2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题：三角形的动点问题（含答案）

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题

1.如图，在Rt△ABC中，NC=90°,AC=6,AB=10,点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的

速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB

以每秒2个单位的速度向终点B运动.当点Q到达终点时，点P也停止运动.以PQ为斜边作等腰直角

三角形PQM,使点M与点C在PQ的同侧.设P、Q两点的运动时间为t秒(t>0).

(1)用含t的代数式表示线段BQ的长.

(2)当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值.

(3)当NAQM为锐角时，求t的取值范围.

(4)当点乂与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值.

2.如图，在AABC中，ZC=90°,且BC,AC,AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M,N(点M

在BN之间)，使BM=3AN.点D,E分别是边AC,BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速

运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N.记QN=x,PD=y,当Q为AB中点

时，y=2.

(1)求BC,AC,AB的长.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)①连结PQ,当PQ所在直线与aABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过

点P作PH_LAB于点H,当△PQH为等腰三角形时，求x的值.

3.如图，在Rt△ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的

速度沿AC-CB-BA方向绕行AABC一周，动直线1从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平

移，分别交AB、BC于D、E两点.当点P运动到点A时，直线1也停止运动.

C|£0

(1)求点P到AB的最大距离；

(2)当点P在AC上运动时，

①求tan/PDE的值；

②把4PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P,落在ED上时，ED的对应线段ED,恰好

与AB垂直，求此时t的值.

(3)当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不

能，请说明理由.

4.如图，已知NBAC,且cos/BAC=|,AB=10,点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上

的动点，且AQ=BP=x,以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED,以线段BP为边在AB

上方作正三角形PBM.

(1)如图2,当点E在射线AC上时，求x的值；

(2)如果0P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；

(3)如果点E在NMPB的边上，求AQ的长.

5.如图，AABC中，AB=AC=8cm,/BAC'=120°.动点P从点A出发，在AB边上以每秒

1cm的速度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以每秒V3cm的速度向终点C匀

速运动，连接PQ,设运动时间为t(秒).

(1)当t=2秒时，贝I]ABPQ的面积SABPQ=cm?；(直接写出答案)

(2)以PQ为直径作圆0,在点P,Q的运动过程中，当圆。与4ABC的一边所在直线相切时，

求t的值.

6.如图，已知A,B两点的坐标分别为A(18,0),B(8,6),点P,Q同时出发分别作匀速运动，其中点

P从点A出发沿A。向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每

秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P,Q运动时间为t秒.

(1)求t的取值范围；

(2)若以O,P,Q为顶点的三角形与^ABO相似，求此时t的值；

(3)是否存在t,使得AOPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t;若不存在，请说明理由.

7.已知：如图①，在Rt△ABC中，AB1AC,AB=6cm,BC=10cm,将△ABC绕AC中点旋

转180°得到ACDA.如图②，再将4CDA沿AC的方向以lcm/s的速度平移得到△NDP;同时,

点Q从点C出发，沿CB方向以2cm/s的速度运动，当点Q停止运动时，△NDP也停止平移，设运

动时间为t(s)(O<t<5).解答下列问题.

(2)在运动过程中，t为何值时APQC的面积最大？并求面积的最大值；

(3)是否存在某一时刻t,使PQ1DQ?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

8.如图，在AABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,动点P从点A出发，沿AB以每秒y个单位长度

的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线AC-CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P

作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D,当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设4

PQD与4ABC重叠部分图形的面积为S,运动的时间为t(秒)

B

,D

AQC

(1)点P到AC的距离为(用含t的代数式表示)

(2)当点D落在BC上时，求t的值

(3)当aPQD与aABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式(S>0)

9.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=6,sin/A=1•点D从点A出发，以每秒1个单位长

度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF1AB,

过点D作DFLEF垂足为F,连结ED,当点D运动到终点时，点E也停止运动.设4EDF与AABC重

叠部分图形的面积为S(S>0),点D的运动时间为t秒.

