+−=−ω+=sin2x，．【详解】∵f(x)2sin2x1cos2x33ππ2ωω2=.∴的最小正周期为f(x)=π①()=1()=1||xxmin2，所以=2π的最小正周期为，Tf(x)对于：因为，﹣，且﹣fxfx121πω∴=2⇒=1πω.故错误；①2ωπ+πω=对于：图象变换后所得函数为ysin2x+②，63ωπππ+=+π，∈，解得kkZ若其图象关于轴对称，则yω=1+3k，k∈Z，362当k时，=1∈(0,2).故正②+πω=0确；πππ[]ωx∈0,2π时，t=2ωx+∈,4ωπ+，当.=③对于：设t2x6666π,4ωπ+π在[0,2]上有7个零点，即在t∈ysintπ=上有7个零点.f(x)66π+<641≤<47ω.故错误；③，解得2424πωππ87≤则4π+πππkπ+3πkππω剟2k2xπ−++2k,kZ∈−ωω剟x6ω+ω,k∈Z,④对于：由，得，262ππ−„−πω3π6ωππω362，若在,fx上单调递增，则<ω，解得0=0−剟x()−.取，可得kππ„364ω…64④.B.故正确故选：f(x)ln(1+x)−x(x>−1)，因为=11+xx，1+x12C=−1=−．【详解】设f′(x)x(1,0)∈−时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时f′(x)<0，当f(x)ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在上单调递增，(−1,0)所以函数1f()f(0)0101ln−<0110<所以=>ln=−ln0.9>，即，bc，所以，故9999919191111<f(−所以10)f(0)0=<ln+<0<−<ab，所以，故，所以，故，ee101010101010()9x1ex+1−，则′=()g(x)x+1ex+12,g(x)xex+ln(1−x)(0<x<1)=设x−1=x−1=h(x)ex(x2−1)+1，h′(x=)ex(x2+2x−1)，令当0<x<−时，，函数′<h(x)0=h(x)ex(x2−1)+1单调递减，21′>=h(x)ex(x2−1)+1单调递增，当−<<时，，函数h(x)021x1<h(x)0，又h(0)=0，所以当0<x<−时，21′>g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，g(x)0，函数所以当0<x<−时，21g(0.1)>g(0)=0，即>−ln0.9>C.所以，所以ac故选：0.1e0.1二、填空题13．【详解】因为⃗=(1,1)，所以|⃗|=√2，因为⃗−�⃗�=√2⃗+2−2⃗⋅�⃗=2．所以�⃗，所以�⃗⃗⋅=2，2��⃗设�⃗夹角为，则⃗,由平面向量数量积的定义可得2=√2，2==|�⃗|⋅|�⃗|√2×2.故答案为：.4因为0≤≤，所以=414．【详解】由题意可知，双曲线2−2=1(>0,>0)的渐近线方程为=±，即±=220.由圆的方程为(−5)2+2=9，得圆心为(5,0)，半径为=3.双曲线右焦点的坐标为(5,0).=5=1(>0,>0)的两条渐近线均与圆:(−5)2+2=9相切，因为右焦点和圆心重合，所以又因为双曲线22−22所以|5×±0×|=3，即5×=3，解得=3.所以=2−2=25−9=16,2222=1.故答案为：=1.9所以该双曲线的标准方程为2−22−21691615．【详解】在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居51324354民小区均有种选择，分别为日至日，日至日，日至日，日至日，日至日，65752=25种，其中这两个居民小区恰好有一天同时在做核酸检测的情况：（123,345），故总的情况有234,4563455673（），（，）共有种情况，再进行排列，所以共有3=6种情况，2266所以恰好仅有一天这两个居民小区同时在做核酸检测的概率为故答案为：252516．【详解】的三边长分别为，，，且角是钝角，则2△>+2，2−1c>b当时，令=>1，(2)<22===2+1(，)+22()2+1)2+2(111=√2−1≤=“=”，当且仅当=√2+1时取，)+22√2+22(+22�()⋅2+2即()≤√2−1，0<22−1c≤b当时，=∈(0,1]，(2)>22==，2+12()2+1，∈(0,1]，′()=1⋅(2+1)()=2>0，()在(0,1]上单调递增，(0)<ft令()=2+1(2+1)2(2+1)2()≤(1)，即−1<()≤0，2].综上得(−1<()2−1.故答案为：2−1)≤√2−1，所以的取值范围是√]2(−1,√2(−1,222三、解答题{}．【详解】解：（）设()171>0a的公差为dd，则na+d=2,∴2−2d−3=0，∵>0，∴，=3d=−11)()()da1da+2d−1a+4d+5=a+3d2111{}()∴a的通项公式为a=a+n−1d=3n−4.nn133=11=bn=（）由（）得aa3n−43n−13n−4−3n−1，()()21nn+1111111T=−+−+−+...