高考函数专题复习

高考函数专题复习最值．③导数法：对于可导函数，求导后找出导数为零的点和导数不存在的点，再结合端点情况，即可得到函数的最值和值域．④图像法：根据函数的图像，可以直观地得到函数的值域和最值．⑤利用数学工具：如极值定理、介值定理等，可以得到函数的最值和值域．函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。具体来说，如果对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应就叫做集合A到B的一个函数。函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。需要注意的是，只有定义域相同且对应法则相同的两个函数才是同一函数。区间是数学中常见的概念，它描述了实数的范围。闭区间、开区间、半开半闭区间以及无穷区间都有着特定的表示方法。在求函数的定义域时，需要根据函数的类型采用不同的原则。比如，整式的定义域是全体实数，分式函数的定义域是使分母不为零的实数，对数函数的真数大于零等等。对于含字母参数的函数，求定义域时需要进行分类讨论，并符合实际问题的实际意义。求函数的值域或最值是数学中的常见问题。可以采用观察法、配方法、导数法、图像法以及数学工具等不同的方法来解决。其中，对于可导函数，可以通过求导后找出导数为零的点和导数不存在的点，再结合端点情况，得到函数的最值和值域。1.函数的单调性在定义域内，如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)），则称函数f(x)在这个区间上是单调不增（或单调不减）的。如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)>f(x2)（或f(x1)<f(x2)），则称函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。如果在一个区间上既有单调递增又有单调递减，则称函数在这个区间上不单调。②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。③对于复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，若y=f(u)为增，u=g(x)为增，则y=f[g(x)]为增；若y=f(u)为减，u=g(x)为减，则y=f[g(x)]为增；若y=f(u)为增，u=g(x)为减，则y=f[g(x)]为减；若y=f(u)为减，u=g(x)为增，则y=f[g(x)]为减。2.打“√”函数f(x)=x+(a>0)的图像与性质“√”函数f(x)=x+(a>0)的图像如下：图像上的点(x,y)满足y=x+(a>0)且x≥-a。3.最大（小）值定义①一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x∈I，使得f(x)=M。那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作f_max(x)=M。②一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（2）存在x∈I，使得f(x)=m。那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f_min(x)=m。4.函数的奇偶性①定义及判定方法如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。②若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0。③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反。在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。函数的图像是研究函数性质的重要工具。作图可以利用描点法或基本函数图像的变换。变换包括平移、伸缩和对称变换。对于给定函数的图像，可以识别函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质。函数图像可以形象地显示函数的性质，为解决问题提供直观的思路。求函数的值域有多种方法。其中，配方法适用于二次函数型的函数，而基本函数法适用于由基本函数复合而成的函数。例如，对于函数$y=-\sin^2x-2\cosx+4$，可以用配方法变为$y=-\sin^2x-2\cosx+4=(\cosx-1)^2+2$来求解。另外，可以利用基本函数的值域来求解，例如函数$y=\log_1(-x^2+2x+3)$可以利用函数$y=\log_1u$和$u=-x^2+2x+3$的值域来求解。删除了明显有问题的段落。对于其他段落，进行了小幅度的改写，使得表达更加清晰。不是同一函数.（3）由于f(x)2n1x2n1(2n1x)2n1，它们的值域及对应法则相同，所以它们表示同一函数.（4）由于f(x)x1x2x，它的定义域为(,1)(1,0)(0,)，而g(x)x2x的定义域为R，所以它们不是同一函数.（5）由于f(x)x2x1，它的定义域为R\{1,2}，而g(t)t2t1的定义域为R\{1}，所以它们不是同一函数.考点二：函数的单调性[例2]已知函数f(x)2x39x212x5，判断它在定义域上的单调性，并求其极值.[解题思路]要判断函数的单调性，需要求出函数的导数，并根据导数的正负来判断函数的单调性.[解析]函数f(x)的导数为f(x)6x218x12，令f(x)0，解得x11，x22，x3，所以f(x)在x1，x2，x3处取得极值.当x1时，f(x)0，所以f(x)在(,1)上是单调递减的；当1x2时，f(x)0，所以f(x)在(1,2)上是单调递增的；当x2时，f(x)0，所以f(x)在(2,)上是单调递减的.所以f(x)在定义域上的单调性为：(,1]单调递减，[1,2]单调递增，[2,)单调递减.