题型四几何图形的折叠与动点问题

.PAGE.题型四几何图形的折叠与动点问题试题演练1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片复原，那么x的取值围是__________.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，那么线段AF长的最小值是________．3.(’15模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF＝90°.那么直角三角形的斜边EF的取值围是________．4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，假设△FDC为直角三角形时，AP的长为________．5.如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，假设点P、Q分别是AD和AE上的动点，那么DQ＋PQ的最小值为________．6.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________．7.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，假设BG＝10，那么折痕FG的长为________．8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，那么折痕的长度为________．9.(’15模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．10.(’15模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，点F是AB边上一点(不与A、B重合)，连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG.那么线段CG的取值围是________．11.(’15)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，那么当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．12.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____【答案】1.1≤x≤3【解析】通过观察图形，可得当点E与点A重合时AP最小，那么AP＝EP＝AD＝1；当点P与点B重合时，AP最大，那么AP＝3，∴1＜AP≤3，那么x的取值是1≤x≤3.2.2【解析】由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小；∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4.由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2.3.4≤EF≤5【解析】∵点M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，∴BM＝CM＝2，∵∠EMF＝90°，∴∠BME＋∠CMF＝90°，∵∠CFM＋∠CMF＝90°，∴∠BME＝∠CFM，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BME∽△CFM，∴eq\f(BM,CF)＝eq\f(BE,CM)，∴BE·CF＝BM·CM＝2×2＝4，∵CF最大时为4，此时BE＝1，BE最大时为4，此时CF＝1，∴0≤|CF－BE|≤3，过点E作EG⊥CD于点G，那么EG＝BC＝4，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2＝16＋(CF－BE)2，∴16≤EF2≤16＋9，∴4≤EF≤5.4.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)【解析】根据题意可得△FDC为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC＝90°时，DF⊥AB，在△AFD中，∠A＝60°，AD＝2，∴AF＝1，AP＝eq\f(1,2)；(2)如解图②，当∠DCF＝90°时，CF⊥AB，在△CFB中，∠CBF＝60°，BC＝2，∴BF＝1，AF＝3，AP＝eq\f(3,2)；(3)当∠DFC＝90°，不存在．综上可知AP的值为eq\f(1,2)或eq\f(3,2).5.eq\r(2)【解析】如解图，作D关于AE的对称点D′，那么D′落在对角线AC上，过点D′作D′P′⊥AD于点P′，∴D′P′即为DQ＋PQ的最小值，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAF＝∠D′AF，∴△DAF≌△D′AF，∴AD＝AD′＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2＋AP′2＝AD′2，AD′2＝4，∴P′D′＝eq\r(2)，即DQ＋PQ的最小值为eq\r(2).6.eq\f(3,2)或eq\f(9,4)【解析】分两种情况进展讨论，设DE＝x.ⅰ)D′落在AC上，如解图1，在Rt△ED′C中，EC＝4－x，D′C＝AC－AD′＝5－3＝2，ED′＝x，根据ED′2＋D′C2＝EC2可得x2＋22＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)；ⅱ)D′落在BD上，如解图2，设DD′交AE于F根据轴对称性质可知AE垂直平分DD′.在Rt△DFA中，sin∠ADF＝eq\f(AF,AD)，∵sin∠ADF＝sin∠ADB＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(4,5)，∴eq\f(AF,AD)＝eq\f(4,5)，又∵AD＝3，∴AF＝eq\f(12,5)，∴DF＝eq\f(9,5)，又∵∠DEF＝∠ADF，∴sin∠DEF＝sin∠ADF＝eq\f(4,5)，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\f(9,5),DE)＝eq\f(4,5)，∴DE＝eq\f(9,5)×eq\f(5,4)＝eq\f(9,4).