2022年全国初中数学联合竞赛

2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.已知满足，则的值为（）（A）1.（B）.（C）.（D）.【答】B.解由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2022.【答】C.2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）解因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）3.设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（）（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形.故选（D）.4.已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）AECBDOH（A）30°.（B）45AECBDOH【答】C.解锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则选（C）.5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】A.解分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.易证△∽△，且相似比为，所以.所以.故选（A）.6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）解设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，，有2种可能，或；当时，，有3种可能，或或；当时，，有4种可能，或或或.因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.解∵，而，∴.又∵，而，∴.∴，∴.2.对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=解由根与系数的关系得，，所以，则，2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）＝.3.已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.ABCDEFGMN解延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.ABCDEFGMN4．若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是___17____.解设，，则，两式相减得，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.第二试（A）一、（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.解因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为…………5分由题意，，即，即………………10分由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）……………………15分2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）所以或……20分ABCDEFMNP二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.ABCDEFMNP证明设与交于点，∵…………………5分又∵………………10分∴,故…………15分又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF又∵ME∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.…………………25分三、（本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.解观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得…………5分因为是正整数，所以关于的方程（1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.……………………10分设（其中为非负整数），则，即.………15分2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）显然与的奇偶性相同，且，而，所以2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）或或解得或或而是正整数，所以只可能或……………20分当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.…………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.解因为一元二次方程的两根分别为和，所以；一元二次方程的两根分别为和，所以.………5分所以，（1）………………10分由题意知，，且（1）式对一切实数恒成立，所以……………………15分所以或…………………20分二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）解联立方程组消去得，即，分解因式得（1）………5分显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数，所以关于的方程（2）的判别式，它一定有两个不同的实数根.……………10分而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.设（其中为非负整数），则，即.……………………15分显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或…………20分当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.…………25分2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共8页）2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共8页）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.解联立方程组消去得＝，即，分解因式得（1）………………5分如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数，……10分而.所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负整数），则，即.………15分显然与的奇偶性