(新课标)备战高考数学二轮复习思想3.2分类讨论思想教学案

思想3.2分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度.分类讨论的常见类型⑴由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.⑵由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.⑶由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同「乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.⑷由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.⑹由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.分,类讨论的原则（1）不重不漏.⑵标准要统一，层次要分明.⑶能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论.⑵对所讨论的对象进行合理的分类.⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决.⑷归纳总结：将各类情况总结归纳.【热点分类突破J类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例L【山东省济南市2018届期末】已知集合月={h∣3-6=0},^^{τeN∣l<⅛x<2},且/23=8,则实数〃的所有值构成的集合是（）A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{Q,2,3}【答.案】D【解析】因为KUS=E,所以，匚S5又因为集合月={R0x-6=0},5=μ6N∣l≤lo51JC<2}={⅛⅛},当。=0时,集合/为空集J符合题意,集合5不是空集时,/二回皿"=可=0由：=2,g=3,可得口=2,口=3,所以实数0的所有值构成的集合是ha⅜⅛d 例2.已知命题口:指数函数“T）=Ig（加―4五+幻的定义域为五；命题不等式2x2+X>2+λy,对Wl∈{-8,T）上恒成立.（1）若命题户为真命题，求实数〃的取值范围；（2）若命题"pv/'为真命题，命题“pʌg”为假命题,求实数〃的取值范围.试题分析：（1）命题?为真命题等价于以工-4r+□>0在H上恒成立，分4:0与白工。由二次函数的性质讨论即可；（2）.命题“夕vq”为真命题，命题“夕人初为假命题等价于命题夕与命题g一真一假，先分别求出命题?为真命题、命题q为真命题时〃的范围，再求了真q假”与“尸假q真”时〃的范围，再求〃的并集即可.试题解析：（1）由题意：当α=0时，二Ig（-4月）的定义域不为H,不合题意.当“≠0\，U"。故:√U； 2 ,一 2 …(2)右9为真，贝IJ工 F1,对DX£(-∞,-l)上怛成乂，y=2x FI为培函数且X XX∈S-1),故〃之1.“pv/'为真命题，命题“PAq”为假命题,等价于p,》一真一假,故1<^≤2∙规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Verm图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论.举一反三L设集合Zf={工I(H-2加+1)(工一用+2)<0},B=(.r11≤ʃ+1≤4).(1)若用二I,求；(2)若月∏8=4求实数制的取值集合.试题解析：集合E={W0≤mM3}.(1)若根=1,则∕={h∣-1<κ<1},则/Pl月={x∣0MxmI}.(2)rA∩β=A,.∖A^B,当月二0,即阳二―I时，成立；当4工0,即加丁―1时，⑴当屋—时∕=q*i,*2),要使得AnBrA⊂β,只要Fe解得[m-2≤3^-<m<5,所以根的值不存在；2[⅛ι-2>0(ii)当用>-1时，要使得A=B,只要一'解得曲二2.综上，[2m-∖<3,根的取值集合是{-1,2}.2.已知命题p:函数〃力=Ig(M-命+同「的定义域为H,命题中关于X的方程J3g∙L：IU的两个实根均大于3,若“P或q”为真，“P且q”为假，求实数a的取值范围.试题解析：若户算J则7cr≥Q -、 、 j∣"0,若通令/㈤—+2mJ则应满足∣i=(-3α/-4(2tf1÷l)>Q，3)=9-9口+沙+3>0&>［或o≤-2口 ,u>:,又由题意可得3真q假或P假守真>若P真g假，则，口>5口.…“无我若P假婚,则a<3口金・••沁d综上可得L值葩噩类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3.【安徽省池州市2018届期末】已知函数f(x)=alnx+ɪ(^≠。)在(。［］内有极值•(I)求实数。的取值范围；(II)若』∈Oɪk2)JT2c(2,+∞),且口，工,2时，求证：2；3/&)-/(工J>∣n2+:.4 . .. .(Ω试题分析：⑴根据题意得到f("=0,如/-(2n+l卜+口=0在0,-内有实根，转化1为仅一丁'有实根，令父⑺-厂・，戈⑴=-p⅛>o,则函数与⑴在fo,l［上单(K一1)- (λ--1)" (［T) ' 12调递增,进而求得参数范围；(2)根据题意得到，函数值之差大于等于两个极值之差，〃◎)-/(』)"(•)一/㈤=施，十a-βaβ-{a-β]+∖..根据二元化一元得到原式I 1R】n夕十力-：，证明这个式子大于ln2+士即可.

β 4β解析；(I)由丁(X)=由nx+一二得；/(^)=~~~工一1 x(r-l)则G，一(2口41)χ4b=O在(0；)内有实根J由GX1-{2fl÷l)x+fl=Ofl:令营⑴=力'0㈤=一鲁…TI4；,则f㈤:一探血则函数坦⑶在;耳；上单调递a又?⑼=Gw；=2, .0<a<2.(II)由(I)得：/⑺="J(2"+ψc+”,设――(2α+l)x+α=0(0<门父2)的两根.T(Jr-l)^为打，户，mr∣. ,⅛+β~2+-，曰. 1 .贝U.{ 4,得∙0<^r<-<2<∕Λs∕=1 2当HE(0用)和(优转)时，尸⑴=#一回+ι∖+□>o函数〃疔单调递增；MH―])”「当.∈f]和(3⑸时，小""~2口+11+。<()函数/G)单调递减;I2) MXT)则〃HJWJS),/(χ2)≥∕(z?).则)-『(0LHn尸+J7-Hti值—一

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aaβ-(a+β)+∖八八一1邛2+0P_(利用：二・,口•£・'1-I).

a」=a令八一八In「：L.ι[I,则L,I；I1'.■,：!1 I 1则函数和1：)单调递增，/；!.,}.■■/;：2；1In二.，，，，卜不；T「.∙2ln二•.、.∙n「1八

又a∈-,2则口∖^β1+β--An2+',所以:Lβ∖4X门'..I".JTk•.

