历年高中数学联赛真题分类汇编28数列

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题28数列第四缉1．【2021年吉林预赛】已知数列an的通项公式为an=2n−172n−19(n=1,2,⋯),则A.a1 B.a9 C.a10 【答案】C【解析】巡项公式an=1+1n−9.5,当n≤9当n⩾10时，有an>1,且an递减,从而an选C.2．【2019年贵州预赛】已知等差数列{an}的公差d≠0,且a52+a72+16d=aA.15 B.16 C.30 D.32【答案】A【解析】因为等差数列{an}的公差d≠0,由a5⇒a3．【2018年贵州预赛】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制—粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制—粘贴”的次数至少为（）A．9次B．10次C．11次D．12次【答案】B【解析】解：设需要“复制—粘贴”的次数至少为n．则由题意知，第1次可以“复制—粘贴”1张，第2次“复制—粘贴”2张（包括原来设计好的那一张)，第3次“复制—粘贴”4张，…，第n次“复制—粘贴”2n－1张．所以1+1+2+22+……+4．【2018年贵州预赛】己知等差数列an及bn．设An=a1+a2+⋯+an，Bn=b1+b2+⋯+bn，若对∀n∈NA．3533B．3129C．175【答案】B【解析】an、bn为等差数列，且前故可设An=kn(3n+5)，Bn=kn(5n+3)，从而a10b6=B5．【2018年贵州预赛】己知等差数列an及bn．设An=a1+a2+⋯+an，Bn=b1+b2+⋯+bn，若对∀n∈NA．3533B．3129C．175【答案】B【解析】an、bn为等差数列，且前故可设An=kn(3n+5)，Bn=kn(5n+3)，从而a10b6=B6．【2018年天津预赛】等差数列an中，a2+A．0 B．-34 C．17 D．34【答案】B【解析】设公差为d，则a2+a11+故答案为：B7．【2018年四川预赛】设Sn、Tn分别是等差数列an与bn的前A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A【解析】由条件可设Sn则m=1时，a1当m≥2时，am于是仅在m=2时，am所以，所求的正整数m=2.故答案为：A8．【2017年天津预赛】已知等差数列an的公差不为零,且a2、a3、a(A)83 (B)73 (C)3 【答案】A【解析】提示：设公差为d,则由a32=a2a9可得a2+d29．【2017年辽宁预赛】数列a0an=0,则n为( (A)20 (B)201 (C)2017 (D)20101【答案】B【解析】提示：由an=an−又由an−1同理an累加可得a0即nn又因为n≥0,所以10．【2017年四川预赛】已知数列an满足：an=2+1n−2−1(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】A【解析】提示：由条件知 an则a记bk=a又由方程组①知a2=4于是bk+2=6又bkmod10为:2,4所以a2017的个位数字是b11．【2017年陕西预赛】已知数列an的前n项和Sn=n2−1(A)40 (B)44 (C)45 (D)49【答案】B【解析】提示：当n=1时,当n≥2所以a112．【2017年黑龙江预赛】已知数列an中,a1=1,以后各项由公式an=a(A)74 (B)−74 (C)47【答案】A【解析】提示:因为an−以上各式两边分别相加.所以a4所以a13．【2017年湖南预赛】将石子摆成如图所示的梯形形状,称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列an:5,9,14(A)166247 (B)196248 (C)196249 (D)196250【答案】D【解析】由图可知这个数列的各项依次为a1递推关系为a1=5由此知a2这n−1个式子相加得故a201714．【2016年吉林预赛】一个有限项的数列满足：任何是三个连续项之和均为负数，且任何四个连续项之和均为正数.则此数列项数的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【解析】一方面，可以构造五项的数列：2、2、-5、2、2，符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过五项.否则，取出前六项，作出如下排列：a1a2a3a4由每行的和为负数，知这12个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12个数之和为正数.矛盾.15．【2016年吉林预赛】一个有限项的数列满足：任何是三个连续项之和均为负数，且任何四个连续项之和均为正数.则此数列项数的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【解析】一方面，可以构造五项的数列：2、2、-5、2、2，符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过五项.否则，取出前六项，作出如下排列：a1a2a3a4由每行的和为负数，知这12个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12个数之和为正数.矛盾.16．【2016年四川预赛】设数列an满足a1=6，aA．lB．2C．5D．6【答案】A【解析】由a1=6用数学归纳法易证.于是，n≥2时，an故S201617．【2016年湖南预赛】设函数f(x)=2x−cosx，{an}A．0B．π216C．π【答案】D【解析】由于{an}k=15故10a记g(x)=10x−(2cos则g'(x)=10+(2cosπ4于是，a3故f218．【2015年浙江预赛】已知数列an的通项an=nxx+1A．−32B．−512【答案】D【解析】由题意知an则k=1⇔x+1故x∈k=1经检验，只有x=−1119．【2015年辽宁预赛】已知数列an为由正整数组成的递增数列,且an+2=A．102B．152C．212D．272【答案】C【解析】由题意,知a5由a1、a设a注意到,52>5a于是,k=0或若k=0,则a2=2,a从而,k=1,a故a320．【2015年吉林预赛】“a，b，A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a，b，c，“a，b，点睛：充分、必要条件的三种判断方法．21．【2015年湖南预赛】已知数列{an}和{bn}对任意的n∈NA．A>BB．A≥BC．A≠BD．A和【答案】B【解析】因为an>b22．【2015年黑龙江预赛】设正项等比数列an的前n项和为且210SA．18B．14C．【答案】C【解析】由已知得：S20因为an＞0，所以，23．【2015