当x1时，f(x)取得最小值f(1)8；当x2时，f(x)取得最大值f(2)9.考点三：函数的奇偶性[例3]已知函数f(x)x32x，判断它的奇偶性，并画出函数的图象.[解题思路]要判断函数的奇偶性，需要判断函数在定义域上是否满足f(x)f(x)，并根据奇偶性来画出函数的图象.[解析]将x32x写成x(x22)，则有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数.函数的图象关于原点对称，且在第一象限和第三象限上单调递增，在第二象限和第四象限上单调递减，图象经过原点，如下图所示：【名师指引】在理解映射的概念时，需要注意以下几点：（1）集合A、B及对应法则f是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应；（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的象；（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（5）集合B中的每一个元素在集合A中不一定都有原象。函数的表示方法考点1：用图像法表示函数[例1]一水池有2个进水口和1个出水口，进出水的速度如图甲、乙所示。某天从点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。给出以下3个论断：（1）点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水。哪个论断不正确？[解题思路]根据题意和图象，对三个论断进行确认即可。[解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。因此，不正确的论断是（2）。【名师指引】在用图像法表示函数时，需要熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。考点2：用列表法表示函数[例2]已知函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x123f(x)131g(x)321则f[g(1)]的值为1，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是6。[解题思路]根据表中的对应关系解决问题。[解析]由表中对应值知f[g(1)]=f(3)=1；当x=1时，f[g(1)]=1，g[f(1)]=g(1)=3，不满足条件；当x=2时，f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1，满足条件；当x=3时，f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3，不满足条件。因此，满足条件的x的值是2。满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是x=2。【名师指引】解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。本题中，可以先列出f(x)和g(x)的表格，然后求出f[g(x)]和g[f(x)]的值，最后找到满足条件的x值。题型1：由复合函数的解析式求原函数的解析式已知f(x)=(1+x)/(1-x)，则f(x)的解析式可取为1-x/(1+x)。[解题思路]这是复合函数的解析式求原函数的解析式，应该首选换元法。[解析]令t=1-x/(1+x)，则x=(1-t)/(1+t)，代入f(x)得f(t)=(1+(1-t)/(1+t))/t=(2t)/(1-t)，再令t=x，即可得到f(x)的解析式为1-x/(1+x)。【名师指引】求函数解析式的常用方法有：①换元法（注意新元的取值范围）；②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等）。题型2：求二次函数的解析式次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。⑴求f(x)的解析式；⑵在区间[-1,1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的范围。[解题思路]（1）由于已知f(x)是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数学表示形式，可得求2x+m<f(x)对于x∈[-1,1]恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。[解析]⑴设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b，与已知条件比较得：a=1，b=-1，c=1，故f(x)=x^2-x+1。⑵由题意得：x^2-x+1>2x+m，即m≤x^2-3x+1对x∈[-1,1]，易得m<-1/2。【名师指引】如果已知函数的类型，待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。题型1：根据分段函数的图像写解析式为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y与时间t的函数关系式为y=1/(16-a*t)，其中a为常数，当t≤16/a时，药物还在释放；当t>16/a时，药物释放完毕，y不再变化。根据提供的信息，回答下列问题。[解题思路]根据题意，将函数分为两段，分别求解即可。[解析]当0≤t≤16/a时，y=1/(16-a*t)；当t>16/a时，y=1/(16-a*16/a)=1/16。故函数的解析式为：y={1/(16-a*t)(0≤t≤16/a)1/16(t>16/a)}。【名师指引】分段函数的解析式需要根据题目中给出的条件来确定。需要注意的是，分段函数在每个区间内都要满足函数的性质。[例1]设$k\inR$，函数$f(x)=\begin{cases}1,&x<1\\1-x,&x\geq1\end{cases}$，试讨论函数$F(x)=f(x)-kx$的单调性。