新高考数学高频考点题型归纳12函数与方程（教师版）

专题12函数与方程一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1（直接求解函数零点）(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个.例1-2（二分法求零点）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈－0.029

f(1.5500)≈－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+52;当0≤x≤2时f(x)=2−|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C对点训练3．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.【答案】5【解析】因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.故答案为5.考点二、判断函数零点个数例2-1（直接求解零点）（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.【答案】2【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数..当时，.当时，或或（舍）.当时，，方程无解.综上，方程的根为，1.所以方程有2个根，即函数有2个零点.故答案为：2.例2-2（零点存在定理+单调性）（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，，，，根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C例2-3（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.对点训练1.（2020·开原市第二高级中学高三）函数，的零点个数是（）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于，，因此不存在使得，因此函数没有零点.故选：.对点训练2-1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在R上单调递减,,,所以零点所在的大致区间为故选:D对点训练2-2【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】本题首先可通过求导得出函数在上是增函数、在上是减函数以及，然后通过函数的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.【详解】，，当时，，函数在上是增函数；当时，，函数在上是减函数，，A项：，，因为，所以函数在内存在零点，A正确；B项：，，因为，，所以函数在内存在零点，B正确；C项：，，，因为，所以函数在内不存在零点，C错误；D项：，，，则函数在内存在零点，D正确，故选：ABD.对点训练3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.考点三、已知零点求参例3-1（已知零点个数求参）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示，令，即，所以要使函数有且只有两个不同的零点，则需函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围为，故选：B.例3-2（已知零点所在区间求参）函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C。对点训练1.已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)【答案】C【解析】因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).故选C.考点五、二次函数零点分布例4．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案.【详解】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B对点训练1.（2021·全国高三其他模拟）已知，有下列四个命题：：是的零点；：是的零点；：的两个零点之和为1：有两个异号零点若只有一个假命题，则该命题是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先假设，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.然后分情况讨论是假命题和是假命题的两种情况，推出合理或者矛盾.【详解】由题意，若，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为真命题，符合题意；若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为假命题，不符合题意.故选:A.对点训练2.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))【解析】设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))解得－eq\f(5,2)<a<－2.对点训练3若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解．设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).考点五、零点应用例5-1（探究零点的性质）设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【答案】D【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨设x1<x2，则x1<－1，－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.对点训练1.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数，若方程有四个不同的根，，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】设<<<，由，，则问题转化为，根据，求得范围即可.【详解】设<<<，则，由图知，，当时，或4，则故，易知其在单减，故故答案为：对点训练2.（2020·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．【答案】4【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为、、、，且，由、关于原点对称，、关于对称，可得，，则．故答案为：4．巩固训练一、单项选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A.0或－eq\f(1,2)B.0C.－eq\f(1,2)D.0或eq\f(1,2)答案：A解析：由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－eq\f(1,2)．2．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．3．（2021·全国高三其他模拟）设，定义符号函数，则方程的解是（）A．1 B．C．1或 D．1或或【答案】C【解析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当时，方程可化为，化简得，解得；当时，方程可化为，无解；当时，方程可化为，化简得，解得（舍去）或；综上，方程的解是1或.故选：C.4．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A.x1＜x3＜x2B.x2＜x3＜x1C.x2＜x1＜x3D.x1＜x2＜x3答案：D解析：依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－lnx，y＝eq\r(x)＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x1＜0＜x2＜1＜x3．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C解析：画出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0))的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．6.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.【答案】【解析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．【详解】解：时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为故答案为：．二、多项选择题7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1答案：BCD解析：由函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))作出其函数图象：由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝eq\f(1,2)，2，所以eq\f(1,2)＜x3＜1＜x4＜2；由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)；故选BCD.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有()A．2B．3C．4D．5答案：CD解析：在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.三、填空题9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．答案：0或－eq\f(1,4)解析：当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4)．综上，当a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数仅有一个零点．10．（2019·四川高考模拟（理）改编）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=xx−4，则函数y= 【答案】3【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x−4）∴当x＜0时，−x＞0则f（−x）=−x（−x−4）=−f（x）即f（x）=−x（x+4），x＜0则f(x)=x(x−4),作出f（x）的图象如图：∵y=f（2−x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称∴作出y=f（2−x）的图象，由图象知y=f（2−x）与y=f（x）的图象有三个交点即f（x）=f（2−x）有三个根，其中一个根为1，