高职应用数学 3

应第3章一元函数微分学用数学高职本章内容3高阶导数4隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数5函数的微分及其应用1导数的概念2导数的运算3.1导数的概念01案例分析02导数的概念03求导数举例04用导数表示实际量——变化率模型05函数的可导性与连续性的关系3.1.1案例分析引例自由落体的瞬时速度如图3-1所示是著名的伽利略自由落体实验的场景。如果物体在真空中自由下落，则它的运动方程为图3-1其中g为常量。试求物体在t0时刻的瞬时速度v。我们知道，当物体作匀速直线运动时，它在任意时刻的速度可用公式来计算：分析但这里物体是变速直线运动，上式中的速度只能反映物体在某段时间内的平均速度，而不能精确地描述运动过程中任一时刻的瞬时速度。如图3-2所示，给定时间变量t在t0时的一个增量，则在从时刻t0到这段时间间隔内，物体运动路程的增量为图3-2从而可以求得物体在时间段内的平均速度为显然，当无限变小时，平均速度无限接近于物体在时刻的瞬时速度v。因此，平均速度的极限值就是物体在时刻的瞬时速度v，即可定义可以看到，上述定义与物理学中自由落体的瞬时速度公式是一致的。3.1.2导数的概念定义1设函数在点x0处及其左右近旁有定义，当自变量x在点x0处有增量

时，相应地函数有增量如果当时，与之比的极限

存在，则称函数在点x0处可导，并称此极限值为在点x0处的导数，记作或即（1）令，得导数的定义式还有下列两种形式：（2）令，得若上式的极限不存在，则称函数在点x0不可导（或导数不存在）。定义2如果函数在区间内每一点都可导，则称在区间内可导。这时对任意一个，都有一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新函数，称为函数的导函数，简称导数，即

也可记作3.1.3求导数举例由导数定义可知，求函数的导数可按以下三个步骤进行：（1）求函数增量：；（2）计算比值：；（3）求极限：。例1求函数（c

为常数）的导数。解

因为为常数，所以即例2求函数的导数。解

即也可以证明同理可以推出幂函数的求导公式（

α为任意实数）解

（1）例3求下列函数的导数：（1）； （2）。（2）解

例4求函数的导数。即

同样的方法可以求出同理，根据导数定义，我们可推出如下公式：

.特别地，．．特别地，.

解

例5求下列函数在指定点处的导数：（1）；（2）。（1）（2）3.1.4用导数表示实际量——变化率模型设曲线在点处有切线且斜率存在，求曲线在点处的切线斜率。在曲线上另取一点N，设它的坐标为

，如图3-3所示。案例1切线的斜率图3-3当割线MN上的N点沿着曲线无限接近M点时，割线MN的极限位置称为曲线在M点的切线。设割线MN

的倾角为，切线MT倾角为α，则割线MN斜率为显然当时，即点N将沿着曲线趋近于M点时，割线MN趋近于极限位置MT（即切线MT）。于是得到切线MT的斜率为（1）曲线在点处的切线方程为（2）过切点且与切线垂直的直线称为曲线在点M处的法线。如果，法线斜率为，所以曲线在点

处的法线方程为

由直线的点斜式方程可以得到：解

例6求曲线在点处的切线斜率，并写出该点处的切线方程和法线方程。由导数的几何意义可知，所求的切线斜率为从而所求的切线方程为即所求法线的斜率为于是所求的法线方程为

即由引例可知，若物体的运动方程为，则物体在时刻的瞬时速度为案例2速度、加速度因为加速度（描述速度变化的快慢程度）是速度关于时间的变化率，物体在时刻t的加速度为案例3电流强度电路中电荷的定向移动形成电流，通过导体横截面的电荷量Q与所用时间t之比称为电流强度，简称电流i。已知导体内的电荷随时间变化为

，那么在时间段的平均电流，时刻t的电流。3.1.5函数的可导性与连续性的关系定理如果函数在点x0处可导，则函数一定在点x0处连续。

证明

由于函数在点处可导，所以根据函数的极限与无穷小的关系定理可知其中

，

所以于是当时，有．所以，函数在点处连续．3.1.5函数的可导性与连续性的关系解

例7讨论函数在处连续，但在处不可导。（1）因为函数是初等函数，定义域为，由初等函数在其定义域内每一点都连续的定理，可知函数在处连续。（2）因为显然，当时，导数不存在。从几何图形上可以直观地看到：曲线

在原点O具有垂直于x轴的切线，如图3-4所示。图3-43.2导数的运算01导数的基本公式02导数的四则运算法则03复合函数的求导法则3.2.1导数的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。3.2.2导数的四则运算法则设和在点x处可导，则，在点x处也可导，且有下列法则：（1）；（2）；（3）。（1）解

例1求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）。（2）（3）（4）解

例2设函数，求。即。这是正切函数的导数公式。解

例3设函数，求。用类似的方法，还可以得到下列导数公式：3.2.3复合函数的求导法则如，则复合函数的导数为或或记为本法则可推广到有限次复合的情形：设在点x处可导，函数在对应点u处可导，则复合函数

