北京市丰台区2022-2023学年高二下学期期中练习数学（A卷） Word版含解析

丰台区2022-2023丰台区2022-2023学年度高二第二学期期中练习数学(A卷)考试时间：120分钟第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要I若.心，求严⑵"【答案】A解析】【分析】先对函数求导，再代值计算即可.所以f\x)=-x-2=~fX所以r(2)=-i【详解】由数列{%}满足可得数列{%}为等差数列,=1,可得％=l+(〃—l)x2=2〃—l,所以％=9.故选：C.3.己知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移/(单位：m)与时间，(单位：S)之间的关系故选：A.2.己知数列{%}的首项％=1,且满足%心-％=2,则％=()A.5B.7C.9D.11【答案】C解析】【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，求得％=2〃-1,即可求得％的值.故选：C.5.故选：C.5.若函数f(x)=\nx-x,则/V)的单调递增区间为()A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,+oo)D,(-1,1)【答案】B【解析】【分析】根据题意求得r(x)=—,令rw>o,即可求解.3为/。)=2/+二£.则当.=5时，该运动员的滑雪速度为()2A.17.5m/sB.21.5m/sC.38m/sD.57.5m/s【答案】B解析】【分析】根据导数的几何意义，对l(t)=2r+-t求导，再将7=5代入求解即可.2333【详解】因为，(f)=2F+T,所以/'(。=4，+—,22故/'(5)=4x5+—=21.5m/s,2所以该运动员的滑雪速度为21.5m/s.故选：B.4.已知数列{%}是等比数列，其前〃顼和为S”,若%=8，则S’的值为()A.-15B.-5C.5D.15【答案】C【解析】【分析】设数列{%}的公比为0,结合题设根据等比数列的性质可求得g,进而根据等比数列的前〃项和公式求解即可.【详解】设数列{%}的公比为q,所以0=-2,4\-q1-(-2)2【详解】由函数f2【详解】由函数f(x)=\nx-x的定义域(0,+时，nT«r(x)=--l=—,x>0,令/z(x)>0,解得Ovxvl,即函数/((工、)的单调递增区间为(0,1).故选：B.6用.数学归纳法证明“对任意的1+2+3++3〃=--------",由n=k到〃=&+1时，等式左边应当增加的项为(C.3k+3D.(k+l)+(Ar+2)+(3k)【答案】B【解析】【分析】分别写出n=k和〃=k+l时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当n=k时，等式左边等于1+2+3+.+3&,共3&项求和；当n=k+1时，等式左边等于1+2+3++3侬+1),共3A+3项求和；所以由n=k的假设到证明〃=k+1时,等式左边应添加的式子是(3A+1)+(3比+2)+(3k+3).故选：B7.曲线f(x)=xex-e在x=l处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为()【答案】A【解析】【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.【详解】由/(x)=xer-e,可得r(x)=e'+xe',又/(l)=2e,/(1)=0,故/(x)=xev-e在点x=l处的切线方程为y=2e(x-l),即y=2ex-2e.令x=O得y=-2e,令y=O得工=1,所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为S=」x2exl=e.2故选：A.8.己知函数y=f(x)t其导函数y=f\x)的部分图象如图，则对于函数y=fW的描述销谬的是【【答案】D【解析】【分析】根据图象可得/'(x)的符号，进而可判断/,(X)的单调性，结合/(X)的单调性逐项分析判断.【详解】由图象可得：当x<-3^c-l<x<3时，/^)>0;当—3vxv—l或x>3时，广(力<0；故f(x)的单调递增区间为(—,一3),(—1,3),单调递减区间为(一3,—1),(3,*时，故A,B正确；函数/'(X)在工=一1处取得极小值，故C正确，1不是极值点，D错误；故选：D.9.