第5章 平面向量与复数 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

索索引引第五章平面向量与复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升知识诊断

基础夯实ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI1知识梳理1.平面向量数量积的有关概念数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos

θ

.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ

的乘积.索引2.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).索引3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θx1x2＋y1y2＝0a·b＝0|a||b|索引常用结论索引两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×√索引√×解析

(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以一定相等.2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝B

(索引)A.－14C.4B.－4D.14解析

由题意得a－b＝(－1，－3)，则(a－b)·a＝－1－3＝－4.B.－2CC.2A.－3D.3索引4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝则向量a，b的夹角为(

C

)设向量a，b的夹角为θ，索引索引6.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝

.解析

由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).索引考点突破 题型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXI2考点一 向量数量积的基本概念及运算A.2C.－6D.－18DB.－1b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.索引2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(D

)索引∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，－1索引索引解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解.(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.感悟提升索引考点二 向量数量积的性质及应用角度1 夹角与垂直例1

(1)已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为C(

)解析

设向量a和b的夹角为θ，因为a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，所以b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，索引(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(A.a＋2bC.a－2bB.2a＋bD.2a－bD)因此b⊥(2a－b).索引角度2 平面向量的模例2

(1)(2022·南昌模拟)设x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝(

A

)解析

因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1).因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，则b＝(2，－2)，所以2a＋3b－c＝(10，－6)，索引(2)已知a，b是单位向量且a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是

.解析

法一 由a·b＝0，得a⊥b.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.索引法二 由a·b＝0，得a⊥b.由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.索引索引感悟提升索引解析

∵a＋λb与b垂直，索引∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.训练1

(1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与)B.2C.－1D.1垂直，则λ＝(CA.－21又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，索引索引考点三 平面向量的综合应用角度1 平面向量与平面几何A.等腰三角形C.正三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形A所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.索引索引角度2 平面向量与解三角形例4

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin

A，sin

B)，n＝(cos

B，cos

A)，m·n＝sin

2C.(1)求角C的大小；解

m·n＝sin

A·cos

B＋sin

B·cos

A＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π，所以sin(A＋B)＝sin

C，所以m·n＝sin

C.又m·n＝sin

2C，索引解

由sin

A，sin

C，sin

B成等差数列，可得2sin

C＝sin

A＋sin

B，由正弦定理得2c＝a＋b.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos

C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.索引1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.坐标法：如果图形比较规则，可建立平面直角坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.感悟提升索引B解析

画出图形如图所示，分别以DC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，索引根据二次函数的性质可知，索引解析

法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，索引法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E(1，0)，C(a，b)，索引索引极化恒等式拓展视野一、极化恒等式极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.索引索引二、极化恒等式的应用A.1B.2C.3D.5A索引2解析

如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON.当且仅当O，N，M三点共线时取等号，索引3.求模长例3

已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0则|c|的最大值是(C

)D为线段AB的中点，索引D索引当点P在AD的延长线与圆的交点处时，索引3

分层训练 巩固提升FENCENGXUNLIAN

GONGGUTISHENGA级基础巩固A索引1234567891011121314)索引1234567891011121314A.3

B.2

C.－2D.－3解析

由题意得a－λb＝(1＋λ，1－3λ).又∵(a－λb)⊥c，c＝(2，1)，∴(a－λb)·c＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0，∴λ＝3.82.设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于A

(A.11D.－11DB.10

C.－10解析

以A为坐标原点，建立直角坐标系如图.索引1234567891011121314解析

设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，4.a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()B索引1234567891011121314C索引12345678910111213146.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(2b－c)＝0则|c|的最大值是(C

)解析

∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且(a－c)·(2b－c)＝2a·b－c·(a＋2b)＋c2＝0，∴c2＝c·(a＋2b)，∴|c|2＝|c|·|a＋2b|cos〈c，a＋2b〉，∴|c|＝|a＋2b|cos〈c，a＋2b〉∵cos〈c，a＋2b〉∈[－1，1]，索引12345678910111213147.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝

解析

由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，索引12345678910111213142索引1234567891011121314索引12345678910111213143解析

以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于BC＝2，AD＝1.∴C(2，0)，D