2021年中考数学压轴题及答案解析

2021年中考数学压轴题

1.如图抛物线y=a/+/u-+6的开口向下与x轴交于点A(-6,0)和点8(2,0),与y轴

交于点C,点P是抛物线上一个动点(不与点C重合)

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点尸是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12,求点P的坐标；

(3)如图2,抛物线的顶点为。，在抛物线上是否存在点E,使得若

存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由.

解：(1)函数的表达式为：y—a(x+6)(x-2)—a(7+4x-12),

-12a=6,解得：a=—

函数的表达式为：y=-系-Zr+6…①，

顶点D坐标为(-2,8)；

(2)如图1所示，过点尸作直线机〃4c交抛物线于点P',在直线AC下方等距离处作

直线n交抛物线与点P",P'",

过点P作PH//y轴交AC于点H,作PG±AC于点G,

"：OA=OC,：.ZPHG=ZCAB=45°,贝ijHP=

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S^PCA=\PGXAC=|x^PGX6V2=12,解得：PH=4,

直线AC的表达式为：y=x+6,

则直线”?的表达式为：y=x+10…②，

联立①②并解得：x=-2或-4,

则点P坐标为（-2,8）或（-4,6）；

直线”的表达式为：y=x+2…③

同理可得点P（P"、尸'"）的坐标为（-3-V17,-VT7-1）或（-3+V17,V17-1）,

综上，点P的坐标为（-2,8）或（-4,6）或（-3-旧，-V17-1）或（-3+g,

717-1）.

法二：设P（〃?，—^/n2-2m+6）,

•；直线AC的解析式为y=x+6,P"〃y轴，

・12

:.H（m,机+6），~2nt~3词

,3,划,

*­*S&PAC=s4APH+S&PCH，

11

2^92-3〃?|・6=12,

解得机=-2或-4或-3-VT7或-3+V17,

可得点P的坐标为（-2,8）或（-4,6）或（-3-VT7,-VT7-1）或（-3+g,g-l）.

（3）点A、B、C、。的坐标为（-6,0）、（2,0）、（0,6）、（-2,8）,

则AC=V7LCD=V8,AD=V80,

则/ACE）=90°,

.DC/10

smNZMCR=R,

延长力C至。’使CQ=C。'，连接4。'，过点。作。,

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则DD'=2V8,AD=AD'=V80,

11

1

S/XADD=^XDD'XAC=^DHXAD',

即：xV72=DHxV80,解得：DH=为

12

sin2ZDAC=sinZDAD'=|=sinZEAB,

V80$

Q

贝ijtan/EAB=3，

①当点E在AB上方时，

则直线AE的表达式为：），=1r+6,

将点A坐标代入上式并解得：

直线AE的表达式为：y=,x+3…④，

联立①④并解得：x=/（不合题意值已舍去），

「139

即点E（-,—）；

28

②当点E在A8下方时，

同理可得：点E（|,一））,

综上，点E（一，一）或（一，—

2.图①，二次函数产/+灰+。QW0）的图象经过点A（-1,0）,并且与直线y=1x-2

相交于坐标轴上的8、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC,PB,设△尸C8的面积为S,求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q,使得/ABQ=2/ABC?若存在，则求出直线8。

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的解析式及。点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)对于直线y='-2,

令x=0,则y=-2,

令y=0,即|<x-2=0,解得：x=4,

故点8、C的坐标分别为(4,0)、(0,-2),

抛物线过点A、3两点，则y=a(x+1)(x-4),

将点C的坐标代入上式并解得：。另，

故抛物线的表达式为尸p-fx-2①；

(2)如图2,过点P作PH〃y轴交BC于点H,

图1

1q1

设点P（x,一f_白一2）,则点"（x,-X-2）,

222

1111O3o

・（亍义（-亍入~+-^x+2

S=SAPHB+SAPHC=5ZPHXB-xc）=Lx42x-2—LL）=-r+4x,

'：-1<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为4；

(3)①当点。在BC下方时，如图2,

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延长8。交y轴于点”，过点C作SCLBC交x轴于点R,交BQ于点S,过点5作SK

J_x轴于点K,

•.♦/A8Q=2/A8C,则8c是NAB”的角平分线，则△RSB为等腰三角形，

则点C是RS的中点，

设RC=x=SB应改为RC=x=CS.

nriDC

在△80C中，tan/OBC=g^=*=tan/ROC=等，

则设RC=x=CS,贝ijBC=2r,则RB=+（2x）2=0=BS,

在△SRB中，S^RSB=|xSR'BC=|xBR-SK,即gx2x・2x=加•肩，解得：KS=,

4x

/<<?TF4.4

,sinNRBS=黑=言=”，则tanZRBH=1

y/5x53

在RtZXOBH中，O”=OB・tanNRBH=4xg=竽，则点”（0,一竽），

由点8、，的坐标得，直线B”的表达式为尸g（x-4）②，

联