已知等比数列{%}的前〃项和为若一则()A.{%}为递减数列B.{%}为递增数列C.数列{S,}有最小项D,数列{S”}有最大项【答案】c【解析】【分析】由已知一分析等比数列的公比范围，进而可以判断{。〃}的单调性，判断A,B；由S”=理二四=绊*，分养(一1,0),06(0,1)进行讨论，判断C,D.【详解】设等比数列{%}的公比为0,则0=0,由一<a}可得>0,又所以色"<1即qvl,又-%V⑴，所以一ax<axq,即q>-\,a\故等比数列{%}首项6>0,公比9满足一IvqvO或Ovqvl,当—l<qvO时，等比数列{%}为正负项交替的摆动数列，故不单调；A.在区间(A.在区间(-3,-1)上单调递减B,在区间(1,3)上单调递增C.户一1为六X)极小值D.工=1为/W极小值点当Ovqvl当Ovqvl时，《中一％=%/'T(q—1)VO,等比数列{%}单调递减，故A,B不正确;又危Jl")=金(If且金>。所以当—1V0VO时，由于Sg-S“=q/5)=御”(T),]_gi-q此时数列{S,}的最小项为&,最大项为§：当Ovqvl时，有S〃+i-S〃=(q〃-q"*)=广―q"(1-q)=qq">0,则数列{&}为单调递增数列，有最小项无最大顼，故C正确，D不正确.故选：C.10,任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1t4->2t1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如果对于正整数川，经过〃步变换，第一次到达1,就称为〃步“雹程如取也=5,由上述运算法则得出：5t16t8t4->2t1,共需经过5个步骤变成1,得n=5.则下列说法错误的是()A.若m=13,则n=9B.若〃=2,则刀只能是4D.若〃=7,则m的可能值有5个【答案】D【解析】判断作答.【详解】对于A,当〃?=13时，13-»40t20t10t5t16t8t4t2t1,〃=6‘A正确；对于B,若〃=2,逆推：按减1除以3或乘以2,得1—2—4,因此刀只能是4,B正确；对于C,当〃?=3时，3t10t5t16t8—>4t2t1,〃=7,当〃=4时，4t2->1,n=2,因此随着为的增大，〃不一定增大，C正确;Hm也必性—对于D,若丁=1,逆推：按减1除以3或乘以2,得1t2t4t8t16t/20[3因此用的取值集合是{3,20,21,128},〃，的值只有4个，D错误.故选：D第二部分(非选择题共11()分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数/(x)=sin2x,则f(x)=,【答案】2cos2x【解析】【分析】利用简单复合函数求导公式进行计算.【详解】令y=sinu,u=2x,则y„-ux=2cosu=2cos2x,故广(x)=2cos2x.故答案：2cos2i12.如果一l,a,b,c,—9成等比数列，那么Z?=.【答案】-3【解析】【分析】根据等比中项以及等比数列的性质运算求解.【详解】设该数列的公比为G，则由题意可得一lx/=—9,解得/=9,即『=3,所以人=-lxq2=-3.故答案为：-3.【点睛】考点：等比数列的通项公式.13.如图，已知函数/W图象关于直线x=-对称，直线/是曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线，则22-0曲线y=2-0曲线y=/(x)在点(0,2)处的切线斜率为=I,【答案】-i【解析】【分析】根据导数的定义，几何意义和求导公式即可求解.【详解】根据二次函数图像可以设其解析式为：y=/(X)=«(x+l)(x-2),所以f\x)=a(2x-1)=2ax-a,y所以尸(0)=-。=1,所以r(x)=-2X+1,所以lim'(1+*)-/")=尸⑴=-1,弘项Ax故答案为：-1.14.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3,L,9填入3x3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1，2,3,L,填入nxn个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，记此和为N“，这个正方形叫做〃阶幻方.如图三阶幻方的M=15.若kcN*，则.449.令【答案】些2【解析】438故答案：心1215.函数/(故答案：心1215.