2023年四川省绵阳市涪城区南山中学实验学校高考数学三诊（理科） 解析版

22023年四川省绵阳市涪城区南山中学实验学校高考三诊数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题S分，共60分.1.(5分)己知复数z=l则12z-i~zl=()A.2B.3C.2V3D.3V2【答案】D【分析】根据己知条件，结合共轴复数的定义，以及复数模公式，即可求解.【解答】解：Vz=l-故选：D.2.(5分)设集合A={M<2},3x<0),贝ijAUB=()A.(-2,3)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,3)【分析】求出集合人，B,利用并集定义能求出AUB.【解答】解：集合A={x\\x\<2}={x\-2<x<2},B={*?-3xVO}={x|OVx<3},则AUB={x|-2<x<3).故选：A.3.(5分)等差数列{⑶}的前〃项和为S〃，。2+。3+«4=42,则S5=()A.32B.30C.60D.70【答案】D【分析】由等差数列通项公式得。2+。3+0=3。3=42,求出03,再由等差数列通项公式和前〃项和公式得到S5=5O3,由此能求出结果.即S5=|~(ai+a5)=5o3=70.故选：D.4.(5分)己知|a|=1,|b|=2,m=a+tb»设函数f(t)=Rl，当t巫时，)取得最小值，【答案】D【分析】先根据二次函数取最小值，确定再用向量投影定义求解.【解答】【答案】D【分析】先根据二次函数取最小值，确定再用向量投影定义求解.【解答】解：因为|方=1,|b|=2,m=a+tb^所以f(t)=|m|»当t=^■时,f(，)=lirl2=("a+tb)2=l+2t^*b+4*t2,当‘=-2残土=匝,即项芯=_而时，/(z)取得最小值，于是fit)取得最小值，244所以或在E方向上的投影为；.应_=【蓦芯=-匝，种—则a在b方向上的投影为()A.V3B.-V3C.D.2A.9B.18C.27D.36【答案】B【分析】利用分类计数原理和分步计数原理求解即可.【解答】解：根据珠算的运算法则以及题干中描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨，则有C；种，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百，即C；种，2故选：D.5.(5分)算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为()<!3故算盘表示的数的个数为房(勇+故算盘表示的数的个数为房(勇+C?)=18.JJJ故选：B.6.(5分)设Fi,丘2是双曲线C：x2--^—=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PFi|=6时,3△PF1F2的面积为()A.4扼B.3^7C.D.6^72【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得|PF2|=4,又|F]F2|=2c=4,进而即得.【解答】解：双曲线C：x2-—=V3a=l,b=V3,c=2,又点P在双曲线c的右支上，|PFi|=6,所以|PFi||PF2|=2e6-|PF2|=2,即|PF2|=4,又|FiF2|=2c=4,:qPF\F?面积为§X6X#2■^号)2=扣，故选：B.7.(5分)设q=2°7,b=log64,c=4°3,则()A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【解答】解：因为。=2°”,/;=log&4,c=4°3,所以0<Z?<1,l<c=2°-6<2°-7=a,所以a>c>b.故选：B.8.(5分)若函数f(x)=x(x+a)2在x=l处有极大值，则实数。的值为()A.1B.-1或-3C.-1D.-3【答案】D【分析】利用函数的导数可得/(I)=0,解出。的值之后验证函数在x=\处取得极大值.【解答】解：函数/(x)=x(]+。)2,f(x)=(x+a)2+2x(x+o)=(i+o)(3x4-67),函数/(x)=x(x+a)2在x=l处有极大值，可得/(1)=(1+n)(3+。)=0,解得a=-1或a=-3,当a=-1时，/(x)=(jc-1)(3x-1),x€x€(y,1)时，f(x)<0,xe(1,+8)时，f(x)>0,故/(x)在(§,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，/(X)在1=1处有极小值，不合题意.