人教版初中数学相交线与平行线知识点

相交线相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：对顶角

图形 顶点有公共顶点1 2

边的关系∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

大小关系对顶角相等即∠1=∠2∠1与∠2邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一

∠3+∠4=180°4 3∠3与∠4

条边公共，另一边互为反向延长线.留意点：对顶角是成对消灭的，对顶角是具有特别位置关系的两个角；假设∠α与∠β是对顶角，那么确定有∠α=∠β；反之假设∠α=∠β，那么∠α与∠β不愿定是对顶角；假设∠α与∠βα+∠β=180°；反之假设∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不愿定是邻补角；.例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．错解：如图，1〕CD；∠AOF与∠BOD；∠COF与∠DOE；∠AOC与∠BOE．错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致〔2〕和〔4〕错误．假设对对顶角的概念没有真正理解和把握，在比较简洁的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．〔1〕CD〔2〕E〔3〕∠F与∠；〔4〕E〔答案不唯一：∠E，∠CD也是对顶角〕垂线1一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：C 如以以下图：AB⊥CDOA O BD2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.3、连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角.如图，直线ab被直线l所截21341、∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线ab的上方，叫做同位角〔位置一样〕 6578253在截线l的两旁〔穿插，在被截直线a,b之间〔内，叫做内错角〔位置在内且穿插〕354在截线l的同侧，在被截直线a,b之间〔内.例：A D23 4B1 567 FC 89E如图，推断以下各对角的位置关系：〔1〕1〔〕1与∠7〔〕1〔4〕265〕58.解：我们将各对角从图形中抽出来〔或者说略去与有关角无关的线.1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.2A A A D2A D26F 1A 1 7 1 CB B C B F F 5C8EB留意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.平行线及其判定平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b相互平行，记作ab.2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以确定它们平行；反过来也一样〔这里，我们把重合的两直线看成一条直线〕推断同一平面内两直线的位置关系时，可以依据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合〔∵两点确定一条直线〕3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：假设两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行baca∴b∥c留意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.例：同一平面内，不相交的两条线是平行线.错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．假设是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的．正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线．平行线的判定判定方法1两条直线被第三条直线所截，假设同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2两条直线被第三条直线所截，假设内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3两条直线被第三条直线所截，假设同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行E 几何符号语言：A 3 B ∵∠3＝∠214 ∴AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕∵∠1＝∠2C 2 D ∴AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕∵∠4＋∠2＝180°F ∴AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕例：推断以下说法是否正确，假设不正确，请赐予改正：不相交的两条直线必定平行线..过一点可以且只可以画一条直线与直线平行〔〕.正确错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.平行线的.例：如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的依据是什么？AD123B E C F〔〕＝B可判定∥，依据是同位角相等，两直线平行；由∠1＝∠D可判定AC∥DF，依据是内错角相等，两直线平行；由∠3＋∠F＝180°AC∥DF，依据同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质平行线的性质1：两直线平行，同位角相等；2：两直线平行，内错角相等；3：两直线平行，同旁内角互补.EA 3 B 几何符号语言：14 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2〔两直线平行，内错角相等〕C 2 D ∵AB∥CD∴∠3＝∠2〔两直线平行，同位角相等〕F ∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕例：∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C A证明：∵∠1＝∠B〔〕∴DE∥BC〔同位角相等，两直线平行〕∴∠2＝∠C〔两直线平行，同位角相等〕例：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

D 1 2E求∠2、∠3的度数 B CAD E3 2F B1 C解：∵DE∥BC∴∠2＝∠1＝65°〔两直线平行，内错角相等〕∵AB∥DF∴∠3＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°例：如图，直线AB，CDMNE，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．假设AB∥CD，你能说明EGFH也平行吗?1错解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=2∠BEN．1同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=2∠DFN．又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN；从而∠BEG=∠DFH．∴EG∥FH．对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而∠BEG和∠DFHEG，FH被某条直线所截得的同位角，∴由∠BEG=∠DFHEG∥FH．1正解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠GEN=2∠BEN，1同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠HFN=2∠DFN，又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN，从而∠GEN=∠HFN．而∠GEN，∠HFNEG，FHMN所截得的同位角，∴EG∥FH．例：如图，△ABC中，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试推断DEBC的位置关系，并说明理由．错解：∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB．∴∠3+∠BDE=180°．∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．∴DE∥BC．错解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．虽然∠1和∠2EFABDC所截得的角，但由于它们不是同旁内角，∴尽管∠1＋∠2=180°，也不能得到EF∥AB．正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．∴EF∥DB(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．命题、定理、证明1、命题的概念：推断一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成每个命题都是题设、结论两局部组成.题设是事项，结论是由事项推出的事项.3、假设题设成立，那么结论确定成立，这样的命题叫真命题.假设题设成立，不能保证结论确定成立，这样的命题叫做假命题.4、经过推理证明而得到的真命题叫做定理.5.平移1、平移变换.②图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行〔或在同始终线上〕且相等，对应角相等，图形的外形与大小都没有发生变化.②经过平移后，对应点所