函数/(x)=lx+cosx(x>0)的所有极值点从小到大排列成数列{《},设S〃是{%}的前〃项和，给出下列四个结论：①数列{%}为等差数列；【分析】利用等差数列求和公式计算出1+2+3++妃=号(1+.),从而得到N*.2详解】由等差数列求和公式可得1+2+3++妃=*I"*)，2故每行，每列和每条对角线上的数字之和为'丁(1+」~)=瓦1+*~),*2k2易得函数的极值点为米=一+2威或工=一+2虹，keZ,66从小到大为冬，牛...，不是等差数列，①错误；6666③％为函数/⑴的极小值点;吨023=-!.其中所有正确结论的序号是.【答案】②③④【解析】【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断.【详解】解：Ax)=|-sinx,令f)=0可得x=—+2虹或工=—+2kn,k「Z,66f665兀八17兀nA25丸因为％=+2兀=---，%=471=-------9函数/'(x)在区间(与幻导)上为减函数，在区间(导，詈)上为增函数，6666所以％为函数/•(')的极小值点，③正确；c兀5兀所以％为函数/•(')的极小值点，③正确；c兀5兀13兀17兀(n.....-) it13k(ncW「5兀17兀(5k八)1012x1011一1010x1011c[66)\J\62JI6266(6JJ|_66I61012X10Hx2J+pxl011+1Q1QxlQ11x2K【解析】【分析】(1)设{《}的公差为d，根据通项公式列方程解得",即可得解; (2)结合(1)得如，再利用分组求和法求解即可.【小问1详解】设{%}的公差为d,因为6+。2=-4,。7-％=4,所以2%+d=—4,2d=4：解得％=-3,d=2.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16,已知数列{%}为等差数列，若％+%=-4，%=4. (2)若数列{如}满足bn=an+3nt求数列{如}的前〃项和【答案】(1)=2n-5 "22=sin101()71+—=sin—=—，④正确；I6)62~~~6666[6)【小问2详解】因为％=2〃-5,如=%+3"=2〃一5+3”;所以S归=(—3)+(—1)+1++(2〃—5)+3+3?++3”r+1-32217.已知函数f(x)=x3-6x2+9x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若/(X)在区间[1“]上的最小值为0,求〃2的取值范围.【答案】(I)单调递增区间为(一8,1),(3,+8),单调递减区间为(1,3)(2)tn>3【解析】【分析】(1)首先求函数导数，根据导数和单调性的关系，即可求解;(2)根据(1)的结果，结合函数的最小值，即可确定〃?的取值范围.【小问1详解】由题可知广(工)=3/—12尤+9,令/"'(尤)=0，即3x2-12x+9=0，解得工=1或x=3,当x变化时，r(x),/'(x)的变化情况如下表：所以/(》)的单调递增区间为(-oo,l),(3,+8),单调递减区间为(1,3).【小问2详解】因为/(a)在区间(1,3)±单调递减，在区间(3,+8)上单调递增,X13+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增【答案】(1)。=5又有/(I)=4,/(3)=0,要使/(x)在区间[0,仞]上的最小值为0,则m>3.18.已知数列{%}满足％=3,且an+{=3an-4.(1)设数列{巾}满足如=%-2,证明：{如}是等比数列；(2)求数列{%}的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)%=3”t+2【解析】【分析】(1)根据题意，表示出人仲与0+的关系式，计算得#=3,根据等比数列的定义可证明数列{如}是等比数列；(2)根据等比数列的通项公式写出数列{"}的通项，从而可得数列{%}的通项公式.【小问1详解】b]=q-2=1,如=%-2,%初=3%-4,•,-如=«-2=(3%-4)-2=3(%-2)=3如,因为故bn^0t:.=3....{如}是首项4=1，公比0=3的等比数列.【小问2详解】由(1)知，如=3〃",又bn=an-2,所以％-2=3"-，‘所以an=3n~l+2.故数列{%}的通项公式为%=3心+2.19.已知函数/(工)=无三，且/(X)在x=-l处取得极值.(2)若方程f(x)=k有两个解，求实数&的取值范围.