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文档简介
一、选择题1.(文)若sin2θ=eq\f(1,4),则tanθ+eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A.-8 B.8C.±8 D.2[答案]B[解析]tanθ+eq\f(cosθ,sinθ)=eq\f(sinθ,cosθ)+eq\f(cosθ,sinθ)=eq\f(sin2θ+cos2θ,sinθcosθ)=eq\f(1,\f(1,2)sin2θ)=eq\f(2,\f(1,4))=8,故选B.(理)已知sinα=eq\f(2,3),则cos(π-2α)=()A.-eq\f(\r(5),3)B.-eq\f(1,9)\f(1,9) \f(\r(5),3)[答案]B[解析]本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用.由诱导公式得cos(π-2α)=-cos2α,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×eq\f(4,9)=eq\f(1,9),∴cos(π-2α)=-eq\f(1,9).2.已知sinα=eq\f(3,5),且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),则eq\f(sin2α,cos2α)的值为()A.-eq\f(3,4) B.-eq\f(3,2)\f(3,4) \f(3,2)[答案]B[解析]∵sinα=eq\f(3,5),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),∴cosα=-eq\f(4,5),∴eq\f(sin2α,cos2α)=eq\f(2sinαcosα,cos2α)=eq\f(2sinα,cosα)=eq\f(2×\f(3,5),-\f(4,5))=-eq\f(3,2).\r(2+2cos8)+2eq\r(1-sin8)的化简结果是()A.4cos4-2sin4 B.2sin4C.2sin4-4cos4 D.-2sin4[答案]C[解析]eq\r(2+2cos8)+2eq\r(1-sin8)=2|cos4|+2|sin4-cos4|,∵π<4<eq\f(5π,4),∴cos4<sin4<0.∴原式=-2cos4+2(sin4-cos4)=2sin4-4cos4.故选C.4.(文)已知sinα=eq\f(\r(5),5),则sin4α-cos4α的值为()A.-eq\f(3,5) B.-eq\f(1,5)\f(1,5) \f(3,5)[答案]A[解析]sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=2×eq\f(1,5)-1=-eq\f(3,5),故选A.(理)设5π<θ<6π,coseq\f(θ,2)=a,则sineq\f(θ,4)等于()\f(\r(1+a),2) \f(\r(1-a),2)C.-eq\r(\f(1+a,2)) D.-eq\r(\f(1-a,2))[答案]D[解析]∵5π<θ<6π,∴eq\f(5π,4)<eq\f(θ,4)<eq\f(3π,2),∴sineq\f(θ,4)<0,∵a=coseq\f(θ,2)=1-2sin2eq\f(θ,4),∴sineq\f(θ,4)=-eq\r(\f(1-a,2)).5.函数f(x)=sin2x+eq\r(3)sinxcosx在区间[eq\f(π,4),eq\f(π,2)]上的最大值是()A.1 \f(1+\r(3),2)\f(3,2) D.1+eq\r(3)[答案]C[解析]f(x)=eq\f(1-cos2x,2)+eq\f(\r(3),2)sin2x=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+eq\f(1,2),又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2))),∴2x-eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(5π,6))),f(x)max=1+eq\f(1,2)=eq\f(3,2),故选C.6.已知tan2α=-2eq\r(2),且满足eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2),则eq\f(2cos2\f(α,2)-sinα-1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α)))的值为()\r(2) B.-eq\r(2)C.-3+2eq\r(2) D.3-2eq\r(2)[答案]C[解析]eq\f(2cos2\f(α,2)-sinα-1,\r(2)sin\f(π,4)+α)=eq\f(cosα-sinα,sinα+cosα)=eq\f(1-tanα,tanα+1).又tan2α=-2eq\r(2)=eq\f(2tanα,1-tan2α)∴2eq\r(2)tan2α-2tanα-2eq\r(2)=0.解得tanα=-eq\f(\r(2),2)或eq\r(2).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2),∴tanα=eq\r(2).原式=eq\f(1-\r(2),\r(2)+1)=-3+2eq\r(2).故选C.二、填空题7.