2021年中考数学复习讲座3：开放性问题(含详细参考答案)

2021年中考数学复习专题讲座三：开放性问题

一、中考专题诠释

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定

不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、

探索能力以及思维的发散性，但难度适中.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放

型、方法开放型和编制开放型等四类.

二、解题策略与解法精讲

解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格

证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，

构建数学模型等。

三、中考考点精讲

考点一：条件开放型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放

问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向

追索，逐步探求.

例1（2020•义乌市）如图，在AABC中，点D是BC的中点，作射线AD,在线段AD

及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDFgZXCDE,并加以

证明.你添加的条件是_____________________________________.（不添加辅助线）.

考点：全等三角形的判定。810360

专题：开放型。

分析：由已知可证NECD=ZFBD,又NEDC=ZFDB,因为三角形全等条件中必须是三个

元素，并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是：DE=DF（或CE〃BF或/ECD=/DBF

或NDEC=NDFB等）；

解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE〃BF或NECD=/DBF或/DEC=/DFB等）.

（2）证明：在4BDF和4CDE中

'BDXD

••••ZEDC=ZFDB

DE=DF

,,.△BDF^ACDE.

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三

角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看

缺什么条件，再去证什么条件.

考点二：结论开放型:

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样

性，这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，

进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出

取舍.

例2（2020•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB〃CD,AB=CD,AF=DE.问：

线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明.

考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质：平行线的判定与性质。810360

专题：探究型。

分析：CE和BF的关系是CE=BF（数量关系），CE〃BF（位置关系），理由是根据平行线

性质求出/A=/D,根据SAS证4ABF丝Z^DCE,推出CE=BF,NAFB=/DEC即可.

解答：CE和BF的数量关系是CE=BF,位置关系是CE〃BF,

证明：：AB〃CD,

/.ZA=ZD,

♦.•在ZXABF和4DCE中

'AB=CD

,ZA=ZD»

AF=DE

/.△ABF^ADCE,

，CE=BF,NAFB=NDEC,

，CE〃BF,

即CE和BF的数量关系是CE=BF,位置关系是CE/7BF.

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，主要考查学生运用性

质进行推理的能力.

考点三：条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察

与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角

度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.

例3（2020•广元）如图，在AAEC和△DFB中，/E=/F,点A、B、C、D在同一直

线上，有如下三个关系式：①AE〃DF,②AB=CD,③CE=BF.

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号

写出命题书写形式：“如果…，那么…”）

（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由.

E

考点：全等三角形的判定与性质。810360

专题：开放型。

分析：(1)如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，

②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；

(2)若选择(1)中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得

到一对角相等，再由AB=DC,等式左右两边都加上BC,得至UAC=DB,又NE=NF,利用AAS

即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF,得证;

若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，

再由/E=NF,CE=BF,利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形

的对应边相等可得出AC=BD,等式左右两边都减去BC,得至ljAB=CD,得证.

解答：解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②；

(2)若选择如果①②，那么③，

证明：：AE〃DF,

AZA=ZD,

VAB=CD,

；.AB+BC=BC+CD,即AC=DB,

在4ACE和aDBE中，

'NE二NF

<NA=ND，

AC=DB

.,.△ACE^ADBF(AAS),

，CE=BF；

若选择如果①③，那么②，

证明：；AE〃DF,

.,.ZA=ZD,

在4ACE和4DBF中，

，ZE=ZF

<ZA=ZD'

EC=FB

.,.△ACE^ADBF(AAS),

，AC=DB,

；.AC-BC=DB-BC,即AB=CD.

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟

练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

考点四：编制开放型：

此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我

们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性.

例4（2020•南京）看图说故事.

请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求:

①指出变量x和y的含义；

②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量.

考点：函数的图象。

专题：开放型。

分析：①结合实际意义得到变量x和y的含义；

②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可.

解答：解：本题答案不唯一，下列解法供参考.

①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）

的关系.

②小明以400m/min的速度匀速骑了5min,在原地休息了6min,然后以500m/min的速度匀速

骑车回出发地.

点评：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，

写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确,

如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范..

四、中考真题演练

一、填空题

1.（2020•娄底）写出一个x的值，使|x-l|=x-1成立，你写出的x的值是.

考点：绝对值。

专题：开放型。

分析：根据非负数的绝对值等于它本身，那么可得x-1K）,解得疟1,故答案是2（答案不

唯一）.