+58111113n.−122518.解析：3n−7−3n−43n−4−3n−1=−1−3n−1=−3n−111(1)证明因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM.又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，⊆PD，DM平面PDM，所以CD⊥平面PDM.⊆(2)解因为PM⊥MD，由(1)知PM⊥DC，又MD，DC平面ABCD，MD∩DC＝D，所以PM⊥平面ABCD.连接AM，则PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM＝7.又PA＝15，所以PM＝22.由(1)知CD⊥DM，过点M作ME∥CD交AD于点M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为A(－3，2，0)，P(0，0，22)，C(3，－1，0)，E，则ME⊥MD.故可以以x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则321233252→所以N，－，2，所以AN＝，－，2.设平面PBC一个法向量为n＝(x，y，z).设直线AN与平面PBC所成的角为θ，()()3,−1,−22=BC23,−2,0nBC=0,由可求出n＝(1，3，0).nPC=0PC=→55正弦值为.10则sinθ＝|cos〈AN→，n〉|＝＝.故直线AN与平面PDM所成角的AN→·n10|AN|·|n|19.【详解】解：（1）批次Ⅰ成品口罩的次品率为()()()3433323××=35343335．p=−11−p1−p1−p=−11123（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率ϕ()()p=C1p⋅1−p99．100ϕ′()()()()()p=1001−p−99p1−p=1001−p⋅1−100p999898因此．令ϕ′(p)=0，得p=0.01．当p∈(0,0.01)时，ϕ′(p)>0；当p∈(0.01,1)时，ϕ′(p)<0．ϕ(p)的最大值点为p=0.01．所以0pp3≈0.09==0.01由（1）可知，=p1，，故批次J口罩的次品率低于批次Ⅰ，35J0故批次J的口罩质量优于批次Ⅰ．由条形图可建立2×2列联表如下：口罩批次核酸检测结果合计JI呈阳性呈阴性合计12284035760(1585100())nad−bc=1001257283××−×22K2=()()()()a+bc+da+cb+d×××40601585=100×600×600200≈11.765>10.828．=40×60×15×8517因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．x2y2=1+20.(1)42=yk(x−1),l的方程为：yk(x−1)，与椭圆方程联立可得=(2)由题意得直线x2y2=1,+42(2k+x2−4k2+1)x2k整理得2−4=0，24k22k2+12k2−4xx=2k2+1②，（8分）12A(x,k(x−1)),B(x,k(x−1))，则设①，xx+=112212k(x−1)x+215k(x−1)x+21y(x+2)，令x=3，解得M(3,)，又P(−2,0)，所以直线的方程为PA115k(x−1))，N(3,同理可得，2x+22x(1−1x−125kMRRNR(x,y).因为=，所以x==3，2x+2+x+2)，设RyRRR125−3k=−53−1556将①②代入上式并化简可得，所以k′==−，故k⋅k′=−6k，为定值．yR3k()()()gx=fx=ex−2ax−b∴g'x=−ex2a21.解析：（1）'[]gx∈1−2a,e−2a∴当1−2a≥0⇒a≤1时，g'x≥0[]()()当x∈0,1时，'2()∴gx()()∴gx=g0=1−b单调递增min()()()ln2,1单调递增当1−2a<0<e−2a⇒1<a<e()时在a单调递减，在a2()∴gx=gln2a=2a−2aln2a−bgx()0,ln22()()()min()()当e−2a≤0⇒a≥e时，gx≤0∴gx单调递减'2()()1综上所述：时，()()∴gx=g1=e−2a−ba≤gx=g0=1−b2minmin()12<a<e()时，()()gx=gln2a=2a−2aln2a−b2min()()gx=g1=e−2a−ba≥e时，2min1a≤时g(x)=1−b（2）由（1）知,当2min,>++x,即ex−1>x+x2=x2+2x,∴b=1且2x>0时1exx222()x2要证不等式e−1ln(x+1)>x2,只需证明ex−1>ln(x+1),xx