[解题思路]由于$f(x)$是分段函数，需要分段处理。由于每一段都是基本初等函数的复合函数，可以用导数来研究函数的单调性。[解析]当$x<1$时，$1-x>0$，$F'(x)=-k$；当$x\geq1$时，$F'(x)=-1-k$。因此，当$k>0$时，$F'(x)<0$，$F(x)$在整个定义域上是单调递减的；当$k=0$时，$F'(x)=-1<0$，$F(x)$在整个定义域上是单调递减的；当$k<0$时，$F'(x)>0$，$F(x)$在整个定义域上是单调递增的。1）·f（x1）＞f（x1）.即f（x2）＞f（x1），故f（x）是R上的增函数.（4）解：由已知，f（x）·f（2x－x2）＞1，即f（x）＞1/f（2x－x2）.又f（x）＞1，∴1/f（2x－x2）＜1.即f（2x－x2）＞1.由f（a+b）=f（a）·f（b），令a=b=x，则f（2x）=f2（x）＞0.∴2x－x2＞0，即x2－2x＜0，解得0＜x＜2.综上所述，x的取值范围为0＜x＜2.(1)由题可知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]，因为f(x)是R上的增函数，所以f(x2)>f(x1)，即f(x)是R上的增函数。(4)已知f(x)·f(2x-x2)>1，且f(x)=1，求f(3x-x2)的取值范围。因为f(x)是R上的增函数，所以f(3x-x2)>f(x)，即3x-x2>0，解得x<3。(3)当a=2时，求函数f(x)=(x2+2x+a)/x的最小值。将f(x)化简得f(x)=x+2+a/x，因为x∈[1,+∞)，所以f(x)是R上的增函数，所以f(x)的最小值为f(1)=3。(4)已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x，且对任意x∈[1,+∞)，f(x)>0，求实数a的取值范围。因为f(x)>0，所以x2+2x+a>0，即a>-x2-2x，因为x∈[1,+∞)，所以a>-3。题目1：判断函数的奇偶性（1）函数f(x)=|x+1|-|x-1|的定义域为x∈（-∞，+∞），对称于原点。由函数的定义可得：f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|因此，f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。（2）函数f(x)=(x-1)·(1+x)/(1-x)的定义域为x∈(-∞,1)∪(1,+∞)，不对称于原点。因此，函数f(x)不是奇函数。（3）函数f(x)=x(1-x)/(1-x^2)的定义域为x∈(-1,1)，对称于原点。因为f(-x)=-x(1-(-x))/[1-(-x)^2]=x(1+x)/[1+x^2]=f(x)，所以函数f(x)是偶函数。（4）函数f(x)=|x+2|-2/(x(1+x))的定义域为x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)，不对称于原点。因此，函数f(x)不是奇函数。题目2：求函数的最值已知a为实数，函数f(x)=(x^2+1)(x+a)，若f'(-1)=2/3，求函数y=f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值。解题思路：求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。解析：由f(x)=x^3+(a+1)x^2+(a-1)x+a，得f'(-1)=3(-1)^2+2(a+1)(-1)+(a-1)=2/3解得a=2/3又因为f'(x)=3x^2+4x+2a，所以f'(x)=0的解为x1=(-2+√2-2a)/3，x2=(-2-√2-2a)/3由f'(x)=3(x+1/2)^2+2a-9/4，可知f'(x)>0时，x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)，f'(x)<0时，x∈(x1,x2)因此，f(x)在区间[-1,x1]和[x2,1]内单调递减，而在[x1,x2]内单调递增，且f(x)的极大值为f(-1)=2，极小值为f(x1)=(-2+2√2/3)^3+(2+2√2/3)^2+1≈-1.228又f(1)=2a+2，f(x1)<f(1)，所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=2a+2=8/3，最小值为f(x1)≈-1.228。（2）首先确定函数的定义域为$-1\leqx<1$，由此可以得知函数关于原点不对称，因此既不是奇函数也不是偶函数。（3）去掉绝对值符号后，根据定义可以得到$1-x^2\geq0$，解得$-1\leqx\leq1$，且$x\neq-2$且$x\neq2$。因此函数的定义域为$[-1,2)\cup(-2,1]$，关于原点对称，且$x+2>0$。（4）由于函数的定义域为$(-\infty,\infty)$，当$x>0$时，$-x<0$，因此$f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)$。当$x<0$时，$-x>0$，因此$f(-x)=-x(1-x)=-f(x)$。因此函数$f(x)$为奇函数。【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性是函数为奇函数或偶函数的必要条件。对于抽象函数的奇偶性问题，需要巧妙地进行“赋值”来解决。在判断函数奇偶性时，应先求出函数的定义域，再化简函数解析式。任意实数x成立，且f(0)>0。证明：（1）f(x)在(0,2)上单调递减；（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增；（3）f(x)在(-2,0)上单调递增；（4）f(x)在(-∞,0)上单调递减。[解析]（1）设0<x1<x2<2，则2<x22<x12<4，∴f(x2)f(x12)>1，∴f(x2)>f