解答：解：：|x-l|=x-1成立，

Ax-1>0,

解得x>l,

故答案是2（答案不唯一）.

点评：本题考查了绝对值，解题的关键是知道负数的绝对值等于其相反数，非负数的绝对

值等于它本身.

2.（2020•宁波）写出一个比4小的正无理数.

考点：实数大小比较。

专题：开放型。

分析：根据实数的大小比较法则计算即可.

解答：解：此题答案不唯一，举例如：&、兀等.

故答案为：兀（答案不唯一）.

点评：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是理解正无理数这一概念.

3.（2020•连云港）写一个比百大的整数是.

考点：实数大小比较；估算无理数的大小。

专题：开放型。

分析：先估算出右的大小，再找出符合条件的整数即可.

解答：解：

.♦•符合条件的数可以是：2（答案不唯一）.

故答案为：2（答案不唯一）._

点评：本题考查的是实数的大小比较，根据题意估算出右的大小是解答此题的关键.

4.（2020•天津）将正比例函数y=-6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式

可以是（写出一个即可）.

考点：一次函数图象上点的坐标特征。810360

专题：开放型。

分析：根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可.

解答：解："上加下减''的原则可知该函数的解析式可以是：y=-6x+l（答案不唯一）.

故答案为：y=-6x+l（答案不唯一）.

点评：本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条

件下，b的正负决定平移的方向.

5.（2020•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：

考点：实数范围内分解因式.

专题：开放型。

分析：显然答案不唯一.只需符合平方差公式的应用特征即可.

解答：解：答案不唯一，如

x2-3

=x2-（灰）2

=（x+«）（X-«）.

故可填x2-3.

点评：此题考查在实数范围内分解因式，属开放型试题，比较简单.

x=2

6.（2020•湛江）请写出一个二元一次方程组.,使它的解是

y=-1

考点：二元一次方程组的解。

专题：开放型。

分析：根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2,y=-l列一组算式，然

后用x,y代换即可列不同的方程组.答案不唯一，符合题意即可.

解答：解：此题答案不唯一，如：[X+y=1，

x-y=3

'x+y=l①

,x-尸3②

①+②得：2x=4,

解得:x=2,

将x=2代入①得：y=-1,

.♦.-个二元-次方程组付尸1的解为：（x=2.

x_y=3[y=~1

故答案为：此题答案不唯一，如：Jx+y=1.

x-y=3

点评：本题主要考查了二元一次方程组的解的定义.此题属于开放题，注意正确理解定义

是解题的关键.

7.（2020•镇江）写出一个你喜欢的实数k的值，使得反比例函数y='二的图象在

x

每一个象限内，y随x的增大而增大.

考点：反比例函数的性质。810360

专题：开放型.

分析：根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内

找出一个符合条件的k的值即可.

解答：解：•..反比例函数y=E二的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，

x

Ak-2<0,解得k<2.

...k可以为：1（答案不唯一）.

故答案为：1（答案不唯一）.

点评：本题考查的是反比例函数的性质，根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范

围是解答此题的关键.

8.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6

的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即

可）.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：开放型。

分析：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足-2x2-6x-k=0,△<（）

即可.

解答：解：设反比例函数的解析式为：y=K

X

（y=-2x+6

•••一次函数y=-2x+6与反比例函数y=上图象无公共点，则k,

xy=­

x

/.-2x2-6x-k=0,

即△二（-6）2-8k<0

解得k>2

2

则这个反比例函数的表达式是y=?；

X

故答案为：

x

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解题的关键是：两个函数在同一直

角坐标系中的图象无公共点，其k要满足-2x2-6x-k=0,A<0.

9.（2020•广西）请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析

式是.

考点：反比例函数的性质。810360

专题：开放型。

分析：根据反比例函数y=*（20）的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数k为

x

负数，据此即可写出函数解析式.

解答：解：由于反比例函数图象经过二、四象限，

所以比例系数为负数，

故解析式可以为y=-工（答案不唯一）.

X

故答案为：y=-3（答案不唯一）.

X

k

点评：本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数y=-（k翔），（1）k>0,反比例函

x

数图象在一、三象限；（2）k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

10.（2020•赤峰）存在两个变量x与y,y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经

过（1,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是（写出

一个即可）.

