2022年中考压轴题汇编（五）

2022年压轴题汇编（五）贵州省安顺27．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OCM=∠EDM,∠COM=∠DEM∴△COM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线CD的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.∴.∴当y=0时，，.∴.贵州省毕节27、（2022•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．考点：二次函数综合题。分析：（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBM，得出BMBC解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴12∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴&4=2k+b&0=﹣k+b，解得：&k=43（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，∴△ABC∽△CBM，∴BMBC∴24∴PC=，P点坐标为：（2，）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．贵州省贵阳25、（2022•贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用。专题：应用题。分析：（1）先用含x的代数式（12﹣3x）÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．（2）用含x的代数式（12﹣4x）÷3=4﹣43（3）用含x的代数式（a﹣nx）÷3=a3﹣n解答：解：（1）AD=（12﹣3x）÷3=4﹣x，列方程：x（4﹣x）=3，x2﹣4x+3=0，∴x1=1，x2=3，答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；（2）AD=（12﹣4x）÷3=4﹣43S=x（4﹣43x）=﹣43x当x=﹣42×（﹣43）=3答：当x=32（3）AD=（a﹣nx）÷3=a3﹣nS=x（a3﹣n3x）=﹣n3x2当x=﹣a32×（﹣n3）=a2n时，答：当x=a2n时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是a点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值贵州省六盘水25、（2022•六盘水）如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。专题：综合题。分析：（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；（3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐标．解答：解：（1）据题意，△AOE≌△ADE，∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，在Rt△AOB中，AB=3设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，即22+x2=（4﹣x）2，解得x=32，∴E（0，在Rt△AOE中，AE=3（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，∴四边形PMND是矩形，∵AP=t×1=t，∴PD=3﹣t，∵△AMP∽△AED，∴PMDE∴PM=APAD∴S矩形∴S矩形PMND=当t=﹣32（3）△ADM为等腰三角形有以下二种情况：①当MD=MA时，点P是AD中点，∴AP=AD2=∴当t=3∴AF=AP=32，MF=MP=t2=34，∴OF=OA﹣AF=3﹣3②当AD=AM=3时，∵△AMP∽△AED，∴APAD∴AP3=335∴当t=6∵△AMF≌△AMP，∴AF=AP=655，FM=PM=∴OF=OA﹣AF=3﹣655，∴M（3﹣贵州省黔南州25、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.解：（1）由题意得OB•=∴B（-2，0）．（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得，∴，（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，∵△BCE∽△BAF，∴，∴CE==，∴C（-1，）．存在、如图，设p（x，y），直线AB为y=kx+b，则解得，∴直线AB为，S四BPOD=S△BPO+S△BOD=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|=，∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=-×2×|x+|=-x+，∴==，∴x1=-，x2=1（舍去），∴p（-，-），又∵S△BOD=x+，∴==，∴x1=-，x2=-2．P（-2，0），不符合题意．∴存在，点P坐标是（-，-）．贵州省铜仁25．如图7，在平面直角坐标系xOy中,一抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是（-4,0），点Q（x,y）是抛物线上任意一点.求此抛物线的解析式及点M的坐标；在x轴上有一点P(t,0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；在抛物线上是否存在点Q,使得的面积是的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标.解（1）因为抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2）故设其解析式为，则有，，得所以此抛物线的解析式为：因为四边形OABC是平形四边形，所以AB=OC=4，AB∥OC又因为y轴是抛物线的对称轴，所以点A与B是抛物线上关于y轴的对称点则MA=MB=2,即点A的横坐标是2，则其纵坐标=2，即点A（2,2），故点M（0,2）（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H则，因为PQ∥CM，所以所以ΔPQH∽ΔCMO，所以,即而，所以所以（3）设ΔABQ的边AB上的高为h，因为所以点Q的纵坐标为4，代入,得因此，存在符合条件的点Q，其坐标为.…….……..…..14分贵州省遵义27、（2022•遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．考点：二次函数综合题。分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴&9a+3b+3=0&16a+4b+3=1，解得：&a=12&b=﹣52∴点C的坐标为：（0，3）；（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°