当a=-3时，/(X)=危-3)(3x-3),X6(-8,1)时/危)>0,xe(1,3)时/(x)<0,/危)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，/G)在x=l处有极大值，符合题意.综上口J得，。=-3.故选：D.9.(5分)中国古代数学巨作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).如图所示，是一曲池形几何体，其中徵I,BBi,CCi,DD\均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径比为1：2,对应的圆心角为120°,且AA\=2AB,则直线A81与CDi所成角的余弦值为()【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线ABi与CD1所成角的余弦值.【解答】解：如图所示，是一曲池形几何体，其中AAi,BBi,CCi,DD\均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径比为1：2,对应的圆心角为120°,且AAi=2AB,设上底面圆心为Oi,下底面圆心为O,连接OOi,OC,OB,OlCi,O\B\,在下底面作OMLOD,以。为原点，分别以OC,OM,OO1所在直线为工轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设OC=l,由题意可得OA=2,AB=1,441=2,则则C(l,0,0),A(2cosl20°,2sinl20°,0)即A(T,而,0),Bi(cosl20°,sin120°,2)即Bl(土有'2)，Di(2,0,2),则而>(1，0,2),厨=(§,尊,2)，—>—>9所以cos/TTfrTT*\_29又异面直线所成角的范围为(0,告],故异面直线ABi与CD1所成角的余弦值为旦.故选：A.10.(5分)材料一：己知三角形三边长分别为”，b,c,则三角形的面积为S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)，其中尸"b+c这个公式被称为海伦-秦九韶公式.v2材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点四，F2的距离的和等于常数(大于|FiF2|)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：己知△A8C中，BC=4,AB+AC=6,则△ABC面积的最大值为()A.扼B.3C.2扼D.6【答案】C【分析】由题意知点A的轨迹是椭圆，写出椭圆的标准方程，求出△A8C面积的最大值.【解答】解：△ABC中，8C=4,ABMC=6,所以点A的轨迹是以8、C为焦点的椭圆，如图所示；则c=2,a=3tb=\j3^-2=V5»所以椭圆的标准方程为主匕+兰匕=1；5由图形知，当点人在椭圆的短轴端点时，4ABC的面积取得最大值;故选：C.【解答】解故选：C.【解答】解：设|MF2|=〃；在八MFiFi中，由正弦定理有：m=—；sin?sina11.(5分)设Fi、F2椭圆^|+^i=l(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上存在点M，ZA/FiF2=a,ZMF2Fi=B，使得离心率巳芟畦一，则。取值范围为()sinaA.(0,1)B.(0,V2-1)C.(V2-1,1)D.(V2-1,V2+1)答案】C【分析】在△MP1F2中，由正弦定理结合条件有：£=!啊|,再由IMF』的范围可求出离心率.a|MF2Im=sinP=€>则e=m=2a.nsinann即(a+c)Ca-c)<2a2<(a+c)2；又a2-(?<2cr成立；则有扼。Va+c；..•离心率：血-l<e<l；12.(5分)己知/(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且/(x)+g(x)=",若关于x的不等式2f的)-ag2(x)NO在(0,所3)上恒成立，则正实数。的取值范围是()A.[号，4CO)B.[0,+8)C.(-CO,号]D.(0,斐]此时△ABC的面积为S=%C・b=Xx4乂岳=2诉.22【答案】D【分析】由奇偶性求得/x【分析】由奇偶性求得/x),g(x)的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为aV冬七旦与，le-e)设换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得“的范围.