高一数学函数的概念练习题

高一数学函数的概念练习题元素a∈A，f(a)=a2-1，则f(0)的值为多少？⑵若函数f(x)=x2+bx+c的图像过点(-1,0)和(2,0)，则b和c的值分别为多少？解析：【例1】⑴不是函数，因为x取不同值时，y有两个对应值。⑵不是函数，因为x取不同值时，y有两个对应值。⑶是函数，因为x取不同值时，y只有一个对应值。⑷不是函数，因为对于同一个x，y有两个对应值。【例2】函数图象与直线x=1的公共点数目为1，即函数图象与直线x=1有一个交点，选项A。【例3】能表示“y是x的函数”的是图2和图3。【例4】表示y是x的函数关系的图象有1、2、3、4中的1、2、3。【例5】能表示从集合M到集合N的函数关系的图形有A和C，选项B。【例6】⑴是映射，不是一一映射。⑵是映射，是一一映射。⑶是映射，不是一一映射。⑷是映射，不是一一映射。【例7】有5个映射。【例8】共有4个不同的映射，即{(a1,b1),(a2,b1)},{(a1,b2),(a2,b1)},{(a1,b1),(a2,b2)},{(a1,b2),(a2,b2)}。【例9】选项A和C正确，选项B和D不一定成立。【例10】⑴f(0)=02-1=-1。⑵由题意得到两个方程：b-2c=0和4+2b+c=0，解得b=-2，c=3。1.x属于集合A，且x加上f(x)为偶数的映射个数是多少？2.设f是从集合A={(x,y)|x,y属于实数}到B={(x,y)|x,y属于实数}的映射，其中A和B的元素都是有序对。f的映射规则为f:(x,y)→(kx,y+b)。如果B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，那么k和b分别等于多少？3.已知集合A={1,2,3,k}，B={4,7,a4,a2+3a}，且a是正整数。如果B中的元素y=3x+1与A中的元素x对应，则a和k的值分别是多少？4.集合A={3,4}，集合B={5,6,7}，那么从A到B的映射个数是多少？从B到A的映射个数是多少？5.已知函数f(x)和g(x)的值如下表所示。求f[g(1)]的值；满足条件f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是什么？6.为了确保信息安全，信息需要进行加密传输。发送方将明文转换为密文，接收方将密文转换为明文。已知加密规则为：明文a,b,c,d转换为密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1,2,3,4转换为密文5,7,18,16。如果接收方收到的密文是14,9,23,28，那么解密得到的明文是什么？7.已知集合M=N={5,6,7,8,9}，规定M到N的一个映射为f(x)={14,24,7,8,9}。求满足以下条件的x的值：⑴如果f[f(a)]=6，求a；⑵如果f{f[f(b)]}=6，求b；⑶如果f{f...f(c)}=6，求c。【例18】求函数$f(x)=\frac{x+1}{x-9}$的定义域。答：由于分母不能为零，所以$x-9\neq0$，即$x\neq9$。因此，函数的定义域为$\{x|x\neq9\}$。【例19】求函数$y=\frac{x-2}{x^2-4}$的定义域。答：由于分母不能为零，所以$x^2-4\neq0$，即$x\neq\pm2$。因此，函数的定义域为$\{x|x\neq\pm2\}$。【例20】函数$y=\frac{x-1}{x-2}$的自变量$x$的取值范围是（）。答：由于分母不能为零，所以$x-2\neq0$，即$x\neq2$。因此，函数的定义域为$\{x|x\neq2\}$。又因为分子为$x-1$，所以函数的取值范围为$\{y|y\neq1\}$。【例21】函数$y=\frac{1}{3x-1}-2$的定义域是（）。答：由于分母不能为零，所以$3x-1\neq0$，即$x\neq\frac{1}{3}$。因此，函数的定义域为$\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$。【例22】函数$y=\frac{-4}{3}$的定义域是（）。答：由于分母为常数$3$，所以函数的定义域为全体实数。【例23】求函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$的定义域。答：由于分母不能为零，所以$x+1\neq0$，即$x\neq-1$。因此，函数的定义域为$\{x|x\neq-1\}$。【例24】（2008年全国I卷文理）函数$y=x(x-1)+x$的定义域是（）。答：$y=x(x-1)+x=x^2-x+x=x^2$。由于平方根的定义域为非负实数，所以$x^2\geq0$，即$x\in(-\infty,+\infty)$。因此，函数的定义域为全体实数。