(1)线段AC的长为________;

(2)当直线EF经过点D时，求t的值；

(3)求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.

10.如图AABC是等边三角形，AB=10.动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点

B运动，过点P作PD1AC于点D,以PD为边向右作矩形PDEF,且PA=PF.设矩形PDEF与AABC

重叠部分的面积为S,点P运动的时间为t(t>0)秒.

ADEM

(1)填空：PD=(用含t的代数式表示)

(2)当点F落在BC上时，求t的值;

(3)求S与t之间的函数关系式.

11.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点P从点B出发沿BA—AC以每秒2个单位

的速度向终点C运动；同时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向终点B运动，运动时间为t(t>

0),连结PQ.

(1)求AP的长(用含有t的代数式表示)；

(2)当点P在AB上运动时，过点P作PH1BC于点H,求PH的长(用含有t的代数式表示)；

(3)当点P运动到AC上且APCQ的面积为12时，求t的值.

(4)直接写出运动过程中以PQ为一边的三角形与AABC相似时t的值.

12.(如图，在平面直角坐标系中，直线y=-：x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点，动点P从点

A开始在线段A。上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以

每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点P运动的

时间为t(秒).

(1)直接写出A、B两点的坐标.

(2)当AAPQ与AAOB相似时，求t的值.

(3)设4APQ的面积为S(平方单位)，求S与t之间的函数关系式.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点为A(8,0)、C(0,4),点B在第一象限.现有

两动点P和Q,点P从原点O出发沿线段OA(不包括端点。，A)以每秒2个单位长度的速度匀速向

点A运动，点Q从点A出发沿线段AB(不包括端点A,B)以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运

动.点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t(秒).

(1)直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；

(2)连结CQ并延长交x轴于点D,把CD沿CB翻折交AB延长线于点E,连结DE.

①ACDE的面积S是否随着t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的

值；

②当t为何值时，PQ//CE?

14.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点P从点A出发，沿线段AB以每秒

5个单位长度的速度向终点B运动.当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ1AB,交折线AC-CB

于点Q,过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R.设点P运动的时间为t秒，aPQR与△

ABC重叠部分的面积为S.

(1)直接写出线段PQ的长.(用含t的代数式表示)

(2)当点R落在边AC上时，求t的值.

(3)当APQR与^ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式.

(4)直接写出AQ或PC平分APQR面积时t的值.

15.已知：如图①，在RtaACB中，NC=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA

方向向点A匀速运动，速度为lcm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连

接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ//BC;

(2)设AAQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtAACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t

的值；若不存在，说明理由；

(4)如图②，连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻

t,使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

16.已知AABC为等边三角形，AB=6,P是AB上的一个动点，(与A、B不重合)，过点P作AB

的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点，在AABC内作正方形DEFG，其中D、E

在BC上，F在AC上,

A

(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y关于x的函数解析式及定义域;

(2)当BP=2时，求CF的长；

(3)AGDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由.

如图(1)所示，直线mln,A、B分别为直线m、n上两点.

(1)当OA=OB时，作直线OQ,过点A、B两点分别作AM10Q于点M,BN1OQ于点N,若AM=4,

BN=3,求MN的长.

(2)如图(2),OA=5,点B为直线m上方直线n上动点，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点，

在△ABO外侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE,ZABE=ZABF=90°,联结EF交直

线m于点P,问：当点B运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理

由.

18.如图1,Rt△ABC中，NC=90°,BC=8cm,AC=6cm,点D是BC上的一个定点.动点P从点

C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以lcm/s的速度沿D-B方向运

动.点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止.图2是当0<145时4

BPQ的面积S(cm2)与点P的运动时间t(s)的函数图象.

(1)CD=,S=cm2;

(2)当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？

(3)运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值.

19.如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为(6,8),OA=OB,动点P

从原点。出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的

正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA,AB于E,F,设动点P,

Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒(t>0).

(1)点E的坐标为,F的坐标为;

(2)当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；

(3)是否存在某一时刻，使4PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

20.在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B(2,2).将△OAB绕点B顺时针旋转，得△

O'A'B,点A,0旋转后的对应点为A',0'•记旋转角为a.