考点：反比例函数的性质。

专题：开放型。

分析：设此函数的解析式为y=X（k>0）,再把（1,1）代入求出k的值即可.

X

解答：解：设此函数的解析式为y=X（k>0）,

X

•・,此函数经过点（1,1）,

k=l,

答案可以为：y=」（答案不唯一）.

X

故答案为：y=l（答案不唯一）.

x

点评：本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一.

11.（2020•三明）如图，在AABC中，D是BC边上的中点，ZBDE-ZCDF,请你添加一个

条件，使DE=DF成立.你添加的条件是.（不再添加辅助线和字母）

考点：全等三角形的判定与性质。

专题：开放型。

分析：答案不唯一根据AB=AC,推出NB=NC,根据ASA证出ABED和4CFD全等即可；

添力口/BED=/CDF,根据AAS即可推出4BED和4CFD全等；根据/AED=NAFD推出

ZB=ZC,根据ASA证△BED^^CFD即可.

解答：解：答案不唯一，如AB=AC或/B=NC或/BED=/CFD,或/AED=/AFD等；

理由是：①•；AB=AC,

.\ZB=ZC,

根据ASA证出△BEDg/\CFD,即可得出DE=DF；

②由NB=/C,ZBDE=ZCDF,BD=DC,根据ASA证出ABED丝Z\CFD,即可得出DE=DF；

③由NBED=NCFD,/BDE=NCDF,BD=DC,根据AAS证出ABED岭ZXCFD,即可得出

DE=DF；

@VZAED=ZAFD,ZAED=ZB+ZBDE,ZAFD=ZC+ZCDF,

又：NBDE=/CDF,

.*.ZB=ZC,

即由NB=NC,/BDE=/CDF,BD=DC,根据ASA证出△BED^^CFD,即可得出DE=DF；

故答案为：答案不唯一，如AB=AC或NB=NC或NBED=/CFD或NAED=NAFD.

点评：本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

12.（2020•盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC,AB=DC.在不添加任何辅助线

的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是.（填上你认为

正确的一个答案即可）

考点：矩形的判定；平行四边形的判定。810360

专题：证明题；开放型。

分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答

案.

解答：解：添加的条件是NA=90。，

理由是：VAB^DC,AB=DC,

二四边形ABCD是平行四边形，

VZA=90°,

,平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：ZA=90°.

点评：本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推

理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目.

13.（2020•佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD±,请添加

一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）.

考点：平行四边形的判定与性质。810360

专题：开放型。

分析：根据平行四边形性质得出AD〃BC,得出AF〃CE,根据有一组对边相等且平行的四

边形是平行四边形推出即可.

解答：解：添加的条件是AF=CE.理由是：

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

；.AF〃CE,

VAF=CE,

二四边形AECF是平行四边形.

故答案为：AF=CE.

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能

力，本题题型较好，是一道开放性的题目，答案不唯一.

15.（2020•郴州）如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE,要使△ADEsaACB,

还需添加一个条件（只需写一个）.

考点：相似三角形的判定。810360

分析：由/A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加NADE=/C

或/AED=/B；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D可以

添力口AD：AC=AE：AB或AD・AB=AE・AC,继而求得答案.

解答：解：是公共角，

.•.当NADE=NC或NAED=/B时，AADE-AACB（有两角对应相等的三角形相似），

当AD：AC=AE：AB或AD・AB=AE・AC时，AADE^AACB（两组对应边的比相等且夹角

对应相等的两个三角形相似），

，要使△ADES/\ACB,还需添加一个条件：答案不唯一，如NADE=NC或NAED=NB或

AD：AC=AE：AB或AD・AB=AE・AC等.

故答案为：此题答案不唯一，如/ADE=/（:或/AED=/B或AD：AC=AE：AB或

AD・AB=AE・AC等.

点评：此题考查了相似三角形的判定.此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应

相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用.

三、解答题

16.（2020•张家界）先化简：空二2.乌_+1，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果.

a2-4a+2L

考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即

可.

解答：解：原式=,2'a：2)x亘出+]

(a+2)(a-2)2a

J+l

a

*.*ar0,a抖2,

・・.a可以等于1,

当a=l时，原式=1+1=2.

点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a不能取0、2、-2.