【例25】求下列函数的定义域：⑴$y=x+8+\frac{3-x}{x}$；⑵$y=\frac{x^2-1}{1-x^2}$；⑶$y=\frac{x-1}{1-\frac{1}{x-x}}$。答：⑴由于分母不能为零，所以$x\neq0$。又由于分式的定义域为全体实数减去分母为零的点，所以函数的定义域为$\{x|x\neq0\}$。⑵由于分母不能为零，所以$1-x^2\neq0$，即$x\neq\pm1$。又由于分式的定义域为全体实数减去分母为零的点，所以函数的定义域为$\{x|x\neq\pm1\}$。⑶由于分母不能为零，所以$x\neqx$，即分母不存在。因此，函数无定义域。【例26】若$y=f(x+2)$的定义域是$(1,3]$，求$y=f(x)$的定义域。答：将$x+2$看成一个整体，那么$y=f(x+2)$的定义域为$(1,3]$，即$x+2\in(1,3]$，解得$-1<x\leq1$。因此，$y=f(x)$的定义域为$\{x|x\in(-1,1]\}$。【例27】已知函数$y=f(x+1)$的定义域是$[-2,3]$，则$y=f(2x-1)$的定义域是（）。答：将$2x-1$看成一个整体，那么$y=f(2x-1)$的定义域为$[-2,3]$中满足$2x-1\in[-2,3]$的$x$的取值，解得$-\frac{1}{2}\leqx\leq2$。因此，$y=f(2x-1)$的定义域为$\{x|-\frac{1}{2}\leqx\leq2\}$。【例28】已知函数$f(x)=\frac{a(x+x^{-3})}{x+x^{-1}-3}$的定义域是$\mathbb{R}$，则实数$a$的取值范围是（）。答：由于$x+x^{-1}-3\neq0$，即$x^2-3x+1\neq0$，所以$\Delta=9-4\times1\times1<0$，即方程$x^2-3x+1=0$无实数解。因此，$x+x^{-1}-3$的取值范围是$\mathbb{R}$。由于$f(x)$的定义域是$\mathbb{R}$，所以$f(x)$在$x=0$处无定义，即$a(0+0^{-3})=0$，解得$a=0$。因此，实数$a$的取值范围是$\{a|a=0\}$。【例29】（1）求函数$f(x)=\frac{x-5}{x^2-5x+6}+2\frac{x}{x+x}-\frac{1}{x-x}$的定义域；（2）已知函数$f(x)$的定义域是$(a,b)$，求函数$F(x)=f(3x-1)+f(3x+1)$的定义域。答：（1）由于分母不能为零，所以$x^2-5x+6\neq0$，即$x\neq2$且$x\neq3$。又由于分式的定义域为全体实数减去分母为零的点，所以函数的定义域为$\{x|x\neq2\text{且}x\neq3\}$。（2）由于$f(x)$的定义域是$(a,b)$，所以$3x-1\in(a,b)$且$3x+1\in(a,b)$。解得$\frac{a+1}{3}<x<\frac{b+1}{3}$且$\frac{a-1}{3}<x<\frac{b-1}{3}$。因此，函数$F(x)=f(3x-1)+f(3x+1)$的定义域为$\{x|\frac{\max\{a-1,b-1\}}{3}<x<\frac{\min\{a+1,b+1\}}{3}\}$。【例30】（1）函数$f(x)$的定义域为$(0,1)$，求函数$f(x^2)$的定义域；（2）已知函数$f(2x+1)$的定义域为$(0,1)$，求函数$f(x)$的定义域；（3）已知函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，求函数$f(2x^2-2)$的定义域。答：（1）由于$x^2>0$，所以$x^2\in(0,1)$。因此，函数$f(x^2)$的定义域为$(0,1)$。（2）由于$f(2x+1)$的定义域为$(0,1)$，所以$2x+1\in(0,1)$，解得$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$。因此，函数$f(x)$的定义域为$\{x|-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\}$。（3）由于$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，所以$x+1\in[-2,3]$，解得$-3\leqx\leq2$。因此，函数$f(2x^2-2)$的定义域为$\{x|-3\leqx\leq2\}$。【例31】求下列函数的定义域：（1）$f(x)=\frac{2x-x^2}{\lg(2x-1)}$；（2）$f(x)=\lg(x-ka)+\lg(x^2-a^2)$。答：（1）由于分母不能为零，所以$2x-1>0$，即$x>\frac{1}{2}$。