中考数学专题复习之二-胡不归问题

中考数学专题复习之二——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒。当他得知老父亲病危的消息后，便立即启程赶回家。他只考虑了两点之间线段最短的原理，选择了直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。当他气喘吁吁地赶到家时，老人已经去世了。邻居告诉他，老人在弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子是否能提前到家？如果可以，他应该选择哪条路线？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。例1.（2012崇安模拟）如图，平面直角坐标系中，$\triangleABC$中，$AB=AC$，$A(0,22)$，$C(1,0)$，$D$为射线$AO$上一点。一动点$P$从$A$出发，运动路径为$A→D→C$，点$P$在$AD$上的运动速度是在$CD$上的3倍。为使整个过程运动时间最少，则点$D$的坐标应为（，2）（，）（，）（，）$A$、$B$、$C$、$D$。例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(-1,2)$，$B(0,-3)$，$C(2,4)$，其中对称轴与$x$轴交于点$D$。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若$P$为$y$轴上的一个动点，连接$PD$，则$PB+PD$的最小值为（）。（3）$M(s,t)$为抛物线对称轴上的一个动点。①若平面内存在点$N$，使得$A$、$B$、$M$、$N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点$N$共有（）个；②连接$MA$、$MB$，若$\angleAMB$不小于$60^\circ$，求$t$的取值范围。练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$上有一动点$P$，$BC=6$，$\angleABC=150^\circ$，则$PA+PB+PD$的最小值为（）。2.（2019长沙中考）在$\triangleABC$中，$AB=AC=10$，$\tanA=2$，$BE\perpAC$于点$E$，$D$是线段$BE$上的一个动点，则$CD+5$的最小值为（）。BD的最小值为5√5。（2015内江）在三角形ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。（1）由于CA=CE，所以∠CAB=∠CEB=90°，因此CE是⊙O的切线。（2）由于AB是⊙O的直径，所以AB=2R，其中R为⊙O的半径。设AE=h，则CE=R-h，由勾股定理可得AC=2R-h。又由于三角形ACE是等边三角形，所以AC=CE=h√3。联立以上两式，可得R=5h/(2√3)，因此AB=5h/√3。（3）由于OD是三角形OCE的中线，所以OD=CE=R-h=5h/(2√3)-h=5h/(2√3)-2h/(2√3)=h/(2√3)。又由于四边形ACOD是矩形，所以AC=OD=5h/(2√3)。根据勾股定理可得CD=h√3，因此BD=BC-CD=AC-CD=5h/(2√3)-h√3=5√5h/(2√3)。要使BD的值最小，h的值应该取√3/2，此时BD的最小值为5√5。（2017广州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED。（1）因为△COD关于CD对称，所以∠OCD=∠ECD，又因为矩形ABCD中AC=BD，所以∠OCD=∠OBC，因此∠OBC=∠ECD。同理可得∠OBD=∠ECB。因此四边形OCED是菱形。（2）连接AE，由勾股定理可得AE=√61。因为矩形ABCD中AB=CD=6，BC=5，所以AC=√61。因此△ACE是等腰三角形，且∠EAC=∠AEC=(180°-∠ACE)/2=(180°-90°)/2=45°。因此sin∠EAD=sin(45°-∠EAC)=sin(45°-22.5°)=sin22.5°=√2/2。设AP=x，则EP=AE-AP=√61-x。因为OP=OQ，所以PQ=OQ-OP=AP=x。因为Q以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，所以QA=2x/3，AQ=4x/5。因为Q到A的距离是QA+AQ=22x/15，所以Q到A的时间是22x/15秒。因此AP=x，QA=2x/3，AQ=4x/5，所需的总时间为x+(√61-x)/(1cm/s)+(2x/3)/(1.5cm/s)+22x/15秒。要使总时间最短，可以对上式求导，得到x=√61/3。因此AP=√61/3，点Q走完全程所需的时间为(√61/3+√61/3)/(1cm/s)+(2/3)(√61/3)/(1.5cm/s)+(22/15)√61/3秒。（2015日照）如图，抛物线y=1/2x^2+mx+n与直线y=-x+3交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）将抛物线的函数关系式化为标准式y=a(x-h)^2+k，其中h=-m/a，k=n+a(h^2)。将y=-x+3代入抛物线方程，得到1/2x^2+mx+n=-x+3，即1/2x^2+(m+1)x+(n-3)=0。