17.(2020•新疆)先化简(二+一—,然后从-2SXS2的范围内选择一个合

x-lx+12x2-2

适的整数作为x的值代入求值.

考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：将原式被除式的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母提取2并利

用平方差公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运

算，约分后得到最简结果，然后从已知解集中找出整数解为-1,-2,I,2,0,但是当x=

-1,1,0时原式没有意义，故x取2或-2,将x

=2或-2代入化简后的式子中，即可求出原式的值.

解答：解：(——)-T-----------

x-1x+12x2-2

x+1-x+1+x

(x+1)(x-1)2(x+1)(x-1)

=_______2.2(x+1)(x-1)

(x+1)~(x-1)x-

—,4—,

X

由解集-2WXW2中的整数解为：-2,-1,0,1,2,

当x=l,-1,0时，原式没有意义；

若x=2时，原式二曳2；若x=-2时，原式=—±=-2.

2-2

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公

分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，本题x的值不能取-1,1,0,

做题时要注意.

18.（2020•吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a,b两

情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里,于是返回了家里找到了作业本再去学校;

情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.

（1）情境a,b所对应的函数图象分别是、（填写序号）;

（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.

考点：函数的图象。

专题：推理填空题；开放型。

分析：（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；

（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案.

解答：解：（1）•.•情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，

发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0,此时

②③都符合，

又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，

..•只有③符合情境a；

•••情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越

远，且没有停留，

,只有①符合，

故答案为：③，①.

（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家.

点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思

想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目.

19.（2020•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF,

连接AE、CF.请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明.

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：探究型。

分析：由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB〃CD,AB=CD,然后利用平行线的性质,

求得NABE=NCDF,又由BE=DF,即可证得4ABE丝ACDF,继而可得AE=CF.

解答：解：猜想：AE=CF.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AB=CD,

/.ZABE=ZCDF,

在4ABE和4CDF中，

'AB=CD

-ZABE=ZCDF>

BE=DF

.,.△ABE^ACDF(SAS),

/.AE=CF.

点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌

握平行四边形的对边平行且相等，注意数形结合思想的应用.

20.(2020•佳木斯)在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是对角线AC上一点，F是线段BC延

长线上一点，且CF=AE,连接BE、EF.

(1)若E是线段AC的中点，如图1,易证：BE=EF(不需证明)；

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3,线段BE、

EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.

4---------------

A------rDA------DAiD

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。810360

专题：综合题。

分析：(1)根据菱形的性质结合NABC=60。可得4ABC是等边三角形，再根据等腰三角形

三线合一的性质可得/CBE=」/ABC=30。，AE=CE,所以CE=CF,然后等边对等角的性质可

得/F=/CEF,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NF=30。，从而得

到NCBE=NF,根据等角对等边的性质即可证明；

(2)图2,过点E作EG〃BC,交AB于点G,根据菱形的性质结合/ABC=60。可得4ABC

是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC,ZACB=60°,再求出AAGE是等边

三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE,从而可以求出BG=CE,再根据等角的补角相

等求出NBGE=/ECF=120。，然后利用“边角边”证明ABGE和4ECF全等，根据全等三角形

对应边相等即可得证；

图3,证明思路与方法与图2完全相同.

解答：证明：(1)•四边形ABCD为菱形，

，AB=BC,

又；NABC=60°,

/.△ABC是等边三角形,

：E是线段AC的中点，

/.ZCBE=1ZABC=3O°,AE=CE,

2

VAE=CF,

；.CE=CF,

.,.ZF=ZCEF,

NF+NCEF=NACB=60。，

.,./F=30°,

.,.ZCBE=ZF,

/.BE=EF；

（2）图2：BE=EF....（1分）

图3：BE=EF....（1分）

图2证明如下：过点E作EG〃BC,交AB于点G,

♦.•四边形ABCD为菱形，

；.AB=BC,

又,.•NABC=60。，

/.△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,NACB=60。，…（1分）

又•.，EG〃BC,

.,.ZAGE=ZABC=60°,

又•.•/BAC=60。，

.二△AGE是等边三角形，…（1分）

，AG=AE,

，BG=CE,...（1分）

又：CF=AE,

；.GE=CF,

XVZBGE=ZECF=120°,

/.△BGE^AECF（SAS）,…（2分）

，BE=EF；…（1分）

图3证明如下：过点E作EG〃BC交AB延长线于点G,

•••四边形ABCD为菱形，

，AB=BC,

又；NABC=60。，

•:△ABC是等边三角形，

.,.AB=ACZACB=60°,...（1分）

又；EG〃BC,

.,.ZAGE=ZABC=60°,

又；NBAC=60。，

.••△AGE是等边三角形，…（1分）

，AG=AE,

，BG=CE,...(1分)

又：CF=AE,

，GE=CF,

又,:ZBGE=ZECF=60°,

.,.△BGE^AECF(SAS)

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作

出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键.