(2)如图②，当a=60°时，求点A'的坐标；

(3)连接0尺,设线段0A'的中点为M,连接o'M,求线段O,M的长的最小值(直接写出

结果即可).

21.在AABC中，CD是AABC的中线，如果CD上的所有点都在AABC的内部或边上，则称CD为△

ABC的中线弧.

AA

K

(1)在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=1,D是AB的中点.

①如图1,若NA=45°,画出AABC的一条中线弧CD,直接写出AABC的中线弧CD所在圆的半径

r的最小值；

②如图2,若NA=60°,求出AABC的最长的中线弧CD的弧长1.

(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),B(4,0),C(0,0),在aABC中，D是AB的中

点.求△ABC的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围.

22.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,AD1BC于D,AD=4cm,过点D作DE//

AC,交AB于点E,DF//AB,交AC于点F.动点P从点A出发以lcm/s的速度向终点D运动，过点

P作MN//BC,交AB于点M,交AC于点N.设点P运动时间为x(s),AAMN与四边形AEDF重

叠部分面积为y(cm2).

(1)AE=cm,AF=cm;

(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)若线段MN中点为。，当点。落在/ACB平分线上时，直接写出x的值.

23.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC、BC的长为方程x?-14x+a=0的两根，且AC-BC=

2,D为AB的中点.

(1)求a的值.

(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A-D-C的路线向点C运动；动点Q从点B出

发，以每秒3个单位的速度，沿B-C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运

动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.

①在整个运动过程中，设APCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范

围；

②是否存在这样的3使得4PCQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的t的值.

24.如图，在AABC中，AB=BC=5cm,sinB=g。动点P从点A出发、以2cm/s的速度向终点B运

动。当点P不与点A,B重合时，过点P作BC的平行线交AC于点N。动点Q从点B出发，以3cm/s

的速度向终点A运动。以PQ、PN为邻边作口PQMNo点P,Q同时出发，设运动时间为x秒。

(1)直接写出PN的长(用含x的代数式表示);

(2)设口PQMN和aABC重叠部分的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式；

(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的取值范围。

25.如图在RtZsABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向

点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的

速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP

于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t

秒(t>0)。

B

(1)当t=2时，AP=,点Q到AC的距离是;

(2)在点P从C向A运动的过程中，求AAPQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请

说明理由；

(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值。

26.如图，在平面直角坐标系中，以点B(0,6)为端点的射线BH//X轴，点A是射线BH上的一个动点(点

A与点B不重合).在射线AH上取AD=4旧，作线段AD的垂直平分线，垂足为点E,且与x轴交于

点F,过点A作AC1OA,交射线EF于点C.连结OC、CD,设点A的横坐标为t.

(1)当点C在线段EF上时，用含t的式子表示点C的坐标为.

(2)在射线BH上是否存在点A,使得AOCF与ADEC相似？若存在，请求出t的值并表示此时/QCD

的度数，若不存在，请说明理由.

(3)连结AF,请探索，在点A的整个运动变化过程中，NAFO的大小是否会发生变化？若不变，求出

其值，若有变化，请说明理由.

27.如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC向C点以1

厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q分别从起点

同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒.

BB

(1)当t=2时，求线段PQ的长度；

(2)当t为何值时，^PCQ的面积等于5cm2?

(3)在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将翻折，得到aERQ,如图2,PE与AB能否垂直？

若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

28.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D为边AB的中点.点P从点A出发，沿

AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度

先沿CB方向运动到点B,再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造。PEQD,设点P运动

的时间为t秒.

(1)设点Q到边AC的距离为h,直接用含t的代数式表示h；

(2)当点E落在AC边上时，求t的值；

(3)当点Q在边AB上时，设。PEQD的面积为S(S>0),求S与t之间的函数关系式;

(4)连接CD,直接写出CD将门PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值.

答案

1.(1)解：由题意可知AQ=2t,

BQ=AB-AQ=10-2t.

