高中数学第1章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示训练提升新人教版选修1

1.3.2空间向量运算的坐标表示课后·训练提升基础巩固1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=()A.310 B.210 C.10 D.5答案:A解析:由已知得,a-b+2c=(9,3,0),故|a-b+2c|=310.2.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则()A.a·b=-2 B.|a|=|b|C.cos<a,b>=12 D.(a+b)⊥(a-b答案:ABD解析:因为a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,所以A中等式成立;因为|a|=5,|b|=5,所以|a|=|b|,故B中等式成立;因为cos<a,b>=a·b|a||b|=-25,所以C中等式不成立;因为a+b=(-1,2,1),a-b=(3,2,-1),所以(a+b)·(a-b)=-3+4-1=0,即(a+b)⊥(a-b3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则()A.x=13,y=1B.x=12,y=-C.x=2,y=-14D.x=1,y=-1答案:B解析:由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b),∴2x+1=4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:C解析:∵AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),∴|AB|=32+42+(-8)2=89∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC是直角三角形.5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29,λ∈R且λ>0,则λ=.

答案:3解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1-λ,λ).∵|λa+b|=29,∴16+(1-λ)2+λ2=29.即λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.又λ>0,∴λ=3.6.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围为.答案:(-∞,-2)解析:由题意可知,a,b不可能反向共线,故要使a,b的夹角为钝角,只需a·b<0,即2x-6+10<0,解得x<-2.故x的取值范围为(-∞,-2).7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.

答案:3解析:∵b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|=(1+∴当t=15时,|b-a|取得最小值,为38.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值;(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值.解:∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).(1)∵(λa+b)∥(a-3b),∴λ-27=5λ(2)∵(a-3b)⊥(λa+b),∴(a-3b)·(λa+b)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=10639.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解:(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,∴OA=OC=3,OB=OD=1,菱形ABCD的面积S菱形ABCD=12×2×23=23由题意可知,PO为四棱锥P-ABCD的高,∠PBO为PB与平面ABCD所成的角,故∠PBO=60°.在Rt△POB中,∵∠PBO=60°,∴PO=OB·tan60°=3.∴四棱锥P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD=13S菱形ABCD·PO=13×23×(2)如图,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(-1,0,0),A(0,-3,0),P(0,0,3),E(12,0,3∴DE=(32,0,32),PA=(0,-3,-3∴DE·PA=0+0+32×(-3)=-32,|DE|=3,|∴cos<DE,PA>=DE·∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为24能力提升1.已知A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则|AB|的取值范围是()A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.(0,5)答案:B解析:由题意知,AB=(2cosθ-3cosα,2sinθ-3sinα,0),故|AB|=(2cosθ-因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以1≤|AB|≤5.2.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是()A.OA·OBB.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为21C.点O到直线BC的距离为5D.O,A,B,C四点共面答案:AC解析:由题意得OA=(0,1,2),OB=(2,0,-1),于是OA·OB=-2,故A又|OA|=5,|OB|=5,所以cos<OA,OB>=OA·OB|OA||OB|因此以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=21,故B错误;由于OB=(2,0,-1),BC=(1,2,2),所以OB·BC=0,故OB⊥BC,所以点O到直线BC的距离d=|OB|=22由于OA=(0,1,2),OB=(2,0,-1),OC=(3,2,1),假设OA,OB,OC共面,则存在实数λ和μ使得OC=λOA+μOB,所以3=2μ,2=λ,1=2λ-μ3.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为(A.±66 B.6C.-66 D.±答案:C解析:∵OA=(1,0,0),OB=(0,-1,1),∴OA+λOB=(1,-λ,λ),∴(OA+λOB)·OB=λ+λ=2λ,|OA+λOB|=1+λ2+λ2=∴cos120°=2λ2·1+2λ2=-12又2λ2·1+2λ2<4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0,2),B-32,12,2,C(-1,0,2),则角A的大小为答案:30°解析:因为AB=-32,12,0,AC=(-1,0,0),所以AB·AC=32,|AB所以cosA=AB·AC|AB||AC|5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为CC1的中点,点P,Q均在平面A1B1C1D1内,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.则PQ与BD的位置关系是;A1P的最小值为.

答案:平行3解析:以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(0,1,12),B(1,1,0),因为P,Q均在平面A1B1C1D1内所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),所以A1E=(-1,1,-12),BP=(a-1,b-1,1),BQ=(m-1,因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,所以BP解得b所以n-b=m-a,PQ=(m-a,m-a,0).因为DB=(1,1,0),所以PQ=(m-a)DB,又PQ与BD不重合,所以PQ与BD的位置关系是平行.因为A1P=(a-1,b,0),所以|A=2a因此,当a=14时,|A1P|取得最小值,6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC和A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?解:如图,以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32假设存在点N,满足条件.因为点N在棱CC1上,所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).因为AB1=(3,1,2),所以|AB1|=22,|MN|=m2+1,如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,那么向量AB1和MN的夹角等于45°又cos<AB1,所以2m-122×m2+1=±22,解得m=-所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.7.如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.(1)求CE的长;(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.解:连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以A62,0,0,S0,0,22,C-6(