又由于对数函数的定义域为正实数，所以$2x-1>0$，即$x>\frac{1}{2}$。因此，函数的定义域为$\{x|x>\frac{1}{2}\}$。（2）由于对数函数的定义域为正实数，所以$x-ka>0$，即$x>ka$。又由于分母不能为零，所以$x\neq\pma$。因此，函数的定义域为$\{x|x\in(ka,a)\cup(a,+\infty)\text{且}x\neq\pma\}$。【例32】已知函数$f(x)$的定义域为$(0,2)$，求下列函数的定义域：（1）$y=f(x)+2/3$；（2）$y=2\log(f(x^2)+1)$。答：（1）由于$f(x)$的定义域为$(0,2)$，所以$f(x)+\frac{2}{3}>0$，即$f(x)>\frac{-2}{3}$。因此，函数的定义域为$\{x|f(x)>\frac{-2}{3}\}$。（2）由于$f(x)$的定义域为$(0,2)$，所以$f(x^2)>0$，即$f(x^2)+1>1$。因此，$2\log(f(x^2)+1)$的定义域为$\{x|f(x^2)+1>0\}$。【例48】（1）函数y=3x+2的定义域为全体实数，值域为全体实数。（2）函数y=-x^2+x+2/(5-4x)的定义域为R-{5/4}，值域为(-∞,2]。【例49】（1）函数y=2x-3的值域为全体实数。（2）函数y=-2x-1在区间[-1,3]上的最大值为5，最小值为-7，值域为[-7,5]。（3）函数y=-2x^2-3x-4的值域为(-∞,-4]。（4）函数y=x+41-x的值域为(-∞,∞)。（5）函数y=x+1-x^2的值域为[-3/4,∞)。（6）函数y=|x-1|+|x+4|的值域为[3,∞)。（7）函数y=2/(2x^2-x+1)+1的值域为[1,∞)。（8）函数y=(x+1)/(2x-12)的值域为(-∞,-1/5)。（9）函数y=-9的值域为{-9}。【例50】（1）函数y=3x^2-x+2的值域为[3/4,∞)。（2）函数y=-x^2-6x-5的值域为(-∞,-4]。（3）函数y=3x+1/(x-2)的值域为(-∞,-2]∪[7,∞)。（4）函数y=x+41-x的值域为(-∞,∞)。（5）函数y=x+1-x^2的值域为[-3/4,∞)。（6）函数y=|x-1|+|x+4|的值域为[3,∞)。（7）函数y=2/(2x^2-x+1)+1的值域为[1,∞)。（8）函数y=(x+1)/(2x-12)的值域为(-∞,-1/5)。（9）函数y=-9的值域为{-9}。【例51】当x≥1时，f(x)=1/(x-1)，当0≤x<1时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1/x。当f(a)>a时，有两种情况：1.a≥1，此时f(a)=1/(a-1)，所以1/(a-1)>a，解得a<0或a>2；2.0≤a<1，此时f(a)=2，所以2>a。【例52】(1)当x∈[-2,0]时，函数f(x)=2x-x^2，当x∈[0,3]时，函数f(x)=x+6-x^2。当x=-1时，f(x)=3，当x=3时，f(x)=6，因此函数的值域为[-9,6]。(2)当m=1时，函数f(x)=-x^2+x-4，在区间[2,4]上取得最大值-3，因此最大值为-3，解析式为f(x)=-x^2+x-4。(3)最大值-3存在最小值，最小值为-9，当x=-2时取到。【例53】由题意得f(-1)=f(1)=-3，代入函数得a=1。【例54】(1)函数在区间[2,4]上取得最大值，即f(2)≥f(x)≥f(4)，解得m∈[-1,5/2]。(2)最大值为f(3)=(m+5)/2。(3)最大值存在最小值，最小值为-1/4，当m=1/2时取到。【例55】函数解析式为y=x^2，值域为{1,4}，当x=1或-1时取到，因此共有两个同族函数。【例56】①函数的定义域为R-{0,7}。②f(11)=-34/3，f(4)=2。③当a>7时，f(a)为正值，f(a-1)为负值。【例57】由条件得f(1)=4，f(x+1)=f(x)+x+1，代入得f(x)=x^2+x，值域为[0,∞)。【例58】4x^2-9y^2=36可以化为y=±2/3√(4x^2-36)，因此y不是关于x的函数，不存在函数关系y=f(x)。【例59】由值域为(-∞,0]得a-2≤0，即a≤2。当a=2时，函数为f(x)=2(x-1)^2-4，值域为[-4,0]。因此满足条件的实数a组成的集合为(-∞,2]。【例60】函数$y=x^2-3x-4$的定义域为$[0,m]$，值域为$[-25,-4]$，则$m$的取值范围是（）。答案：A解析：首先确定函数的最值，由于$a>0$，所以当$x=\dfrac{3}{2a}$时，$y_{\max}=\dfrac{1}{4a}-4$。