2023-2023学年东城区一模数学试卷及答案

2024-2024学年东城区一模数学试卷及答案北京市东城区2024-2024学年度其次学期高三综合练习（一）

数学（理科）2024.4

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31Axx=-,{}

12Bxxx=-或，则AB=(A){}

32xx-(B){

}31

xx--(C){}11xx-

(D)

{}

11xx-(2）复数1i

zi

=

-在复平面上对应的点位于(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知,abR∈，且ab，则下列不等式肯定成立的是

(A)22

0ab-(B)coscos0ab-(C)

11

0ab

-(D)0abee---(4)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（35，4

5

），则tan()

θπ+的值为(A)

43(B)34(C)43-(D)34

-(5)设抛物线24yx=上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(A)1(B)2(C)3(D)4

(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学打算在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B)8种（C)10种（D)12种

(7)设{}na是公差为d的等差数列，nS为其前n项和，则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，假如答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4(B)3(C)2(D)1

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2+c2=b2+ac，则B=.(10)在极坐标系中，圆2cosρθ=的圆心到直线sin1ρθ=的距离为.

(11)若x，y满意041xyxyx-≤??

+≤??≥?

，则2x+y的最大值为.

(12)某几何体的三视图如

图所示，则该几何体的表面积为

(13）设平面对量a,b,c为非零向量．能够说明“若a?b=a?c

，则b=c”是假命题的一组向量a,b,c的坐标依次为.

(14）单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为()fn，则f(3)=;下面是关于()fn的描述：

①2()sin2nfnn

π=②()fn的最大值为π③()fn(1)fn+④()fn(2)fn2()fn≤

其中正确结论的序号为．（注：请写出全部正确结论的序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题13分）已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在2

π

上的最大值和最小值．

(16)（本小题13分）

从高一班级随机选取100名同学，对他们期中考试的数学和语文成果进行分析，成果如图所示．(Ⅰ)从这100名同学中随机选取一人，求该生数学和语文成果均低于60分的概率；

(II）从语文成果大于80分的同学中随机选取两人，记这两人中数学成果高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(Ill）试推断这100名同学数学成果的方差a与语文成果的方差b的大小．（只需写出结论）

(17)（本小题14分）

如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD,△PBC沿PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB中，E为PB中点．(Ⅰ)求证：PO⊥AB;

(II）求直线BP与平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大小．

(18)（本小题13分）

已知椭圆C：22

221xyab+=（0ab）的离心率为32

，且过点A(2,0).

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(II）设M,N是椭圆C上不同于点A的两点，且直线AM，AN斜率之积等于1

4

-，试问直线MN是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

(19)（本小题14分）

已知函数()(1)xfxeax=-+.

若曲线()yfx=在(0,(0))f处的切线斜率为0，求a的值；(Ⅱ）若()0fx≥恒成立，求a的取值范围；

(Ⅲ）求证：当a0a=时，曲线()yfx=(x>0)总在曲线2lnyx=+的上方．

(20)（本小题13分）在nXn(n≥2)个实数组成的n行n列的数表中，,ija表示第i行第j列的数，记

12(1)iiiinraaain=+++≤≤．12(1)

jjjnjcaaajn=+++≤≤若

,ija∈｛-1,0,1}

((1,)ijn≤≤)，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，两两不等，则称此表为“n阶H表”，记H={r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.

(I）请写出一个“2阶H表”;

(II）对任意一个“n阶H表”，若整数nnλ∈-，且nHλ?，求证：λ为偶数；(Ⅲ）求证：不存在“5阶H表”.

北京市东城区2024-2024学年度其次学期高三综合练习（一）

数学（理科）

一、1-8BBDACCDD

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.

3

π2221

cos222

ac

ba

cBacac+-===,3Bπ∴=

10.1

即求2220xyx+-=圆心到直线1y=的距离，

()2

211xy∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.

11.6

可行域如右图所示：

设2+zxy=即2yzx=-，当2yzx=-过(2,2)B时，z取最大值，所以6z=.12.2

3+12

该几何体如图所示：可知2ABACBC===,ABC为等边三角形,

所以1

2332

ABC

S=??=,所以四边形11ACCA的面积为11224ACCAS=?=,所以11232312ABCACCASSS=+=+表.