【解答】解：因为/(x),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数，/(%)+g(x)=犬①，所以/(-x)+g(-x)=exf即f(x)-g(x)=e*②,联立①②可解得f(X)我等二g(X)W*，因为t=ex^e'x,xe(0,M3),所以f=eK-ex>0,故t=^ex在(0,仇3)上是增函数，贝怪£(2,—)，32所以不等式2f(x)-%2(x)mo可化X)》0，二、填空题：本大题共4小题，每小题S分，共20分.13.(5分)若(oxy)(x+y)。的展开式中x5》?的系数为9,则实数a=1.【答案】1.【分析】根据二项式定理得出(1+y)6展开式的通项公式，即可得出(心>)(x+y)6的展开式中骚2为厂=1或「=2时，则；的系数为确必(：；=9,即可解出答案.【解答】解：(i+y)6展开式的通项公式为：Tr+i=Cr.x6-ryr,则T2=C；x4y2,丁3=咯峭，所以(al-y)(x+j)°展开式中的系数为c^a-C；=9，解得a=\.因为庄(0,因为庄(0,B3),则故―，x-e-x)\设ex+e'x=t,贝ij(e-v-ex)2=(/+g’)2-4=?-4,故aV芬~,「*-又因为此讣4在t3因为aVex-e-x)\故选：D.(2,典-)时是增函数，所以o<t—<—*则一^>詈，t15+_—t在对(0,血3)恒成立，所以0<a<^-.8•'•OM•'•OM的面积的最小值为：(何)2兀=5兀.故答案为：5n.16.(5分)如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，AB=2,E为棱DDi的中点，F是正方形CDD\C\内部(含边界)的一个动点，且B1F〃平面A\BE.给出下列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F,使得BiF_LAiB；③三棱锥Bi-D1EF的体积的最大值为2；3④设直线8商与平面CDD\C\所成角为0,则tan。的取值范围是[2,2也].其中所有正确结论的序号是©©④.故答案为：-21.15.(5分)己知。M的圆心在曲线y=2(x>0)上，且。M与直线2x+y+l=0相切，则。M的面积的最小值为5k.【答案】5n.【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，再由基本不等式求得圆M的半径的最小值，则面积最小值可求.【解答】解：设圆心为(①2)(。>0),a|2a《+l||2」2a,§+1|9则—----昌—>_5L_a---------域，当且仅当2。=£,即〃=1时取等号，V5V5a14.(5分)己知tan(a+■匹-)=上，WJcos2a=-—325【答案】21.【分析】由己知利用两角和的正切公式可求得tana=7,进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：因为tan(a咛)所以tan'+1=-%可得tana=7,1-tanCC3则cos2a=cos2a-sin2a=1741?'=1:21=_24cos2CI+sin21+tan20.1+7225【分析】对于①【分析】对于①，利用线线平行能证明平面〃平面MNB1,由此能求出点F的轨迹;对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解.【解答】解：对于①，分别取CC1和。1C1的中点N,M,连接初V,MBi,NBi,由正方体的性质知MN//A1B,NB\//EA\,仁平面A\BE,AiB、EAiu平面A\BE,又MN,M?iu平面MNBi,MNCNBi=N,.平面AiBE〃平面MNBi,当F在MN上运动时，有BiF〃平面AiBE,.动点F的轨迹是线段A^V,故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，又MNHA\B,.BiF_LAiB,故②正确；对于③，三棱锥的体积V亏$心理吓©号Su*对于④，连接BiF,C1F,则81P与平面CDDiCi所成角6=ZBiFCi,IF又(Sad1ef)—=y匕X2Xi=h..•三棱锥的体积最大值为2,故③正确；3I’AtanG的范围是[2,2扼],故④正确.故答案为：②③④.(1(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数三(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期W6天潜伏期＞6天总计50岁以上(含50岁)10050岁以下55200(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少？