多属性决策中的互反型元素

多属性决策中的互反型元素

多属性决策是现代决策科学的重要组成部分。专家通常需要比较两个因素，并根据它们的构成建立评价矩阵以获得最终结论。在当前矩阵元素的构成中，有一个是互补的（考虑元素的重要性）。其中一个是互补的（考虑元素的不同含义）。在这两种矩阵理论中，新元素的序列相关性研究是一个重要的课题。目前，关于反演评价矩阵的保序性研究有很多成果，但对互补性评价矩阵的保序性研究近年来引起了人们的注意。本文通过将满意一致的模糊互补判断矩阵转换为完全一致的判断矩阵,然后利用行和归一化方法,得到了模糊互补判断矩阵的一个排序公式.并指出目前所出现的基于模糊加性一致的排序公式大多都是本文所提方法的特例,最后给出了模糊互补判断矩阵在导入一个或一组新元素时的保序性条件.2模糊计算nn定义1设矩阵R=(rij)n×n,若有0≤rij≤1,则称矩阵R是模糊矩阵.若还满足rij+rji=1,则称矩阵R是模糊互补矩阵.满足以上两者:并且对∀i,j,k∈N有rij=rik-rjk+0.5则称模糊矩阵R是模糊一致矩阵(即加性模糊一致性互补判断矩阵).定义2一个排序方法称为强条件下保序的,如果对任意k∈N,有rik≥rjk,则ωi≥ωj,且当前者所有等式严格成立时,有ωi=ωj.其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是R=(rij)n×n在某种算法下的排序向量.定义3若R=(rij)n×n是模糊互补判断矩阵,在增加一个新元素后的互补判断矩阵为R*=(RCD0.5),若满足ω*i-ω*j=λ(ωi-ωj)(1≤i,j≤n,λ>0),则称R*在增加一个新元素后是强保序的.其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T和ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n,ω*n+1)T分别为R和R*在某种算法下的排序向量.定义4若R=(rij)n×n是模糊互补判断矩阵,保持元素的两两比较不变,在增加一组新元素时,得到的模糊互补判断矩阵为R*=(RCDB)若有ω*i-ω*j=γ(ωi-ωj)(1≤i,j≤n,γ>0),v*n+i-v*n+j=μ(vn+i-vn+j)(1≤i,j≤m,μ>0)成立,则称矩阵R*在增加一组新元素后是强保序的.其中B=(bn+i,n+j)m×m,C=(ci,n+j)n×m,D=(dn+j,i)m×n且ci,n+j=1-dn+j,i,(1≤i≤n,1≤j≤m).ω=(ω1,ω2,…,ωn)T;v=(vn+1,vn+2,…,vn+m)Tω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n,v*n+1,…,v*n+m)T分别为矩阵R,B,R*在某种算法下的排序向量.定义5若满足ωi≥ωj,则有ω*i≥ω*j(i,j=1,2,…,n)成立;若vn+i≥vn+j,则有v*n+i≥v*n+j.则称R*是弱保序的.(式中符号意义同定义4)3fpsm排序方法定理1如果对模糊互补判断矩阵R=(rij)n×n,施行如下数学变换ˉrij=ri-rjα+0.5(α≥2(n-1),ri=n∑j=1rij,i∈Ν)(1)则矩阵ˉR=(ˉrij)n×n是加性模糊一致性互补判断矩阵.证明容易证明ˉR满足互补性和加性一致性,下证其模糊性亦成立:由12≤n∑k=1rik≤n-12可知12-n≤-n∑k=1rjk≤-12即|ri-rj|≤n-1.当α≥2(n-1)有0≤ˉrij≤1成立,即ˉR=(ˉrij)n×n是模糊的.定理2(FPSM)若R=(rij)n×n是模糊互补判断矩阵,ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是其排序向量.1)当矩阵R完全一致时,对矩阵进行行和归一化得ωi=2n2n∑j=1rij(2)2)当矩阵R不是完全一致时,利用(1)式将R转换为ˉR,然后对ˉR进行行和归一化得ωi=1n-1α+2nαn∑j=1rij,α≥2(n-1)(3)由此导出的排序向量的方法称为加性模糊互补判断矩阵的和法,简称FPSM.证明1)当矩阵R=(rij)n×n完全一致时,不再需要对矩阵进行一致性转换,可直接对其进行行和归一化.ωi=n∑j=1rijn∑i=1n∑j=1rij=2n2n∑j=1rij2)当R不是完全一致时,利用(1)式将R转换为一致的判断矩阵ˉR,然后进行行和归一化.ωi=n∑j=1ˉrijn∑i=1n∑j=1ˉrij=n∑j=1ˉrij∑1≤i<j≤n(ˉrij+ˉrji)+0.5n=n∑j=1ˉrijn22=n∑j=1(ri-rjα+0.5)n22=1n-1α+2nαn∑j=1rij显然,当α=n时(3)式从形式上即转化为(2)中的排序公式.因此,应用和法得到的排序向量满足:ωi=1n-1α+2nαn∑j=1rij(当R是一致时取α=n,当R不完全一致时取α≥2(n-1))(4)从而下面的讨论可直接用排序公式(4).