13.(1,1)a=，(1,2)b=，(2,1)c=（答案不唯一）

设(1,1)a=，(1,2)b=，(2,1)c=,则3?ab=，3?ac=，所以??ab=ac但≠bc，

所以若??ab=ac，则b=c为假命题。

14.

33

4

；①③④内接正n边形可拆解为n个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为

2n

π

.每个三角形的面积为

12sin2n

π，所以正n边形面积为2()sin2nfnnπ=.323333(3)sin23224

==fπ=?，①正确；正n边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；

随着n的值增大，正n边形面积也越来越大，所以③正确；

当且仅当3n=时，有2(3)(6)ff=，由几何图形可知其他状况下都有(2)2()fnfn17.

（Ⅰ）由图1知,PDADPCCB⊥⊥

由图2知,CD重合于点O.则,POAOPOBO⊥⊥

AOBOO=AO?面AOBBO?面AOB

PO∴⊥面AOB,又AB?面AOBPOAB∴⊥

（Ⅱ）由题知1OP=2OAOBAB===ABO?为等边三角形

过O取1OF=延长作OFAO⊥建立如图空间直角坐标系则()()()()

0,0,02,0,0,0,0,11,3,0OAPB，，

易知面POA的法向量为()0,1,0OF=

()

1

3,1BP=--，设BP与平面POA夹角为θ

ξ

012

()Pξ

13815215

则315sincos,515OFBPOFBP

OFBP

θ?-====??

∴直线BP与平面POA所成角正弦值为155

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA的法向量为()0,1,0OF=

设面EOA法向量为(,,)mxyz=

易知E为PB中点131

()222

E∴，，，131()222OE=，，，(200)OA=，，

00

OEmOAm??=?∴??=??即30222

20xzyx?+

+=???=?

令1y=-则(0,1,3)m=-

则11cos,21

2mOFmOFmOF?-===-??

由图知二面角为锐角，

∴二面角PAOE--为3

π

18．（Ⅰ）32e=

，3

2

ca∴=

，过()2,0，2a∴=，3c=，

2

2

2

1bac=-=，2

214

xy∴+=

（Ⅱ）①当MN斜率不存在时，设()00,Mxy，则()00,Nxy-，

00001224AMANyykkxx-?=

?=---，()22024

24

yx=-，又()00,Mxy在椭圆上，

220244

xy∴+=，解得00x=，01y=±，:0MNlx∴=．

②当MN斜率存在时，设:MNlykxm=+，与椭圆联立，由2

21

4xyykxm?+=???=+?

得

()2

2

2148440kx

kmxm+++-=，

0?>，即22410km+->，

设()11,Mxy，()22,Nxy，

则122212281444

14kmxxkmxxk?

+=-??+?-?=?+?

，()()2212122

414mkyykxmkxmk-=++=+，()1212

1212122224

AMANyyyykkxxxxxx?=

?=---++22

2222222

222

441144416416416164

141414mkmkkmkmkmkmkkkk--+===--+++++

+++，2222444mkmkmk∴-=---，

220mkm+=，0m∴=或2mk=-，当2mk=-时，():2MNlykx=-，

恒过()2,0不符合①，当0m=时，:MNlykx=，结合①，恒过()0,0，综上，直线MN恒过()0,0．19.（Ⅰ）()xfxea'=-，由题可得(0)0f'=，即10a-=，故1a=

（Ⅱ）()xfxea'=-

①当0a=时，()0xfxe=>恒成立，符合题意。

②当0a恒成立，则()fx在R上单调递增，当1

1xa

=

-时，1

11(1)10

afea

--=-时，令()0fx'=，解得lnxa=当x变化时，()fx和()fx'变化状况如下

x(,ln)a-∞

lna

(ln,)a+∞

()fx'-

+

()fx

微小值

min()(ln)(ln1)fxfaaaa==-+，由题意可min()0fx≥，即ln0aa-≥，

解得01a+恒成立，即要证明

ln2xex->恒成立，构造函数()lnx

gxex=-

1()x

gxex'=-

，令1()xhxex=-，故21()0x

hxex

'=+>，则()hx在(0,)+∞单调递增，则'()gx单调递增.由于(1)10ge'=->，1

21

()202

ge'=-，即ln2x

ex->