又因为$y_{\max}=-25$，所以$a=-3$，代入可得$y_{\min}=-\dfrac{49}{4}$。因此，$m\in(0,4]$。【例61】当$x=$_______时，函数$f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$取得最小值。答案：$x=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$。解析：由平均值不等式可得，$\dfrac{(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2}{n}\geqslant\left(\dfrac{x-a_1+x-a_2+...+x-a_n}{n}\right)^2$，即$f(x)\geqslant\dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{n}$。等号成立当且仅当$x=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$。【例62】设函数$y=ax+2a+1$，当$-1\leqslantx\leqslant1$时，$y$的值有正有负，则实数$a$的范围。答案：$a\in(-\infty,-1]\cup\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)$。解析：当$x=-1$时，$y=a+1\leqslant0$，即$a\leqslant-1$；当$x=1$时，$y=a+3\geqslant0$，即$a\geqslant-3$。又因为$y$在$[-1,1]$上有正有负，所以$a\in(-\infty,-1]\cup\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)$。【例63】对于任意实数$x$，函数$f(x)=(5-a)x^2-6x+a+5$恒为正值，求$a$的取值范围。答案：$a\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[10,+\infty\right)$。解析：由于$f(x)$恒为正值，所以$\Delta\leqslant0$，即$4a-19\leqslant0$，解得$a\leqslant\dfrac{19}{4}$。又因为$f(x)$是一个开口向上的抛物线，所以当$x=\dfrac{3}{5-a}$时，$f(x)$取得最小值，即$\dfrac{4-a}{5-a}\leqslant0$，解得$a\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[10,+\infty\right)$。【例64】记二次函数$f(x)=-x^2-4mx+1$在$[-1,3]$的最大值为$g(m)$，写出$g(m)$的函数表达式，并求出$g(m)$的最小值。答案：$g(m)=\dfrac{1}{4}(m+1)^2-1$，$g(m)$的最小值为$-\dfrac{9}{4}$。解析：由于$f(x)$在$[-1,3]$上是一个开口向下的抛物线，所以$f(x)$在$[-1,3]$上取得最大值时，$x=\dfrac{-(-4m)}{2\times(-1)}=2m$。代入得$g(m)=f(2m)=-4m^2+8m+1$。由于$g(m)$是一个开口向下的二次函数，所以$g(m)$的最大值为$\dfrac{1}{4}$，此时$m=-1$，$g(m)$的最小值为$-\dfrac{9}{4}$。【例65】试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）$f(x)=x^2$，$g(x)=3x^3$；（2）$f(x)=\begin{cases}1&x\geqslant0\\-1&x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}x&x\geqslant0\\-x&x<0\end{cases}$；（3）$f(x)=2n+1\cdotx^{2n+1}$，$g(x)=(2n-1)\cdotx^{2n-1}$（$n\in\mathbb{N}^*$）；（4）$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$，$g(x)=x^2+x$；（5）$f(x)=x^2-2x-1$，$g(t)=t^2-2t-1$。答案：（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）是。解析：（1）由于$f(x)$是一个开口向上的抛物线，$g(x)$是一个开口向上的“S”形曲线，所以它们不可能表示同一函数。