(2)解：如图，当四边形APMQ为轴对称图形时,

.,.AP=AQ,

AP=6—2t,AQ=2t,

6-2t=2t,

解得t=|

(3)解：在Rt△ABC中，BC=VAB2-AC2=8,

・.・cosA.=A-C=—6=-3,si.nA.=—BC=—8=-4

AB105AC105

ZAQM=90°,

由图可知此时四边形PMQH为正方形,

AH=AP-cosA=|(6-2t),HQ=PH=AP•sinA=g(6-2t),

又1•AQ=2t,

34

-(6-2t)+g(6-2t)=2t,

解得t=:

4

即当NAQM为锐角时，J<t<3.

②当3cts5时，NAQM始终为锐角.

综上，当NAQM为锐角时，；<t<5.

、9359

()10，2'2,10

2.⑴解：设AC=x,贝IJBC=X-2,AB=x+2,

由勾股定理，得(x-2)2+x2=(x+2)2,解得x=8,或x=0(舍去)，

.,.BC=6,AC=8,AB=1O.

(2)解：设AN=a,贝]lBM=3a,y=kx+b,为AABC的中位线，.・.ED=手=5

,皿上/曰x=0,x=10—4a,x=5—a

由题意，得｛ry=5，｛y=0，｛y=2J

把｛y=5，｛y=0，｛y=2代入y=kx+b，

5

b=5a，

得｛k(10-4a)+b=o,解得｛b=5,y=—5x+5

k(5-a)+b=2k=~-

10

(3)解：①

1)当PQ1BC时，

四边形ADPQ为平行四边形，则DP=AQ,y=a+x,即一5x+5=,+x,

日

解a”得X=3击00；

2)当PQ1AC时，

四边形PQBE为平行四边形，则PE=BQ,5-y=10-a-x,即5-(-^x+5)=10--x,解

得X=­650；

1f119，

3)当PQ，AB时(如图1),作DHLAB于H,

贝ljAH=a+x-y=Y,

即沁一(一/x+5)=?，解得x=曲.

/iub]]9

・'•当*=黑，黑，的时，PQ所在直线与AABC的某一边所在的直线垂直.

nyiiy]]9

(3)②如图2,作PH1AB于点H,

A

AH=|+x-y=y+ADcosA=y+4x|,把y=-^x+5,代入，得

|+x-^=-^-x+5+4xi,解得x=fi22.

(3)②如图3,作PHIAB于点H,贝]IQH=PH=EBsinB=3x^=y,

cioA7

AH=-+X+Y=Y+ADCOSA=y+4x-,把y=一«x+5,代入，得

|+x+Y=_a+5+4*：,解得*

3.(1)解：当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，

过点C作CF1AB于F

•••AC=3,BC=4,ZACB=90°

•・・根据勾股定理，得AB=5,

•••SAABC=^ACBC=|ABCF

A5CF=3x4,

CF=y.

・•・当点P与点c重合时，点P到AB的距离最大，最大值为Rt^ABC斜边AB上的高CF,

即点P到AB的最大距离是y.

(2)解：①当点P在AC上运动时，设运动时间为ts,则有AP=3t,CE=t,

v直线1//AC,

・・・ZPDE=ZAPD,

如图，过点D作DG_LAC于点G,则四边形CEDG是矩形，

DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG,

/ADGBCrtrtt4

tanZA=—=—,即—=

AGACAla3

3

AG=-t,

4

39

PG=3t--t=-t,

44'

.AccDGt4A

,即

•••tanZAPD=—ru=—rt=Tv*'tan"-/PDE=9-.

②VED'1AB,

.・・/4+NB=90°,

・・•ZA+ZB=90°,

・•・Z4=ZA.

•・・直线1//AC,

・,・直线11BC,

/.Zl+Z2=90°,/3+/4=90°,

由旋转的性质，得Z2=Z3,

・•・N1=N4,

・•・N1=NA,

・・・Rt、CEP〜RtCAB

AAA9

CEPC„t3-3t

・•・一=rt—即-=-,

ACBC134'

・一9

13

4d76

(3)能，。t=一

7/229

4.(1)解:,.*cosA=|,则sinA=1.