21.（2020•朝阳）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的

延长线于F点，AB=BF,请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边

形ABCD为平行四边形，请证明.你添加的条件是.

考点：平行四边形的判定：全等三角形的判定与性质。810360

分析：由题目的已知条件可知添加NF=NCDE,即可证明aDEC咨△FEB,从而进一步证明

DC=BF=AB,且DC〃AB,进而证明四边形ABCD为平行四边形.

解答：解：条件是：ZF=ZCDE,

理由如下：

VZF=ZCDE

，CD〃AF

在4DEC与4FEB中，

"ZDCE=ZEBF

<CE=BE，

ZCED=ZBEF

.,.△DEC^AFEB

，DC=BF,NC=NEBF

.♦.AB〃DC

VAB=BF

，DC=AB

，四边形ABCD为平行四边形

故答案为：NF=NCDE.

点评：本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定

方法是解题的关键.

22.（2020•柳州）右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式:

£1

y=x+7,y=x-5,y=--,y=—x-1

x3

x...-6-534

y...11.2-2-1.5...

（1）从所给出的儿个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：;

（2）请说明你选择这个函数表达式的理由.

考点：反比例函数的性质；函数关系式；一次函数的性质。810360

专题：探究型。

分析：（1）根据表中列出的x与y的对应关系判断出各点所在的象限，再根据所给的几个

函数关系式即可得出结论；

（2）根据（1）中的判断写出理由即可.

解答：解：（1）•••由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，

，所给出的几个式子中只有y=-3符合条件，

X

故答案为：y=-图；

X

（2）,・,由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，

・・・此函数图象在二、四象限，

Vxy=（-6）xl=（-5）xl.2=-6,

，所给出的几个式子中只有y=-3符合条件.

x

点评：本题考查的是反比例函数的性质及一次函数的性质，先根据表中xy的对应值判断出

函数图象所在的象限是解答此题的关键.

23.（2020•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在

同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE,②BF=EC,③NB=/E,@Z1=Z2.

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，

组成一个真命题，并给予证明.

题设：；结论：.（均填写序号）

证明：

考点：全等三角形的判定与性质；命题与定理。810360

分析：此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证

明△ABCgADEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABCgZ\DEF；

情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明AABC丝ADEF,再根据全等三角形

的性质可推出结论.

解答：情况一：题设：①②③；结论：④.

证明：：BF=EC,

.♦.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF.

在AABC和4DEF中，

'AB=DE

，ZB=ZE>

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS),

/.Z1=Z2；

情况二：题设：①③④；结论：②.

证明：在AABC和4DEF中，

'AB=DE

,•,<NB=NE，

Z1=Z2

.,.△ABC^ADEF(AAS),

，BC=EF,

ABC-FC=EF-FC,

即BF=EC；

情况三：题设：②③④：结论：①.

证明：：BF=EC,

，BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在AABC和4DEF中，

，ZB=ZE

<BC=EF，

Z1=Z2

.,.△ABC^ADEF(ASA),

，AB=DE.

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强

的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答.

25.（2020•南平）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上,

连接AE、CF,请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平

行四边形，并予以证明，

备选条件：AE=CF,BE=DF,ZAEB=ZCFD,

我选择添加的条件是：.

（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证

明）

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。810360

专题：证明题。

分析：根据平行四边形性质得出AD〃BC,AD=BC,求出AF〃CE,AF=CE,根据平行四

边形的判定推出即可.

解答：解：添加的条件是BE=DF.证明如下：

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

VBE=DF,

，AF=CE,

即AF=CE,AF〃CE,

四边形AECF是平行四边形，

故答案为：BE=DF.

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，

同时也培养了学生的分析问题和解决问题的能力.

