2022新高考数学高频考点题型归纳31数列求和（学生版）

专题31数列求和一、关键能力1．掌握数列求和的常用方法．2．掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等．二、教学建议1.等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.2.简单的等差数列、等比数列求和..3.往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合，近几年难度有所降低，.考查公式法求和、“裂项相消法”、“错位相减法”较多.4.复习中注意:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法．三、自主梳理 1．已知数列{an}，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an．2．已知数列{an}，满足eq\f(an＋1,an)＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an．3．(1)an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))(2)等差数列前n项和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，推导方法：倒序相加法．(3)等比数列前n项和Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))推导方法：错位相减法．4．常见数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(4)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)．5．常用的求和方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．6．常见的拆项公式(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)；(3)eq\f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,2)；(4)eq\f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq\f(1,a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))．四、高频考点+重点题型考点一、公式法求和例1.（2021河北高三）已知数列中，，且满足．设，.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.对点训练1.（2020·扬州市第一中学）设递增等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求.考点二、分组求和法例2.（2021·全国高三模拟）设数列的前项和为，且，________，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和．①；②；③．对点训练1.（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列满足，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项的和为，求证：.考点三、列项相消法例3-1.（2021·广东高三其他模拟）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和.例3-2.（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.例3-3.（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.例3-4.（2021·商丘市第一高级中学）已知等差数列的公差为，前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．例3-5.（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.考点四、错位相减法例4.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．对点训练1.（2021·湖南永州市）已知数列的前项和为，且，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.对点训练2.（2021·四川高三月考（理））在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．考点五、并项求和法例5.（2021·江苏徐州市·高三三模）设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项的和T2n．对点训练1.（2021·吉林吉林市）已知等比数列的前n项和为.（1）求m的值，并求出数列的通项公式；（2）令，设为数列的前n项和，求.对点训练2.（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和..考点六、非常见通项--探究发现新规律求和例6-1（前后相消思想）（2021·简阳市阳安中学高三二模（理））记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项之和.对点训练1.（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（）A．1010 B．2020 C．3030 D．4040对点训练2．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.例6-2（分组的思想）（2020·全国高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则______________.对点训练1.（2019·天津高考真题（文））设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.考点七、奇偶讨论求和法例7.（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知正项数列，其前项和为．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和．对点训练1.（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．巩固训练一、填空题1．（2021·全国高三模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．102．已知数列的通项公式，则（）A．150 B．162 C．180 D．2103．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，,…，.则等于（）A． B． C． D．4．设，则()A． B． C． D．5．已知数列满足，设数列的前n项和为Sn，则S2019=（）A．2020 B．2019 C．1010 D．06．已知函数满足，若数列满足：，则数列的前20项和为（）A．100 B．105 C．110 D．115二、多项选择题7．（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．8．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路三、填空题9．已知数列an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))则S100＝________．10．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于________．11．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．则=；数列的前项和．12．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31＝_____．四、解答题13．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个