在x处也可导，并且解

例4设函数，求。是由复合而成的，因此解

例5设函数，求。是由复合而成的，因此解

例6设函数，求。解

例7设函数，求。解

例8设函数，求。3.3高阶导数01高阶导数的定义02高阶导数的计算3.3.1高阶导数的定义定义若函数的导数仍是的可导函数，则称的导数为函数的二阶导数，记作类似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，记为；三阶导数的导数称为函数的四阶导数，记为

阶导数的导数称为函数的n阶导数，记作。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。3.3.1高阶导数的定义解

例1设函数，求。解

例2设函数，求。解

例3设函数，求。解

例4设函数，求。解

例5设函数，求。依次类推，可得解

例6设一物体的运动方程为，求物体在时刻的速度和加速度。物体在任意时刻t处的速度和加速度分别为所以3.4隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数01隐函数的导数02由参数方程确定的函数的导数03对数求导法3.4.1隐函数的导数用解析法表示函数通常有两种不同的方式：一种是由的形式给出的自变量为x的函数y，称为显函数，如等均为显函数；另一种是由方程的形式所确定的自变量为x的函数y，称为隐函数。解

将方程的两边同时对x求导，并注意到y是x的函数，则y2是x的复合函数，利用导数基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，得例1求由方程所确定的隐函数的导数。即解出得解

将方程两边同时对x求导，得例2求由方程所确定的函数y的导数。即解出得由原方程知，当时，。所以

y

在处的导数为由以上两例可以得出求隐函数的导数的方法：求由方程所确定的隐函数y的导数时，将方程的两边同时对自变量x求导，注意到y是x的函数，y的函数则是x的复合函数，利用导数基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，解出，就得到隐函数的导数。解

将方程两边同时对x求导，得由导数的几何意义可知，椭圆在点处的切线斜率和法线斜率分别为例3求椭圆在点处的切线方程和法线方程。切线方程为法线方程为解

方程两端对x求导，得例4设，求。解得解

方程两端对x求导，得例5求由方程所确定的隐函数y

的二阶导数。上式两端同时对x求导，得解得二阶导数为将x代入上式，整理得3.4.2由参数方程确定的函数的导数根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，有解

例6求由参数方程所确定的函数y的导数。因为。所以解

例7求摆线在时曲线上的点的切线方程。点P处的导数为当时，摆线上的点为，因此故摆线在点P处的切线方程为即3.4.3对数求导法对等式两边同时取自然对数，得解

例8求的导数。两边同时对x求导，得所以解

例9求函数的导数。将等式两边取自然对数得将上式两端同时对x求导得于是3.5函数的微分及其应用01微分的概念02微分的几何意义03微分的运算04微分在近似计算中的应用3.5.1微分的概念先看一个例子：如图3-5所示，一块正方形的金属薄片，当受热膨胀后，边长由x0变到。问此薄片的面积A增加了多少？图3-5由于正方形的面积A是边长x0的函数，面积的增量为从图3-5可以看出，当很小时，面积的增量可以用近似表示，其中，所以有一般地，对于函数，当自变量从x0

变到时，函数的增量可表示为第一项中是不依赖的常数，第二项是比高阶的无穷小。因此，当很小时，的近似值表示为称为的线性主部，由此给出微分的定义。通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作dx，即。则函数

在点x0处的微分可写成（或0）定义如果函数在点x0具有导数，则称为在点x0的微分，记作dy，即。当函数在点x0处有微分时，称函数在点x0处可微。一般地，函数在区间内任意点x的微分称为函数的微分，记作dy，即由，得导数也称微商。解

例1求在点时函数y的改变量及微分dy。而，即解

例2设，求dy。3.5.2微分的几何意义如图3-6所示，点和是曲线上邻近的两点。PT为曲线在点P处的切线，其倾斜角为α

。容易得到，这就是说函数在点x0处的微分，在几何上表示曲线在点处切线PT的纵坐标的增量RT。图3-6在图3-6中，表示与dy之差，当很小时，TQ与RT相比是微不足道的，因此，RT可用TQ近似代替。这就是说，当很小时，有

。如图3-6所示，当是曲线上点的纵坐标增量时，dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多，即因此在点P的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即3.5.3微分的运算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。1．微分的基本公式2．函数和、差、积、商的微分法则设u，v都是x的可微函数，C为常数，则（1）；（2）；（3）；（4）。3．微分形式的不变性由微分的定义知，当u是自变量时，函数的微分是如果u不是自变量而是x的可微函数，那么对于复合函数，根据微分的定义和复合函数的求导法则，有其中，所以上式仍可写成由此可见，不论u是自变量还是中间变量，函数的微分总是同一个形式：，此性质称为微分形式的不变性。例3设函数，求dy。解

方法1直接应用微分公式计算，则有方法2把看成中间变量u，则有例4求函数的微分dy。解

3.5.4微分在近似计算中的应用1．计算函数增量的近似值函数微分是函数增量的线性主部，这就是说，当很小时，函数的增量可用其微分来近似代替，即（3-1）当很小时，可得例5半径为10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm，问