性质1由排序方法FPSM计算得到的权重值ωi都满足条件:0≤ωi≤1,i=1,2,⋯,n,n∑i=1ωi=1.性质2由排序方法FPSM计算得到的任意两个权重值的差与参数α成反比证明由公式(4)得到|ωi-ωj|=2nα|n∑k=1rik-n∑k=1rjk|.证毕重要的结论:1.α取2β时ωi=1n-12β+1nβn∑j=1rij即为文献中的排序公式.2.α取2(n-1)时ωi=1n-12(n-1)+1n(n-1)n∑j=1rij即为文献中的排序公式.3.α取4β(n-1)n时ωi=1n-n4β(n-1)+12β(n-1)n∑j=1rij即为文献中的排序公式.4.α取1或2时,即得到文献和中的排序公式.(注意此时ωi可能出现负值)(i=1,2,…,n.)由此可以看出,以上排序公式在形式上都是FPSM排序方法的特殊情形.4fpsm算法原理在以下的讨论中α,β,α*分别为定义3,4中,判断矩阵R,B,R*在排序公式(4)中对应的参数,λ,γ,μ分别为比例系数.定理3排序方法FPSM是强条件下保序的.证明ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是模糊互补判断矩阵R=(rij)n×n的排序向量.则有ωi=1n-1α+2nαn∑j=1rij,ωl=1n-1α+2nαn∑j=1rlj如果对任意j∈N,有rij≥rlj,则易得ωi≥ωl,且当前者所有等式严格成立时,有ωi=ωl.因此排序方法是强条件下保序的.定理4模糊互补判断矩阵R=(rij)n×n增加一个新元素后得到的模糊互补判断矩阵为R*=(RCD0.5),矩阵R*强保序的充要条件是(cin+1-cjn+1)=λ*(ωi-ωj)(其中1≤i,j≤n,λ*为比例系数,ω=(ω1,ω2,…,ωn)T为由FPSM方法得到的排序向量).证明设ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n,ω*n+1)T为R*的权重向量ω*i-ω*j=[1n+1-1α*+2(n+1)α*(n∑k=1rik+cin+1)]-[1n+1-1α*+2(n+1)α*(n∑k=1rjk+cjn+1)]=2(n+1)α*(n∑k=1rik+cin+1-n∑k=1rjk-cjn+1)ωi-ωj=2nα(n∑k=1rik-n∑k=1rjk)ω*i-ω*j=2(n+1)α*[nα2(ωi-ωj)+cin+1-cjn+1]由强保序的定义:ω*i-ω*j=λ(ωi-ωj)(1≤i,j≤n)⇔(cin+1-cjn+1)=λ*(ωi-ωj),其中λ*=(n+1)α*2λ-nα2推论1在FPSM算法下,模糊互补判断矩阵R=(rij)n×n在导入一个新元素后强保序的充要条件为:cin+1-cjn+1=κ(n∑k=1rik-n∑k=1rjk)(其中κ为比例系数)定理5设R=(rij)n×n是模糊互补判断矩阵,R*=(RCDB)是矩阵R在增加一组新元素后得到的模糊互补判断矩阵.矩阵R*强保序的充要条件是:m∑k=1(ci,n+k-cj,n+k)=γ*(ωi-ωj)(1≤i,j≤n,γ*为比例系数)n∑k=1(dn+i,k-dn+j,k)=μ*(vn+i-vn+j)(1≤i,j≤m,μ*为比例系数)其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T;v=(vn+1,vn+2,…,vn+m)T分别为矩阵R、B,由FPSM方法得到的排序向量.证明设R*的排序向量为ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n,v*n+1,…,v*n+m)T.ω*i-ω*j=2α*(n+m)(n∑k=1rik+m∑k=1cin+k-n∑k=1rjk-m∑k=1cjn+k)ωi-ωj=2nα(n∑k=1rik-n∑k=1rjk)由强保序的定义:ω*i-ω*j=γ(ωi-ωj)(1≤i,j≤n)⇔m∑k=1(cin+k-cjn+k)=γ*(ωi-ωj)其中γ*=(n+m)α*2γ-nα21≤i,j≤n同理可证:n∑k=1(dn+i,k-dn+j,k)=μ*(vn+i-vn+j)μ*=(n+m)α*2μ-mβ21≤i,j≤m推论2在FPSM算法下,模糊互补判断矩阵R=(rij)n×n在增加一组新元素后得到的判断矩阵R*=(RCDB)强保序的充要条件是:m∑k=1(ci,n+k-cj,n+k)=σ(n∑k=1rik-n∑k=1rjk)(1≤i,j≤n,σ为比例系数)n∑k=1(dn+i,k-dn+j,k)=η(m∑k=1bn+i,n+k-m∑k=1bn+j,n+k)(1≤i,j≤m,η为比例系数)由于用FPSM方法得到的排序公式,在形式上可以转换为多种排序方法的排序公式,所以用此排序公式讨论判断矩阵的保序性条件,即讨论了一类加性模糊互补判断矩阵的保序性条件,因此具有一般性的意