因为抛物线与直线有两个交点，所以该方程有两个实根，设它们为x1和x2，则x1+x2=-(m+1)且x1x2=2(n-3)。根据Vieta定理可得x1+x2=-m-1/2=-3/2，因此m=1/2。又因为A（0，3）在抛物线上，所以n=3。因此抛物线的函数关系式为y=1/2x^2+1/2x+3。因为∠BAC是抛物线和直线的夹角，所以tan∠BAC=|k1-k2|/(1+k1k2)，其中k1=-1，k2=dy/dx|x=0=1/2。代入公式可得tan∠BAC=1/3。（2）设P为抛物线上一点，坐标为（x，1/2x^2+mx+n），则Q为y轴上的点（0，1/2x^2+mx+n）。因为PQ⊥PA，所以斜率为-1/tan∠BAC=-3。因此AP的斜率为3，即dy/dx=3，代入抛物线方程可得x=1/2。因为A（0，3）和C（3，0）在直线y=-x+3上，所以点P的坐标为（1/2，5/4），点Q的坐标为（0，1/2）。以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似，因为它们的对应角不相等。（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A后停止。设DE=x，则AE=3-x。因为△ADE是直角三角形，所以DE^2+AE^2=AD^2，即x^2+(3-x)^2=9，解得x=3/2。因此E的坐标为（3/2，3/2）。设M到E的距离为d，则M到A的距离为3-d，因此M到A的时间为(3-d)/2秒。因为M到E的距离是x=3/2，所以M到E的时间为3/2秒。因为M到A的时间是M到E的时间加上E到A的时间，所以E到A的时间为(3-d)/2-3/2=(1-d)/2秒。因此M到A的总时间为d/2+(1-d)/2*2=1秒。要使M到A的时间最短，可以对上式求导，得到d=1/2。因此M到A的最短时间为1/2秒。(2)设点P在抛物线上，连接BP、CP，若△BCP的面积为8，求点P的坐标。(3)在(1)的条件下，设点E是线段AC上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到点C后停止，当点E的坐标为多少时，点Q在整个运动过程中用时最少？(4)若点R在对称轴DF上，且DR=2，当△ARC面积最大时，求点R的坐标。解析：(2)设点P的坐标为(x,y)，则由题意得到以下方程组：y=ax²+bx+cy=3y=a(x-1)²+b(x-1)+cS=8其中S为△BCP的面积。解方程组得到x=-2，y=3，因此点P的坐标为(-2,3)。(3)设点E的坐标为(x,y)，则由题意得到以下方程组：y=ax²+bx+cy=0y=(-a/4)x²+(3a/4)x+3/2t=(BE/1)+(EC/2)=(x+3)+(2-x/2)=5/2-x/2其中t为点Q在运动过程中所用的时间。将第三个方程代入第一个和第二个方程中，解方程组得到x=-1/2，y=0，因此点E的坐标为(-1/2,0)。(4)设点R的坐标为(x,y)，则由题意得到以下方程组：y=ax²+bx+cy=0x=1y=a(2-x)²+b(2-x)+cS=(1/2)(AC)(DR)=(1/2)(3)(2)=3其中S为△ARC的面积。由于点R在对称轴DF上，因此有x=0。将第四个方程代入第一个和第二个方程中，解方程组得到a=-3，b=9，c=3，因此二次函数的关系式为y=-3x²+9x+3。将a、b、c代入第四个方程中，解方程得到y=3/2，因此点R的坐标为(0,3/2)。对称轴DF与BC交于点M，设点P在对称轴DF上。我们需要求解以下问题：①求AP+√5PD的最小值以及在取得最小值时点P的坐标。②在①的条件下，将△APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0≤t≤4），设△APF与△MBF重叠部分的面积为S。我们需要求出S与t的函数关系式，并求出S的最大值。首先，我们来解决第一个问题。设点A坐标为（0，0），则点D的坐标为（0，1）。由于点P在对称轴DF上，因此可以表示为P（x，y），其中x坐标等于DF的x坐标，即x=1。因此，我们需要求解y坐标以及P点到A点的距离AP。根据对称轴的性质，可以得到点F的坐标为（-1，y）。由于△APF为等腰直角三角形，因此有：AP=FP=√（x+1）^2+y^2又因为△DPF与△APF相似，因此有：PD/FP=FP/AP即PD/√（x+1）^2+y^2=√（x+1）^2+y^2/√5解得PD=（√5-1）y，代入PD的坐标方程可以得到：y=（1-1/√5）x+1/√5因此，P点的坐标为（1，（1-1/√5）+1/√5）=（1，（2-1/√5）/√5）。接下来，我们来解决第二个问题。首先，我们需要确定△APF和△MBF的坐标。由于点M是对称轴DF和BC的交点，因此可以得到点M的坐标为（2/3，0）。又因为点B的坐标为（1，0），因此可以得到点F的坐标为（1/3，y）。将△APF沿着x轴向右平移t个单位长度，可以得到新的三角形AP'F'，其中P'的坐标为（1+t，（2-1/√5）/√5），F'的坐标为（1/3+t，y）。由于△AP'F'与△APF全等，因此它们的面积相等。因此，我们只需要求解△APF和△MBF的重叠部分面积即可。设重叠部分的高为h，底边长度为b，则有：S=1/2bh由于点F的坐标为（1/3，y），点M的坐标为（2/3，0），因此可以得到h=y/3和b=1/3。又因为y