当点E在AC上时，则NAQP=90°,

•.•AQ=PB=X,则AP=AB-PB=1O-X,

则cosA=祭=念3

5

解得x=,

(2)解：如图,

E

过点Q作QH1AP于点H,

••,(2^经过口、M两点，PD=PM,贝I]PQ=PB=AQ=x,

.,.点H是AP的中点，

则AH=1AP=1(10-x),

cosA=相=吗^=|，

解得x=得

即正三角形PBM的边长为符;

过点Q作QHLAB于点H,作PQ的中垂线交QH于点G,交PQ于点N,

则NQPA=180°-ZMPB-ZQPE=180°-45°-60°=75°,

则NHQP=90°-75°=15°,则NHGP=15°X2=3O°,

在RtZXPHQ中，设PH=t,则GQ=GP=2t,GH=显t,

A4x

.,.QH=2t+V3t=xsinA=-x,解得t=访诟，

Qziv

AB=AH+PH+PB,即|x+而鬲+x=10,

解得x=1°°+25.；

②当点E在AB边上时，如图3,

过点Q作QH1AB于点H,

则PH=QH=AQsinA=|x,AH=xcosA=|x,

即点P在BA的延长线上，与题意不符;

100+25O

综上，AQ=

26

5.(1)3V3

(2)解：如图，过点A作AEJ.BC于点E,

则BC=2BE,

在Rt△ABE中，BE=AB-cosB=8Xy=4旧(cm),

・•・BC=875cm,

由题意得：AP=tcm,BQ=V3tcm,BP=AB-AP=(8-t)cm,

①如图，当圆0与AB相切时，

BQC

贝IJPQ1AB,

在Rt△BPQ中,cosB=,即51!—cos30°=~,

DQV3t2

解得t=y,

经检验，t=当是所列分式方程的解；

②如图，当圆0与BC相切时，

贝IJPQ1BC,

在Rt△BPQ中，cosB=,即旦=cos30°=-,

Dr8—t2

解得t=I,

经检验，t=w是所列分式方程的解；

③当圆0与AC相切时，

如图，设圆0与AC相切于点F,连接OF,过点P作PG1BC于点G,作PM1AC,交CA延长线

于点M,过点Q作QN1AC于点N,

贝IJOFlAC,OF=ipQ,

PM//OF//QN,

・•・点。是PQ的中点，

OF=1(PM+QN),

PM+QN=PQ,

•••ZBAC=120°,

•••NPAM=1800-ZBAC=60°,

在RtAAMP中，sin/PAM=瞿，即—=sin60°=—,

APt2

解得PM=yt(cm),

■:BC=873cm,BQ=V3tcm,

・•・CQ=BC-BQ=(8V3-V3t)cm,

在RtACNQ中，sinC=,,即57g^=sin30°=i,

解得QN=*2@(cm),

在RtABGP中，PG=:BP="cm,BG=VBP2-PG2=^Mcm,

222

GQ=BQ-BG="-8)皿,

在Rt△PGQ中，PQ=JPG?+GQ2=V7t2-40t+64cm,

则由PM+QN=PQ得：亨t+q包=V7t2-40t+64,

20±12y/2

解得t=~7-；

综上，当圆0与AB相切时，t=蔡；当圆。与BC相切时，t=|;当圆0与AC相切时，t=

20±12企

7.