三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相人数关信息，得到如下表格：潜伏期(单位：天)[0,人数关信息，得到如下表格：潜伏期(单位：天)[0,2](2,4](4,6](6,8]5P(河如)0.050.025ko3.8415.024仲二_尸(a*")：_,其中(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】见试题解答内容【分析】(1)根据统计数据计算平均数即可;a+b+c+d.【答案】⑴sinC=~!v~-(2)根据题意补充完整列联表，计算祁，对照临界值得出结论;(3)根据题意知随机变量X〜8(20,2),计算概率P(X=据，列不等式组并结合题意求出k的值.5【解答】解：(1)根据统计数据，计算平均数为；=—X(1X85+3X2O5+5X31O+7X25O+9X13O+11X15+13X5)=5.4(天)；(2)根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期W6天潜伏期>6天总计50岁以上6535100 (含50岁)50岁以下554510080200根据列联表计算矽=2°°*(65X45-55X35)'=竺@2.083<3.841,120X80X100X10012所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；(3)根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为也1=210005设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X,则X〜B(20,2),5P(X=k)•P(X=k)•(寻)，*=°'1'2'…'20；li(rp(x=k)>p(x=k+i),lP(X=k)>P(X=k-1)'化简得(3(k+l)>2(20-k),解得丑〈X竺12(21-k)>3k55又炷N,所以*=8,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.18.(12分)△A8C的内角A,B,C的对边分别为sb,c,己知c=2,A=60°,D为BC边上一点,BD=2CD.(1)若CD=1,求sinC；(2)若△A8C的面积为值，求AD的长.【分析】【分析】(1)作出辅助线，证明出为平行四边形，得到从而证明出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设AP=M氏利用空间向量列出方程，求出入旦，从而得到四棱锥的体4(2)m一2仞sAD=~—•【分析】(1)由己知结合正弦定理即可直接求解sinC；(2)由己知结合三角形面积公式可求b,然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求.【解答】解：(1)依题意得BD=2,则BC=3,在左ABC中，由正弦定理得：=三，sinAsinC艮WMe'所以sinC=^~2-⑵因为$2\飒蓦-besinAw^^uZTS‘所以b=4,由BD=2CD可得,则面2=捉2奈.危争2,={X22^X2X4x|4|x42=^所以AD*^19.(12分)如图，在等腰直角ZVIBC中，ZBAC=90°,和EC都垂直于平面ABC,且EC=BC=308=6,F为线段AE上一点，设AF=1AE(O<A<1).(1)当入为何值时，DF〃平面ABC；(2)当二面角E-DF-C的余弦值为寸亘时，求四棱锥F-BCED的体积.又因为D8_L又因为D8_L面ABC,&?_1面ABC,所以OB〃EC,又因为EC=3BD=6,所以BD=2,于是BD//FH且BD=FH,所以四边形。8HF为平行四边形,所以。F//BH,又DF《平面ABC,HHu平面ABC,所以。F〃平面ABC,故当入旦时，DF〃平面A8C；3(2)根据题意，建系如图，则根据题意可得:【解答】解：(1)当入旦时，F为AE上靠近点A的三等分点，取AC上靠近点A的三等分点H,3连接PH,BH,则阳〃EC,且FH旦EC=2，3A(3,3,0),。(0,0,2),C(0,6,0),E(0,6,6),(m-3,〃-3,t)=入(-3,3,6),aDF=(3-3X,3+3X,6"2),DE=(0,6,4),DC=(0,6,-2)，设平面FDC的法向量为三=(x,y,z)，fn*DF=(3-3X,)x+(3+3^)y+(6^-2)z=0-1-7X、_.n*DC=6y-2z=01-大又平面又平面EDC的法向量为玉=(1,0,0)，..•二面角E-DF-C的余弦值为寸辽，20.(12分)己知抛物线C：)^=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k(k枷)的直线过点户(专，0)，交C于A,8两点，且当k*■时，竹旧+|时)=16.