子主题四有理数与无理数的发展历史(精)

七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载子主题四有理数与无理数的发展历史学习目标知识与技能通过一系列的探究活动，了解有理数的发展，会进行有理数的分类．并通过查阅资料、折纸、拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．进一步理解数的本质属性，破除对无理数的神密感与畏惧感．过程与方法探讨有理数的产生、应用，借助计算器探索圆周率是无限不循环小数，并从中体会无理数的本质属性与无限逼近的思想，感受数学对事物量的刻画从粗放到精细再到精准的变化过程，体验数学表达事物的特有的方法（说不清的事物，不便于表达的事物引入概念用符号表示出来，再为其建立一套法则）．情感态度与价值观通过经历探究活动，获得解决实际问题的成功体验；培养现代社会学习、生活、工作、研究应具备的基本态度和交流合作意识．由数的发展过程的变迁感受人类在面对问题时，那种不断追问、不断追求、不断创造的求索精神．树立用符号表示事物的信心．重难点分析重点查阅文献和资料，探究有理数产生、分类和发展过程。了解有理数和无理数对数学的作用，进一步理解有理数本质属性．难点理解无理数产生的背景，以及对无理数的本质属性的认识．探究数的发展历史不仅可以使学生对数的产生和发展有一个初步的认识，同时，也有利于学生更深刻地理解有理数、无理数的意义与价值，形成科学的学习态度，因此，探究有理数和无理数的起源、发展及作用及其本质属性成为这一子主题的重点．由于无限不循环小数的产生与学生的实际生活联系不太密切，且极易与无限循环小数产生混淆，还有，一些历史资料学生阅读起来比较困难，因此，探究无理数产生的背景及其本质属性成为这一活动的难点，建议老师在活动中要进行必要的指导和示范，同时，对学生搜集到的资料要根据学生的认知水平进行适当地解释和说明，以帮助学生更好地理解和使用资料．活动建议方案《有理数与无理数的发展历史》活动建议方案一、活动流程框图二、活动过程活动任务探究有理数的概念、意义、作用、地位；探究无理数的产生与价值，及有理数与无理数联系与区别，揭示其本质属性．本探究子主题设计以下三个活动：2.2活动1：有理数的分类活动内容明确探究任务任务一：查阅关于有理数产生、分类的资料，并提出自己的想法与困惑．任务二：探究有理数产生的过程，及有理数名称的由来；任务三：探究已学过的数哪些是有理数，试给出有理数的定义，理清你所学过的数与有理数之间的关系．分组探究：学生分组对任务进行探究，教师在学生完成任务探究之后组织进行交流和汇报，每项任务分别选择两个小组进行汇报，其他组进行完善与补充．参考资料1.有理数的产生很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和河里的鱼，终年靠狩猎为生．那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题．开始，人们只是以“多”和“少”来区分．渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数．因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平．再后来．狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数．又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳”不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字．例如，在殷墟的甲骨文中，有许多数字（参见《中国数学的世界之最》一文）．在国外，大约在公元8世纪，有一种印度的数字传入阿拉伯，它们是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10．这种数字后来又由阿拉伯人传入欧洲，被欧洲人称作阿拉伯数字．这些数字符号，在使用过程中又经人们不断改进，最后演变成现在我们所使用的数字．数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便．但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创造了十进制记数法以后，才最终得到圆满的解决．打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获两只羊，如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、“五分二”；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”“五分之二”……《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100-50）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年．我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代数学家刘徽（公元前3世纪）的原话．人类对0的认识比较晚．打不到野兽，空手而归，这是最初对“0”的印象：空虚、饥饿、一无所有．在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示.后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现在的“0”了．正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的．”在小学数学中，算式“2-3”给我们的印象是不够减．但学习了有理数的知识后，我们就能解决这个问题了．有理数包括正数、负数和0．正负数的概念也是从生产实际的需要中产生的．生产发展了，人们的财富多起来，促使人们“互

通有无”，进行交换．于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念．负数是相对于正数而言的．正数和负数既相互对立，又相互依存．我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件重大创造．正有理数正整数