6.(1)解：由题意得：

,0<3t<18

[0<2t<10

解得：0WtW5

(2)解：设从出发起，运动了t秒，以O,P,Q为顶点的三角形与AABO相似

•••AP=3t,OQ=2t,OP=18-3t

分两种情况讨论：

①如果APOQsAAOB,则黑=器，詈=卷，解得t=^

②如果△POQs△BOA,则需=震，*=为，解得t=詈

故当t=曰或t=詈时，以O,P,Q为顶点的三角形与AABO相似

(3)解：当t=当或t="或t=符时，AOPQ为等腰三角形.提示：当AOPQ为等腰三角形时,

分三种情况：

①如果OP=OQ,那么18-3t=2t,解得：t=

②如果PO=PQ,如图，过点P作PF1OQ于F,则OF=FQ=|OQ=ix2t=t

•••在Rt^OPF中，ZOFP=90°,•••OF=OP•cosZPOF=(18-3t)x(18-3t),:,

t=^4(18-3t),

解得：t.

③如果QO=QP,如图，过点Q作QG1OP于F,

1I2

贝I」OG=GP=jOP=i(18-3t)=9-ft

oo

•••在RtAOQG中，ZOGQ=90°,•••OG=OQ•cosZQOG=2tx,

9-|t=|t,解得：t=g

综上所述：当t=孩或t=^|或t=荒时，AOPQ为等腰三角形.

7.(1)解：在RtAABC中，AC=VBC2-AB2=8,

•••PQ//AB,

.PC_CQ

••AC-CB'

.8-t_2t

,.-----=—

810

(2)解：过点P作PM1BC于M,

PM=-5--5t’,CM5=—

・・

•SAPQC=|QC.PM=1.2t-(1-1t),

S^PQC=+gt=一|(t-4尸+?(0<t<5).

当t=4时，SVQC有最大值，最大值为y.

(3)解：PQ1DQ,

・•・ZDQP=ZPMQ=90°,

•・,DP//BC,

・•・ZDPQ=ZPQM,

/.△DQP〜&PMQ,

PD_PQ

PQ-MQ

・•・PQ2=PD-MQ,

・•・PM2+MQ2=PD-MQ,

••・CM+

32-14t

・•.MQ=CM-CQ=

5

24-3t)2+r32-14Ly=iox『

5'I5

68

t=0(舍)或T.t=«

・•・当t=^时,PQ1MQ

8.⑴|t

(2)解：当D落在BC上，D与Q不重合时，如图2,CD=CQ,

••-4-2t=t,t=5

25

当D落在BC上，D与Q重合时，如图3,CD=CQ,

34…t=|

B

Q(

图

88

或

是

t的值

--

53

(3)解：①当Ovt<g时，如图4,Q在AC上，过点P作PELAC于点E,

•••PD//AQ,QD//AP,

四边形APDQ是平行四边形，

PD=AQ=2t,

.-.s=-PD«PE=ix2txitt=-t2;

2222’

②当2WtV:时，如图5,Q在BC上，CQ=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-1t,

FQ=CF-CQ=|t-(2t-4),

.,.S=|PF・FQ=(4-it)[|t-(2t-4)]=|t2-4t+8;

o

③当5<tV4时，Q在BC上，如图6,延长PD交BC于F点，

I3

CQ=2t-AC=2t-4,DF=FQ=CQ-CF=2t-4--t=jt-4,

1a

PD=PF-DF=4--t-(-t-4)=8-2t,

.,.S=|PD・FQ=1«(8-2t)(|t-4)=-|t2+10t-16,

|t2(0<t<|)

综上所述，S与t的函数关系式(S>0):S={|t2-4t+8(2<t<|)

—112+10t_16(g<t<4)

9.(1)8

(2)解：如图1,

C

D

B

ffil

•/EF1AB,

/.ZAEF(D)=90°,

3

*/sinZA=-,

」.AE_4

cos/A=AD-5

•/AD=t,

4

AE=-t,BE=t,

4

-t+t=10,

解得t=y

(3)解：当0<tV弓时，如图2,过点D作DHLAB,垂足为H,则四边形DHEF为矩形,

图2

o4

在Rt^ADH中，ZAHD=90°,sin/A=|,AD=t,AH=(t,

•・.EF=DH=It,DF=HE=10-It-t=10-：t,

・,.S=；DF・EF=；(10-gt)•打=-gt2+3t;