(1)求C的方程;(2)设C在人，B处的切线交于点0证明[演!£|BF||bq|2【答案】(1顼=4x；(2)答案见解析.【分析】设斜率为k(罗。)且过点P的直线为/：x=iny-—»其中m旦.设A(xi，yi),B3,)>2).2k(1)代入,〃=2,得/：x=2y号，将其与C：y^=2px(p>0)联立，后由期+阴=16,结合韦达定理及抛物线定义可得答案；斟会说明(2)利用△=()表示出C在A,B处的切线方程，联立切线方程得Q坐标，注意到y】|BQ|2=y2|AQ|2即可.一一一AIcosG，|m|Tn|解得入二，4il-7人1x)10+(年令产V1-A【解答】解：(1)设斜率为L【解答】解：(1)设斜率为L(奸0)且过点P的直线为/：x=my-E，其中设A(xi,yi),B(血，y2)•当k号时，Lx=2y~»将其与C：y1=2px(p>0)联立，消去x得：y2-4p^p2=0,由韦达定理看y]+y2=4p,y1Y2=p2,又由抛物线定义知\AF]+\BF]=xi+x2+p,又x\+x2=2(yi+y2)-p,结合\AF]+\BF}=\6,则8p=16np=2.得C的方程为y2=4x；(2)由(1)可得，P(-I,0),则/：x=my-I,将其与抛物线方程联立，消去x得：y2-4,〃y+4=0,则y\+y2=4m,yiy2=4.设C在A点处的切线方程为(y-y\)+xi,C在B点处的切线方程为x=〃72(y-y2)+n将x=m\(y-yi)+x\与y2=4x联立，消去x得：y2-4m\y+4m]y\-4xi=0,因x=m\(y-yi)+xi为抛物线切线，则联立方程判别式A=16福-4(4/niyi-4x1)=0,可得话福-4(4wiyi-y：)=4(2mi-yi)2=0>可得冲=奇~,y】y2x=mi(y-yJ+xiX=_T"将两切线方程联立有I】，将时，m2代入可得，2=^~x=m2(y-y2)+x2yf可得Q(1,2m),则|AQF=(xi-1)2+(yi-2m)2,又xi=myi-1,即|AQF=(my\-1)2+(ji-2m)2=(1+m2)y：-8/wyi+4〃?2+4,同理可得|BQ2|=(l+〃?2)以8my2+4w?+4,2kyy要证_=面I要证_=面I2,BF|BQ|2又因为)，i|BQ|2=(1+m2)yiy^-8/wyi>'2+(4m2+4)yi,因y\yi=4f所以yi|BQF=4(1+m2)(yi+y2)-32m同理可得y2\AQ\2=4(l+m2)(yi+y2)-32m所以|AF_|AQ|2成立.因为得Xj+1_my1-l+l_y〔x2+lmy2-l+ly2x4x6令/(x)<0,可得oVx<3•或x>2；令,Q)>0,可得§<><2，•V(x)在(0,号)和(2,+8)上单调递减，在(§,2)单调递增故f(x)极大值=f⑵专1糖-是mx(1)当?n=2时，求f(x)的极大值；(2)试讨论/(x)在区间(0,1)上的单调性；(3)当+°°)时，曲线y=f(x)上总存在相异两点P(xi,f(xi))、Q3,f3))，使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行，求xi+眨的取值范围.【答案】见试题解答内容【分析】(1)利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求/(x)的极大值；(2)求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；(3)曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可.【解答】解：(1)当m=2时，f(x)Alnx+-L_x2xfz(x)---1=-(湛)华T).(5)21.(12分)巳知函数f(x)=(/«+—)lnx+—-xf(其中常数;n>0).1x2-x+11x2-x+1(x-m)(x~^~)(2)f‘(x)=m-4-l=-------------------------..-------------(x>0,/n>0)AXXX①当0<m<1时，则_L>],故(0,m),f(x)<0；mxES,1)时，f(x)>0此时/(x)在(0,w)上单调递减，在(小，1)单调递增；②当巾=1时，则-1=1，故XG(0,1),有(x)=-(xf)2<0恒成立，mx2此时/(x)在(0,1)上单调递减；③当m>\时，则0<色<1，m故x£(0,项寸，f(x)<0；x£(―,1)时，/(X)>0mm此时/(x)在(0,【)上单调递减，在(■!,1)单调递增mm(3)由题意，可得,(xi)=/(%2)(xi,x2>0,且xi^X2)1irl1m+—