(2)0<&v』或----<k<010【解析】【分析】(1)首先求函数的导数，根据/*'(一1)(2)0<&v』或----<k<010【解析】【分析】(1)首先求函数的导数，根据/*'(一1)=0,求"的值;(2)利用导数判断函数的性质，再利用数形结合，求实数&的范围.【小问1详解】由题可知广(功=\：二“(5因为g在x=—i处取得极值，所以r(-i)=o,解得。=5；经检验，a=5满足题意.【小问2详解】f"\2-工f任"-5)(工+1)X5(-1,5)(-00,-1)+增令ff(x)=0,解得x=-l或x=5；当x变化时，r(x),的变化情况如下表:由(1)知，/(X)=-y—,J(X)-(、、2jr+51x4-5)极小值+增极大值广⑴f(x)00O2所以六x)的极大值/(-1)=|；/(x)的极小值/(5)=~因为方程f(x)=k有两个解，所以0<k今或一土〈&<°当xv2时，/(%)>0；当工>2时，/(x)<0,2函数六对的单调递增区间为(tr,-1),(5,+co)；单调递减区间为(-1,5).【小问1详解】【小问1详解】当。=1时，函数f(x)=x\nx-x2.l令x=l,得广(1)=一1,即切线斜率k=—l,故切线方程为y+l=-(x-1),即y=-x.【小问2详解】解法一：已知/(x^axinx-x1,可得/'(%)=a(\nx+\)-2x,因为/⑴在区间[1,e]上单调递增，所以ff(x)>0在区间[1,e]±恒成立，设F(x)=«(lnx+l)-2x,可得Ff(x)=—―,令F\x)-0,*=；；①当州<1时，tz<2,XG[l,e],F(x)<0,尸(对单调递减，2P(x)min=F(e)=2o—2e<0,不满足题意；②当1e时，2vov2e,xg(1,-)时，Ff(x)>0,F(x)单调递增；2220.已知函数f(x)=ax\nx-x2(aeR).(1)当&=1时，求曲线y=fM在点(1,/(1))处的切线方程；(2)若函数，(x)在区间[l,e]±单调递增，求实数〃的取值范围.(2)[e,+oo)【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)解法一：由题意得r(x)>0在区间[l,e]上恒成立，设F(x)=«(lnx+l)-2x,然后利用导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数。的取值范围；解法二：由题意得f\x)>0在区间[l,e]上恒9r2r成立，则—在区间[l,e]上恒成立，令g3)=W^(E[i,e]),利用导数求出其最大值即可，Inx+llnx+1时，F'(x时，F'(x)vO,F(x)单调递减，由F(l)=«-2>0,F(e)=2a-2e>012vov2e,得eKiv2e；->e时，a>2e,xe[l,e],F'(x)NO,尸(对单调递增，2由F(x)min=F(D="-220,得a>2,所以o22e；综上，a>e.经检验，a>e满足题意.所以实数。的取值范围为[e,+8).解法二：由题意，f(x)=a(\nx+\)-2x>0在区间[1,e]上恒成立，因为xw[l,e],所以lnx+l>0,所以。2-—-在区间[l,e]上恒成立.lnx+1lnx+1则川=和产所以gM在区间[1,e]上单调递增,所以g(x)的最大值为g(e)=e,所以a>e.经检验，oNe满足题意.所以实数〃的取值范围为[e,+oo).【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为广(x)=o(lnx+l)-2x20在区间[l,e]上恒成立，然后分离参数，再构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.21.定义“三角形数”：对于给定的正整数〃，若存在正整数使得〃=1+2+3+.+4，则称〃是“三角形已知数列{%}已知数列{%}满足%=1,且an+l-an1,若〃是?三角形数2‘,若讦是?三角形数乂。”+1-={2(〃+1)-[—---------]]-{2n-[----------])综上，命题得证.【小问3详解】只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确.当〃=1时，％=2-[蚓£=1,满足初值条件.(1)写出的值：(2)证明：当且仅当〃是“三角形数”时，1+$(〃+1)-7是正整数;2(3)证明：数列{《}的通项公式为4=2〃一[1+'；〃_7]，其中以]表示不超过x的最大整数，如[3]=3,[