设a=eq\f(1,2)cos6°-eq\f(\r(3),2)sin6°,b=eq\f(2tan13°,1+tan213°),c=eq\r(\f(1-cos50°,2)),则a、b、c的大小关系为______(由小到大排列).[答案]a<c<b[解析]a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,∵y=sinx在(0°,90°)上单增,∴a<c<b.8.已知eq\f(π,2)<α<π,化简eq\r(\f(1,2)-\f(1,2)\r(\f(1,2)-\f(1,2)cos2α))=______.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-\f(π,4)))[解析]原式=eq\r(\f(1,2)-\f(1,2)|sinα|)=eq\r(\f(1,2)-\f(1,2)sinα)=eq\r(\f(sin\f(α,2)-cos\f(α,2)2,2))=eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)-cos\f(α,2)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-\f(π,4))).三、解答题9.(2022·天津理,15)已知函数f(x)=tan(2x+eq\f(π,4)),(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设α∈(0,eq\f(π,4)),若f(eq\f(α,2))=2cos2α,求α的大小.[解析](1)由2x+eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z,得x≠eq\f(π,8)+eq\f(kπ,2),k∈Z,所以f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,8)+\f(kπ,2))),k∈Z)).f(x)的最小正周期为eq\f(π,2).(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))=2cos2α,得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=2cos2α,eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4))))=2(cos2α-sin2α),整理得eq\f(sinα+cosα,cosα-sinα)=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),所以sinα+cosα≠0.因此(cosα-sinα)2=eq\f(1,2),即sin2α=eq\f(1,2).由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),得2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).所以2α=eq\f(π,6),即α=eq\f(π,12).一、选择题1.函数f(x)=(3sinx-4cosx)·cosx的最大值为()A.5 \f(9,2)\f(1,2) \f(5,2)[答案]C[解析]f(x)=(3sinx-4cosx)cosx=3sinxcosx-4cos2x=eq\f(3,2)sin2x-2cos2x-2=eq\f(5,2)sin(2x-θ)-2,其中tanθ=eq\f(4,3),所以f(x)的最大值是eq\f(5,2)-2=eq\f(1,2).故选C.2.若cosα=-eq\f(4,5),α是第三象限的角,则eq\f(1+tan\f(α,2),1-tan\f(α,2))=()A.-eq\f(1,2) \f(1,2)C.2 D.-2[答案]A[解析]本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用.∵cosα=-eq\f(4,5)且α是第三象限的角,∴sinα=-eq\f(3,5),∴eq\f(1+tan\f(α,2),1-tan\f(α,2))=eq\f(\f(cos\f(α,2)+sin\f(α,2),cos\f(α,2)),\f(cos\f(α,2)-sin\f(α,2),cos\f(α,2)))=eq\f(cos\f(α,2)+sin\f(α,2),cos\f(α,2)-sin\f(α,2))=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)+sin\f(α,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)-sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)+sin\f(α,2))))=eq\f(1+sinα,cos2\f(α,2)-sin2\f(α,2))=eq\f(1+sinα,cosα)=eq\f(1-\f(3,5),-\f(4,5))=-eq\f(1,2),故选A.二、填空题3.(2022·江苏,7)已知tan(x+eq\f(π,4))=2,则eq\f(tanx,tan2x)的值为______.[答案]eq\f(4,9)[解析]由tan(x+eq\f(π,4))=2,可得tanx=eq\f(1,3),从而tan2x=eq\f(2tanx,1-tan2x)=eq\f(3,4),则eq\f(tanx,tan2x)=eq\f(4,9).4.若sinα·cosβ=eq\f(1,2),则cosα·sinβ的取值范围是________.