当?Wt<8时，如图3,设EF交AC于点K,

则AE=10-1,KE=|(10-t),

—22

S=SAADH-SAAKE=|DH-AH|AE•KE=-1(10—t)x|=-^t+yt—y

-豕+3t(0<T

综上所述：S={

缸+、碧—8)

10.(1)V3t

(2)解：当点F与落在BC上时，如图1,

PA=PF=2t,

.,.PB=10-2t,

四边形PDEF是矩形，

.'.PF//AC,

ZBPF=ZA=60°,

•/ZB=60o,

••.△BPF是等边三角形，

•..PB=PF,即10-2t=2t,

(3)解：分三种情况:

①当0<t《|时，如图2,

图2

矩形PDEF与4ABC重叠部分是矩形PDEF,

S=S矩形PDEF=PD・PF=V3t・2t=2y/3^；

当E与C重合时，如图3,

B

PF=DC=2t,

­/AC=AD+CD=10,

io

.*.t+2t=10,t=—;

②当|<t<?时，如图4,

图4

矩形PDEF与4ABC重叠部分是五边形PDEHG,

•.PB=PG=10-2t,PF=PA=2t,

.,.GF=PF-PG=2t-(10-2t)=4t-10,

RtZkGHF中，ZGHF=30°,

tan30°=g,FH=遍(4t-10),

一FH

_=

'S=sfij)gPDEFSAGFH2V5t2-2GF・FH

2

=2V3t-1•(4t-10)•V3(4t-10)

2

=-6V3t+24V3t.18V3；

③当yVt<5时，如图5,

B

矩形PDEF与AABC重叠部分是四边形PDCG,

2

.•.S=i(PG+CD)・PD=1(10-2t+10-t)•V3t=-^t+i0A；

综上，S与t之间的函数关系式为：

2*(0<tW5)

2

s=^-6V3t+24V3t.18V3(|<t<^).

一#一+1081:*<tW5)

11.(1)解：当P到A时，BP=2t,

2t=AB=VAC2+BC2=V62+82=10,

t=—=5,

2，

当P到C时，

2(t-5)=AC=6

t=8

・••当0ctM5时，AP=AB-BP=10-2t

当5ctM8时，AP=2(t-5)=2t-10;

(2)解：•/PHIBC,

・•・ZPHB=Z90=ZC

.,.PH//AC

ZBPH=ZBAC,

・•.△BPHBAC

.PH_BP

-AC"BA'

nnPH2t

610

PH=1t,(0<t<5);

(3)解：SApcQ=i-CP-CQ=^[6-2(t-5)]t=12

解得：t=2（舍）或t=6,

/A\16__is.40_p.64

(4)7■或石或五

12.(1)解：点A的坐标为(0,3);点B的坐标为(4,0).

(2)解：在R3AOB中，OA=3,OB=4,/.AB=5.

.,.AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.

△APQ与AAOB相似，可能有两种情况：

①若△APQS^AOB,则有黑=黑，即卜一，解得t=K.

②若△APQS^ABO,则有啜=黑，即睁彳，解得t=!|.

r\DAU><3

故或M

(3)解：过Q作QH1OA于H,则△AQHs^ABO,/.AQ:AB=HQ:OB,(5-2t):5=QH:4,

13.(1)B(8,4),0<t<4

(2)解：①ACDE的面积不变，理由如下:

••.四边形OABC是矩形，

.i.OA//BC,

△QADS/XQBC,

.AD_AQ

一BC-BQ，

由翻折变换的性质可知：EQ=2BQ=2(4-t),

••.S=SAQCE+SAQDE=|EQ(BC+AD)=ix2(4-t)x(8+)=32;

②要使PQ//CE,必须有NPQA=/CEB,贝i］有△APQs/\BCE,

.AP_AQ

**BC-BE,

即APBE=AQBC

.,.(8-2t)(4-t)=8t,

化简得t2-12t+16=0,

解得t=6±2V5,

由(1)可知：0<t<4,

故只取t=6-2V5,

・•・当t=6—2遮时，