综上DE的长为eq\f(3,2)或eq\f(9,4).7.5eq\r(5)或4eq\r(5)【解析】分两种情况讨论：(1)如解图①，过点G作GH⊥AD于点H，那么四边形ABGH为矩形，∴GH＝AB＝8，由图形折叠可知△BFG≌△EFG，∴EG＝BG＝10，∠B＝∠FEG＝90°，∴EH＝6，AE＝4，∠AEF＋∠HEG＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠HEG＝∠AFE，又∵∠A＝∠EHG＝90°，∴△EAF∽△GHE，∴eq\f(EF,EG)＝eq\f(AE,GH)，∴EF＝5，∴FG＝eq\r(102＋52)＝5eq\r(5)；(2)如解图②，由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，∴BG＝EG，AB＝EH，∠BGF＝∠EGF，∵EF∥BG，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，∴BG＝EF，∴四边形BGEF为平行四边形，∵EF＝EG，∴平行四边形BGEF为菱形，连接BE，∴BE、FG互相垂直平分．在Rt△EFH中，EF＝BG＝10，EH＝AB＝8，由勾股定理可得FH＝AF＝6，∴AE＝AF＋EF＝16，∴BE＝eq\r(AE2＋AB2)＝8eq\r(5)，∴BO＝4eq\r(5)，∴OG＝eq\r(BG2－BO2)＝2eq\r(5)，∵四边形BGEF为菱形，∴FG＝2OG＝4eq\r(5).8.eq\f(12\r(2),7)或eq\f(3\r(5),2)【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝eq\r(102－82)＝6，那么AE＝6，EC＝AC－AE＝10－6＝4；∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△ABD≌△AED，∴BD＝DE，∠B＝∠AED＝90°，设BD＝x，那么DE＝x，CD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，解得：x＝3，∴CD＝5，DE＝3.(1)如解图①，假设沿∠DEC的角平分线EG折叠，使点C落在ED延长线上F点处，过G分别作GM⊥EC，GN⊥EF，垂足分别为M、N.∴GN＝GM，∵S△DEC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，S△DEG＝eq\f(1,2)×3·GN＝eq\f(3,2)GN，S△CEG＝eq\f(1,2)×4·GM＝2GM，∴2GM＋eq\f(3,2)GN＝6，即2GN＋eq\f(3,2)GN＝6，解得：GN＝eq\f(12,7)，故EG＝eq\f(12\r(2),7)；(2)如解图②，假设沿∠EDC的角平分线DG折叠，使点C落在DE延长线上F点处．∴CG＝FG，DC＝DF＝5，∵DE＝3，∴EF＝2，设CG＝y，那么FG＝y，EG＝4－y，∴(4－y)2＋22＝y2，解得：y＝eq\f(5,2)，∴EG＝4－eq\f(5,2)＝eq\f(3,2)，∵DE＝3，∴DG＝eq\r(〔\f(3,2)〕2＋32)＝eq\r(\f(9,4)＋9)＝eq\f(3\r(5),2).9.1或eq\f(5,4)或eq\f(7,10)【解析】此题考察三角形的折叠，等腰三角形的性质求线段的长．在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.由折叠性质得AE＝EF，在△BCF中，当BF＝BC时，有BF＝AB－AF＝AB－2AE＝3，那么AE＝1;当BF＝CF时，过BC中点作AC的平行线，交AB于点F，此时F点满足题意，且AF＝BF＝eq\f(5,2)，那么AE＝eq\f(5,4)；当CF＝CB时，如解图，过C作⊥AB于点N.由等面积法得＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12,5).由△B∽△BAC，得eq\f(BN,BC)＝eq\f(BC,AB)，那么BN＝eq\f(9,5).由等腰三角形三线合一性质得FN＝BN＝eq\f(9,5)，那么AE＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(1,2)(AB－BF)＝eq\f(1,2)×(5－eq\f(18,5))＝eq\f(7,10).10.eq\f(2,5)eq\r(37)＜CG＜2eq\r(13)【解析】如解图所示，在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2eq\r(13)，把∠A沿EB折叠，此时CG最小，使点A落在点G处，连接AG，DG，∴∠EAG＝∠EGA，AE＝EG，∵AE＝DE，∴EG＝ED，∴∠ADG＝∠EGD，∴∠AGD＝∠AGE＋∠EGD＝∠DAG＋∠ADG＝90°，∵AE＝3，AB＝4，∴BE＝eq\r(AE2＋AB2)＝5，∵eq\f(1,2)AG·BE＝AE·AB，∴AG＝eq\f(24,5)，在Rt△ADG中，DG＝eq\r(AD2－AG2)＝eq\r(62－〔\f(24,5)〕2)＝eq\f(18,5)，过G点作MN⊥AD，∴∠AMG＝∠AGD＝90°，∵∠MAG＝∠GAD，∴△AMG∽△AGD，∴eq\f(AM,AG)＝eq\f(MG,DG)＝eq\f(AG,AD)，即：eq\f(AM,\f(24,5))＝eq\f(MG,\f(18,5))＝eq\f(24,\f(5,6))，∴AM＝eq\f(96,25)，MG＝eq\f(72,25)，∵BN＝AM＝eq\f(96,25)，MN＝CD＝4，∴＝6－eq\f(96,25)＝eq\f(54,25)，GN＝4－eq\f(72,25)＝eq\f(28,25)，在Rt△G中，CG＝eq\r(2＋GN2)＝eq\f(2,5)eq\r(37).在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(13)，∴线段CG的取值围是eq\f(2,5)eq\r(37)＜CG＜2eq\r(13).11.2或2eq\r(3)或2eq\r(7)【解析】由于点P在射线CO上运动，∴当△PAB为直角三角形时，有三种情况：(1)当∠APB＝90°时，①如解图①，当点P在线段CO上时，∵AB＝BC＝4，AO＝BO，∴AO＝2，∴PO＝AO＝2，∵∠AOC＝60°，∴△APO是等边三角形，∴AP＝AO＝2；②如解图②所示，当点P在CO的延长线上时，∵AB＝BC＝4，AO＝BO，∠AOC＝60°，∴OP＝OA＝OB＝2，∵∠POB＝∠AOC＝60°，∴△POB是等边三角形，即PB＝OB＝2，∴AP＝eq\r(AB2－PB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)；(2)当∠ABP＝90°时，如解图③所示，∵AB＝BC＝4，AO＝BO，∴AO＝BO＝2，又∵∠BOP＝∠AOC＝60°，∠ABP＝90°，∴BP＝2eq\r(3)，在Rt△APB中，AP＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(42＋〔2\r(3)〕2)＝2eq\r(7)；∴AP的