[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))[解析]解法一:设t=cosα·sinβ,又sinα·cosβ=eq\f(1,2),∴sinα·cosβ·sinβ·cosα=eq\f(1,2)t,即sin2α·sin2β=2t,|sin2α·sin2β|≤1.∴2|t|≤1,即-eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,2).∴cosα·sinβ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))).解法二:由sinα·cosβ=eq\f(1,2)知sin2α·cos2β=eq\f(1,4).则cos2α·sin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=1-(sin2α+cos2β)+sin2αcos2β=eq\f(5,4)-(sin2α+cos2β)≤eq\f(5,4)-2eq\r(sin2αcos2β)=eq\f(1,4),所以-eq\f(1,2)≤cosα·sinβ≤eq\f(1,2).三、解答题5.已知函数f(x)=asinx·cosx-eq\r(3)acos2x+eq\f(\r(3),2)a+b.(a>0)(1)x∈R,写出函数的单调递减区间;(2)设x∈[0,eq\f(π,2)],f(x)的最小值是-2,最大值是eq\r(3),求实数a,b的值.[解析](1)f(x)=a(sinx·cosx-eq\r(3)cos2x+eq\f(\r(3),2))+b=a×(eq\f(1,2)sin2x-eq\r(3)×eq\f(1+cos2x,2)+eq\f(\r(3),2))+b=a·sin(2x-eq\f(π,3))+b∵a>0,x∈R,∴由2kπ+eq\f(π,2)≤2x-eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(3π,2)(k∈Z)得,f(x)的递减区间是[kπ+eq\f(5,12)π,kπ+eq\f(11,12)π](k∈Z)(2)∵x∈[0,eq\f(π,2)],∴2x-eq\f(π,3)∈[-eq\f(π,3),eq\f(2π,3)]∴sin(2x-eq\f(π,3))∈[-eq\f(\r(3),2),1]∴函数f(x)的最小值是-eq\f(\r(3),2)a+b=-2最大值a+b=eq\r(3),解得a=2,b=eq\r(3)-2.6.(2022·重庆文,18)设函数f(x)=sinxcosx-eq\r(3)cos(x+π)cosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=f(x)的图像沿b=(eq\f(π,4),eq\f(\r(3),2))平移后得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)在[0,eq\f(π,4)]上的最大值.[解析](1)f(x)=eq\f(1,2)sin2x+eq\r(3)cos2x=eq\f(1,2)sin2x+eq\r(3)×(eq\f(1+cos2x,2))=eq\f(1,2)sin2x+eq\f(\r(3),2)cos2x+eq\f(\r(3),2)=sin(2x+eq\f(π,3))+eq\f(\r(3),2)∴f(x)的最小正周期为π.(2)依题意g(x)=f(x-eq\f(π,4))+eq\f(\r(3),2)=sin(2x-eq\f(π,2)+eq\f(π,3))+eq\f(\r(3),2)+eq\f(\r(3),2)=sin(2x-eq\f(π,6))+eq\r(3)当x∈[0,eq\f(π,4)]时,2x-eq\f(π,6)∈[-eq\f(π,6),eq\f(π,3)]sin(2x-eq\f(π,6))∈[-eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2)]∴g(x)在[0,eq\f(π,4)]上的最大值为eq\f(\r(3),2)+eq\r(3)=eq\f(3\r(3),2).7.已知向量a=(cosx+2sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx).设函数f(x)=a·b+eq\f(1,2).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数y=f(x+φ)为偶函数,试求符合题意的φ的值.[分析]写出y=f(x)的表达式是解题的关键.对于(1),结合题意,利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y=f(x)的表达式,进而求出函数的单调减区间;对于(2),函数y=f(x+φ)为偶函数的实质就是求y轴是函数y=f(x+φ)的一条对称轴.考虑到y=sinx的对称轴为x=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),故可利用整体思想来解决.[解析](1)由已知可得f(x)=(cosx+2sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx+eq\f(1,2)=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx+eq
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