正分数正有理数正整数

正分数'正整数整数分数、负整数或有理数qo分数、负整数或有理数qo正分数负分数负有理数负整数

负分数注意：有时为了研究的需要，整数也可以看成是分母为1的分数，但上面分类中分数显然不包括整数．到现在为止，我们学过的数（除n之外）都是有理数.在自然数中，零表示一个物体也没有，引入负数后，我们知道零是正、负数的界限，表示“基准”的数，是一个实际存在的数量，从这个角度讲，有理数还可以分成正有理数、零、负有理数．活动组织方式本探究活动采用查阅资料、小组合作的探究，集体交流的形式．教师先提出活动任务，学生在课前查找资料；教师组织学生课上进行分组交流和探究，各组完成探究后再进行全班交流．活动评价方式三个活动全部结束后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评，互评和教师评价．学生根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己的探究过程和结果进行自评与互评；教师根据学生的汇报和交流的情况，参考学生的自评与互评结果，以及学生完成的小论文对学生进行评价．所需学习资源2008年我国主要经济数据.doc有理数的产生.doc有理数名称的由来.doc有理数的分类.doc数域的扩充（D.jpg数域的扩充（2）.jpg数域的扩充（3）.jpg2.1.5所需学习时间15分钟．2.3活动2：有理数的发展活动内容探究有理数的发展和有理数的应用．明确探究任务任务一：查阅关于有理数发展与应用的资料，并提出自己的想法与困惑．任务二：探究有理数的发展经历了哪些主要阶段、有哪些典型问题与代表人物；任务三：探究有理数的主要作用，及在应用方面的著名的、有趣的问题．分组探究：学生分组对任务进行探究，教师在学生完成任务探究之后组织进行交流和汇报，每项任务分别选择两个小组进行汇报，其他组进行完善与补充．活动组织方式本探究活动采用查阅资料、小组合作的探究，集体交流的形式．教师先提出活动任务，学生在课前查找资料；教师组织学生课上进行分组交流和探究，各组完成探究后再进行全班交流．活动评价方式三个活动全部结束后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评，互评和教师评价．学生根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己的探究过程和结果进行自评与互评；教师根据学生的汇报和交流的情况，参考学生的自评与互评结果，以及学生完成的小论文对学生进行评价．所需学习资源九宫图的拓展.doc算24的技巧.doc算“24点”游戏的由来.doc玩“24点”游戏.doc维纳的年龄.swf计算山的高度.swf英超足球积分榜.jpg刘徽的割圆术邮票.jpg二角形的面积.swf兀次方程的解法.doc2.3.5所需学习时间15分钟．活动3：介绍无理数2.4.1活动内容通过探究，使学生知道无理数产生的实际背景和引入的必要性．明确探究任务：任务一：查阅关于无理数的产生与价值方面的资料，并提出自己的想法与困惑．任务二：探究无理数产生的实际背景和引入的必要性．任务三：探究无理数与有理数联系与区别．分组探究：学生分组对任务进行探究，教师在学生完成任务一的探究之后组织进行交流和汇报，选择两个小组进行汇报，其他组进行完善与补充．任务二、任务三完成选择相应的小组直接交流下列问题，这样可操作性更强，学生的探究不会流于形式．学生实际探究时将任务二与任务三细化下列一些问题：1．真的存在无理数吗？2．无理数是怎样发现的？3．无理数是什么样子？4．我们学过的数中有无理数？5．为什么它不是有理数?怎样证明它是无理数?6．为什么叫这个名字?7．无理数与有理数有什么联系与区别?8．为什么要学无理数?9．我们能象写有理数那样举出无理数吗?10．关于无理数有哪些有趣的、著名的问题？参考资料圆周率古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数．历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取n=（¥）"4=3.1604.第3一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+10）VnV（3+1）,开创了圆周率计717算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的n值.中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得n的近似值，也得出精确到两位小数的n值,他的方法被后人称为割圆术.他用割圆术一直算到圆内接正192边形.南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的n值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个35522近似分数值，密率竺■和约率丄.其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托1137得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率.阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录.德国数学家柯伦于1596年将n值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数．无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种n值表达式纷纷出现，n值计算精度也迅速增加.1706年英国数学家梅钦计算n值突破100位小数大关.到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了n的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录．电子计算机的出现使n值计算有了突飞猛进的发展.1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算n值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数.1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和IBM—VF型巨型电子计算机计算出n值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录.至今，最新纪录是小数点后12411亿位.除n的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家.1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明n是无理数.到1882年德国数学家林德曼首次证明了n是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的“化圆为方”尺规作图问题.还有人对n的特征及与其它数字的联系进行研究，如1929年苏联数学家格尔丰德证明Ten是超越数等等.活动组织方式本探究活动采用查阅资料、小组合作的探究，集体交流的形式.教师先提出活动任务，学生在课前查找资料；教师组织学生课上进行分组交流和探究，各组完成探究后再进行全班交流.活动评价方式三个活动全部结束后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评，互评和教师评价.学生根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己的探究过程和结果进行自评与互评；教师根据学生的汇报和交流的情况，参考学生的自评与互评结果，以及学生完成的小论文对学生进行评价.2.4.4所需学习资源祖冲之.jpg刘徽.jpg根号2存在吗？.swf关于根号2的图片（1）.jpg

关于根号2的图片（2）.jpg关于根号2的图片（3）.jpg勾股定理的证明图（1）.jpg勾股定理的证明图（2）.jpg《几何原本》中的勾股定理证明.jpg圆周率的历史.doc圆周率小数点后21500位数字.doc世界上最无趣的书与背圆周率的人.doc计算器.swf数的发展.swf2.4.5所需学习时间10分钟.媒体资源学习评价分过程性评价和效果性评价两种.过程性评价“有理数与无理数的发展历史”过程性学习评价表评价内容是/否1我在小妲探究前查阅了相关的资料提出了自己担法.2我右个绢探究叶思考了需琴探究的'可题，并有自己解答一£我们个绢耳探究中能够不胖总结埠验和教训，聚集探究万向.<1我们个绢內每貧反员都梶出了自己內意瓦，探究活动是齐耐顾取丈康意见的基础上进行的.折们八圮对白己的探究过程进行了今坯性分析可平价，对自己得到的现点鼎支有信心•效果性评价“有理数与无理数的发展历史”学习效果评价表评价内容是/否1我们小组对所提出的问题找到了相关的资料.2我门小组技到的资料和得刮旳结论□最后全班讨论得到的共讥比较捋iH.3栽门，卜组世屁r一吐梯