26.（2020・南平）如图,在4八8（2中，点口、£分别在边阮、人（：上,连接人。、口£,且/1=/8=/（2.

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中

添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一：;

结论二：;

结论三：.

（2）若NB=45。，BC=2,当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若AADE是等腰三角形，求此时BD的长.

（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（I）中得出的结论，须加以证明）

考点：相似形综合题。810360

专题：综合题。

分析，：（1）由NB=NC,根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由Nl=/C,

NAED=/EDC+/C得至Ij/AED=/ADC；又由/DAE=/CAD,根据相似三角形的判定可得

到△ADEs/XACD；

（2）①由NB=NC,NB=45。可得aACB为等腰直角三角形，贝ijAC=YiBC=Y^x2=点,由

22

Z1=ZC,/DAE=/CAD,根据相似三角形的判定可得△ADEsaACD,则有AD：AC=AE：

AD,即AD2=AE«AC,

AE=£5连舞2返AD?,当AD_LBC,AD最小，且AD=1BC=1,此时AE最小为选，利用

AC72222

CE=AC-AE得至I」CE的最大值；

②讨论：当AD=AE时，则N1=/AED=45。，得到/DAE=90。，则点D与B重合，不合题意

舍去；当EA=ED时，如图1,则NEAD=N1=45。，所以有AD平分NBAC,得到AD垂直平

分BC,则BD=1；_

当DA=DE时，如图2,由△ADEsaACD,易得4CAD为等腰三角形，则DC=CA=我，于

是有BD=BC-DC=2-V2.

解答：解：（1）AB=AC；ZAED=ZADC；AADE^AACD；

(2)©VZB=ZC,ZB=45°,

AAACB为等腰直角三角形，

AC=^BC="2=«,

22

VZl=ZC,NDAE=NCAD,

.,.△ADE^AACD,

AAD：AC=AE：AD,BPAD2=AE«AC,

，AE噌嗡哼A。2,

当AD最小时，AE最小，此时AD_LBC,AD=1BC=1,

2

.♦.AE的最小值为返xl2=，Z

22

ACE的最大值=圾-退=返；

22

②当AD=AE时，

.,.Z1=ZAED=45°,

ZDAE=90°,

...点D与B重合，不合题意舍去；

当EA=ED时，如图1,

...NEAD=/1=45°,

AAD平分NBAC,

AAD垂直平分BC,

；.BD=1；

当DA=DE时，如图2,

VAADE^AACD,

ADA：AC=DE：DC,

DC=CA=V2>

；.BD=BC-DC=2-我，

.•.当4ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2-圾.

点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形

的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题.

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意.

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的

式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是

否符合实际，检验后写出答案.

2.和差倍分问题：增长量=原有量义增长率现在量=

原有量+增长量

3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式V=底面积X高=S•h=»Nh

②长方体的体积V=长X宽X高=2血

4.数字问题

一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可

表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

5.市场经济问题

(1)商品利润=商品售价一商品成本价(2)商品利润率=给曾缥

商品成本价

X100%

(3)商品销售额=商品销售价X商品销售量

(4)商品的销售利润=(销售价一成本价)义销售量

(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8

折出售，即按原标价的80%出售.

6.行程问题：路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路程

个时间

（1）相遇问题：快行距十慢行距=原距

（2）追及问题：快行距一慢行距=原距

（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速

度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速

度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑

相等关系.

7.工程问题：工作量=工作效率X工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

8.储蓄问题

利润=每个期的利息义100%利息=本金X利率X期数

本金

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那

么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3

小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲，乙速度分别为x,y千米/时，依题意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用

20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万

元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选

一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.

解：

设甲、乙两公司每周完成工程的X和y,则

1L-1

1X---------.[

/+7-6得.10故=(周)=周

44z+H9y=11y=—I1015

(I15

即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周

又设需付甲、乙每周的工钱分别为0元，b万元则

3

‘6a+6”5.2得此时（叽=6]乎）

4a+9b-4.8,_4[15b=4（万兀）

15

比较知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

【变式1](2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共

获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李

大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如

下表：

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存

了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，

这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率

为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存

款各存入了多少元？

W：设X为第•种存款的方式，丫第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500«

答：略。

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两

个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批

完整的盒子？

解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110张做盒身，80张做盒底

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,

每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母,

才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解:设生产螺栓的工人为x人,生产螺里的工人为y