第三章随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征第1页，课件共40页，创作于2023年2月

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.第2页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量的数学期望MathematicalExpectation以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。一、引例

某7名学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？？？第3页，课件共40页，创作于2023年2月二、数学期望的定义离散型随机变量Def设离散型随机变量的概率分布为

连续型随机变量Def设连续型随机变量的概率密度为

，若广义积分第4页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量数学期望所反应的意义例3.1已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654求数学期望解：由数学期望的定义例3.2已知随机变量X的分布律为10求数学期望解：由数学期望的定义第5页，课件共40页，创作于2023年2月例3.3已知随机变量。求数学期望例3.4已知随机变量。求数学期望第6页，课件共40页，创作于2023年2月例3.5已知随机变量。求数学期望第7页，课件共40页，创作于2023年2月例3.6已知随机变量。求数学期望第8页，课件共40页，创作于2023年2月例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.的分布函数为第9页，课件共40页，创作于2023年2月二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量第10页，课件共40页，创作于2023年2月例3.8设(X,Y)的联合密度为113解：第11页，课件共40页，创作于2023年2月第12页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量X的函数，离散型连续型第13页，课件共40页，创作于2023年2月该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例3.9解：因为第14页，课件共40页，创作于2023年2月2.二元随机变量函数的情况离散型连续型第15页，课件共40页，创作于2023年2月例3.10例3.11设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为第16页，课件共40页，创作于2023年2月第17页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量数学期望的性质

1.设C是常数，则E(C)=C；

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

4.设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立证明：这里只证明行至3,4第18页，课件共40页，创作于2023年2月利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。第19页，课件共40页，创作于2023年2月例3.12

设随机变量X~B(n,p)，求二项分布的数学期望。X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：第20页，课件共40页，创作于2023年2月例3.12

独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+

p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望第21页，课件共40页，创作于2023年2月数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine

考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较第22页，课件共40页，创作于2023年2月

化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律{X=1}=“10人都是阴性”{X=11}=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求X期望值的步骤！问题的进一步讨论

1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?第23页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量的方差Variance

随机变量方差的定义

设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或与

有相同的量纲均方差（标准差）

方差的统计意义

随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。第24页，课件共40页，创作于2023年2月离散型设离散型随机变量X的概率函数为连续型设连续型随机变量X的密度函数为f(x)例3.14已知随机变量X的分布律为10求方差解：方差的计算公式

第25页，课件共40页，创作于2023年2月例3.15已知随机变量。求方差第26页，课件共40页，创作于2023年2月例3.16已知随机变量。求方差第27页，课件共40页，创作于2023年2月例3.17已知随机变量。求方差第28页，课件共40页，创作于2023年2月例3.18已知随机变量。求方差第29页，课件共40页，创作于2023年2月例3.19解：

X的密度函数为

所以有第30页，课件共40页，创作于2023年2月方差的性质

1.设C是常数，则D(C)=0；

2.若a，b是常数，则

3.相互独立时

当随机变量证明:

例3.20第31页，课件共40页，创作于2023年2月解：第32页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量的矩与中位数

随机变量的矩

原点矩与原点矩Def

设X是随机变量，若

存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差第33页，课件共40页，创作于2023年2月随机变量间的的协方差与相关系数CovarianceandCorrelationcoefficient

随机变量间协方差与相关系数

Def协方差的定义相关系数的定义Def第34页，课件共40页，创作于2023年2月

随机变量间协方差的计算

离散型连续型注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。第35页，课件共40页，创作于2023年2月例3.211/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210解：边际分布如表第36页，课件共40页，创作于2023年2月例3.22解：边际概率密度为第37页，课件共40页，创作于2023年2月

随机变量间协方差与相关系数的性质

性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。