4规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内.【举一反三】已知函数/(#)=41∣LM十#-无，其中q∈t∙(I)当心O时,讨论/3的单调性；(II)当#之I时，/3"恒成立，求口的取值范围.［解析】Ci〉函数『⑶F----工的定义域为①一B/3二2一］户；T设I∣'jc)=2x:-X-aji≡l-Sa⑴当口4时JAWO,g⑶之O成三故川成立，/㈤在(Oj+句上为增函数；⑶当时T双令前3。,得V三耍…二上半巴显然三>。°，当旧cι-JU 4 4时FMX)AH)为增幽SL当髀值J1)时,g(χ)<。，工)<上，住)为减®愿当IF(T-7)时JM(H)>久尸(工)>0,-0)为增ISSt综上K当值W时J/R在(M-对上为增函U数,当。3；时,/㈤在(0,上手斗I上岸，+Ql上为常函数,在(匕手,匕用TlI上为解l⅜⅝∙(H)显然∕{l)=0,由%≥1可知：当0之0时，√j］∏χ>0,X2-x≥(),故/(%)≥0成立；当代0时，∆=1—网>0.令双幻=Q,得餐」-手工=i+ 显然，a0,%>口,当hw(O,xj)时,g㈤<0•r(jγ)<OI〃工)为减函数,当工W(Xs,+8)时,g(x)>O,f'(x)>O,/(Q为减函数；若TGZO,则/£1,当％≥1时，/(Q为增函数，故/⑴4⑴=0成立；若…1,则/>1，由/(%)在(Of)上为减函数可知,当上《1,0)时,/(%)为减函数,,■.mD 。的取值范围是+".类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4.【福建省龙岩市2018年高三毕业班教学质量检查】已知椭圆C：/V3 1f+S=1(">∙⅛>0)的左、右焦点分别为爪-孰0)和£(孰0),离心率是一，直线/过点4ʌ 二P(OLC)交椭圆于/1,5两点，当直线/过点E时， 8的周长为8∙(I)求椭圆C的标准方「程;(II)当直线/绕点尸运动时，试求丸-3的取值范围.附试题分析：(I)由题意结合椭圆的定义可知”A6的周长为M闻+毋;∣+∣∕B∣=4fl=8, 2 2口=2,结合离心率可知C=1,b=√7≡7=√3,则椭圆C的标准方程为工+2L=I.4 3(II)设4B两点坐标分别为3・%),(3),当直线月R与丁轴重合时，Λ=2+√^,当直线AB与y轴重合时，Λ≡2-√3,当直线AB斜率为。时，A-I当直线AB斜率存在且不为。时，联立直线方程与椭圆方程可得(3+4F)V-8H-8二O,则义=母=—%，JC=YN结合韦达定理整理计算可得不等式，>_L,解得附巧 (I-A)222-√3<Λ<2÷√3,fl1Λc^2-√3j2+√3].试题解析:(I)的周长为g引+B司+1月Sl=I月用+以用+忸勾+值段=⅛=S,.i.a=2f又E=E=!,，c=1,b-ʌ/ɑ*-C*=J5,，椭圆C的标准方程为二十J=1,δ 2_ 4 3(II)设A,B两点坐标分别为G,y),G,y),当直线AB与y轴重合时，A点与上1 1 2 2顶点重合时，Λ=j^=2÷√3,当直线AB与y轴重合时，A点与下顶点重合时，Λ-lM-2-√i一，当直线AB斜率为。时，2-P4-1,当直线AB斜率存在且不为。时，不妨设直线AB方阀程为ʃ=H-1,联立3/+4V=I2,得(3+4左2)黎—8丘—8=0,则有工上=_①3÷4⅛"λr=__12 3+4K.PAγ. . .. __ Sit_设入= =,贝IJX二一λχ,代入①②得戈一ZY二 T③PBX21 1 13+4F2-MJ——④1 3+4⅛2.∙. =W+4k'=3+4#―即］,即即即bπ入,1解得「I】■五『—(_弘_丫-， /J，' (l-λ)22，可1+4-2—W<λ<2+W,综上，λ∈Γ2—√3,2+√3一规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.【举一反三】已知椭圆「：：J-I」.；：Jl过点.I),且离心率为二.ah 2⑴求椭圆厂的方程；(2)若过原点的直线与椭圆C交于P 两点，且在直线「u上存在点射，使得H。为等边三角形，求直线的方程.［解析］⑴依题意得:-=£=坐，又疗—、解得产a所以椭ISe的方Bg a2程为N=L⑵显然，直线，的斜率注存在,1⅞⅜j⅜）j⅞e（-Jp,-K）,①当文=O时JW的垂直平分线为，轴7'轴与直线热的交点为2√δ）j因为IPol= M5=2√5j所以A件O-m,则△1因为等边三房形.此时直线4的方程为y=0.∖,=⅛②当n0时，可设直综'的方程为y=取，联立匚）-，消去逢理得｛l+⅛＞二3解得M卜普F普］，所以园H∙j;