多物品多周期批量库存的优化控制

多物品多周期批量库存的优化控制摘要本文分两大部分,主要创新点如下:（1）考虑产品质量价格服从指数分布的EOQ模型，分析年利润受产品质量的影响，并在模型中考虑了按Taguchi方法计算质量损失成本。通过研究发现运用Taguchi方法的年平均利润比经典EOQ模型中求得的结果低，而最优订购量要高于经典EOQ。最后指出了该模型在生产实际中的应用。（2）对于多层次多周期库存问题，建立了一个带有多重约束条件下的控制系统模型，同时考虑了折扣、利息等因素，其目标是找到库存系统的最低消耗成本。虽然需求率在一个周期内是确定的，但不同周期内的需求率数值不同。为了更接近于实际，模型还包含了空间、预算资金和订货量限制。但模型是一个NP难题，本文采用遗传算法来求解这个问题，但为了确定参数的值，又引入了分枝定界方法和模拟退火算法。为了使算法更加有效，我们应用Taguchi方法和Minitab软件对遗传算法和模拟退火算法中的参数进行调优。本文最后通过算例图表对模型进行了简单的分析。关键词：EOQ；最优订购；多物品多周期库存；缺陷产品；Taguchi成本Theorderingitemsinmulti-itemmulti-period

inventorycontrolsystemsABSTRACTThepaperincludetwoparts:(1)WeconsidertheproductqualitytoobeyexponentialdistributionofEOQmodelapplyingofTaguchimethod.Thepaperanalysistheprofitoftheyearinfluencedbytheproductquality,andconsidertocalculatethemasslostcostusingtheTaguchimethodinthemodel.Throughthestudy,wefoundthattheannualaverageprofitgivenbyTaguchimethodislowerthantheresultsgivenbyclassicalEOQmodel,butoptimalorderquantitygivenbyTaguchiishigherthanbytheclassicalEOQmodel.Finally,thepaperpointedoutthemodel'sapplicationofactualproduction.(2)Amixedbinaryintegermathematicalprogrammingmodelisdevelopedinthispaperfororderingitemsinmulti-itemmulti-periodinventorycontrolsystems,inwhichunitandincrementalquantitydiscountsaswellasinterestandinflationfactorsareconsidered.Althoughthedemandratesareassumeddeterministic,theymayvaryindifferentperiods.Thesituationconsideredfortheproblemathandissimilartoaseasonalinventorycontrolmodelinwhichordersandsaleshappeninagivenseason.Tomakethemodelmorerealistic,threetypesofconstraintsincludingstoragespace,budget,andorderquantityaresimultaneouslyconsidered.Thegoalistofindoptimalorderquantitiesoftheproductssothatthenetpresentvalueoftotalsystemcostoverafiniteplanninghorizonisminimized.SincethemodelisNP-hard,ageneticalgorithm(GA)ispresentedtosolvetheproposedmathematicalproblem.Further,sincenobenchmarkscanbefoundintheliteraturetoassesstheperformanceoftheproposedalgorithm,asimulatedannealing(SA)algorithmareemployedtosolvetheproblemaswell.Inaddition,tomakethealgorithmsmoreeffective,theTaguchimethodisutilizedtotunedifferentparametersofGAandSAalgorithms.Attheend,somenumericalexamplesaregeneratedtoanalyzeandtostatisticallyandgraphicallycomparetheperformancesoftheproposedsolvingalgorithmsKeywords:EOQ;optimalreplenishment;multi-itemmulti-periodinventory;defectiveproduct;Taguchi'squalitycost目录TOC\o"1-5"\h\z第一章绪论11.1研究现状11.2本文内容3第二章指数分布型EOQ库存问题的优化控制52.1符号含义52.2模型建立52.3与经典EOQ模型的对比72.4数值例子82.5结论9第三章多物品多周期库存问题的优化控制103.1前言103.2符号和假设103.3模型求解143.3.1遗传算法14模拟退火算法15参数调优163.4结论和未来的研究工作16第四章研究中的不足和进一步研究的方向18参考文献19图表清单TOC\o"1-5"\h\z图2-1库存水平时间图6图2-2R关于0和Z的函数图8图2-3管状构件示意图8图3-1库存水平变化图11表3-1本文所用GA参数15表3-2本章所用SA参数15表3-3最佳定购量和目标函数值（GA）15表3-4最佳定购量和目标函数值（SA）16#第一章绪论1.1研究现状为了保证供应和维修的连续性和均衡性，企业必须储备一定数量的物资，这就是库存。库存数量过多，不仅要占用大量的仓库面积，还可能由于长期积压而使物资损坏变质，造成浪费；数量过少，由于需求的随机波动及供货单位交货时间的不确定性，很可能发生供不应求的现象，给生产维修带损失，因此必须加强对库存的科学管理。经典EOQ(economicorderquantity)是指经济批量订货模型又称整批间隔进货模型。自从Harris^]引进经典EOQ模型以来，已在各领域中得到了广泛的应用。但是，在经典模型中存在许多假设与实际脱节，如没有考虑到库存质量，即在经典EOQ中假设库存和生产线上没有缺陷。近十年来，考虑库存质量的EOQ模型被广泛研究，其中代表人物有Porteus[i，2]，他倡导将保质的概念引入到生产系统中。Rosenblattt和Lee指出缺陷产品会减少售货量[3]。Rosenblattt和Lee中考虑了在生产过程中降低不可控因素影响[4]。Tpaiero应用最优成本检查策略对制造业成本作了改进[5]。Fine用随机动态模型描述最佳检查策略[6]。Fine和Porteus研究了更小的潜在随机投资时间[7]。Chand把人类学习引入到模型中[8]。Chengp把生产过程的可靠性引入经典EOQ[9,10]。Hong等研究了投资和产品质量之间的关系[11]。Salameh和Jaber考虑了生产或收货含有缺陷产品的情形[12]。Taguchi方法计算质量损失成本已被Taguchi和Wu在文献[13]提及。Taguchi方法的实质是‘产品在整个使用寿命周期内社会总损失最小'Ml。介绍Taguchi方法的典型例子是福特汽车公司和马自达公司合作制造变速器的文献[15]。福特公司联合马自达公司为它在美国的新车型制造一种新变速器。并要求马自达公司按规格标准对产品进行检验。福特新车型发布一段时间后，按福特公司的产品规格标准，发现福特生产的齿轮箱方差比马自达应用Taguchi方法生产的齿轮箱方差大。尽管福特生产的齿轮箱都符合规格，但却付出了高昂的代价。传统的多种物品库存模型都没有考虑资源约束的限制，比如Goyal[i6](1973)和Kaspi[i7](1983)以及Roundy[18](1985)等。然而有限资源和约束在实际中总是存在的，因此，从20世纪80年代以来，许多研究者已经在着力于研究带资源约束的多物品库存问题，比如Pirkul[19](1985)等，Bretthauer[20](1994)，Guder[21](1995)等提出了带有单种资源约束的多物品库存模型；Guder[22](1999)和Haksever[23](2005)等则分别发展了带多种资源约束的多物品库存模型，并给出了寻求近似固定值的最优解的启发式算法。近年来，不少研究者对多物品联合订购问题做了进一步的推广，Li[24](2004)等将单销售商多物品联合订购问题推广到多销售商多物品订购问题，并利用一种新的启发式算法给出了多销售商多物品联合订购问题的最优解。Variaktaraki425](2000)建立了一个带有有限资金约束的多物品Newsboy模型，在该模型中，他将物品的需求处理成两种形式，一种是具有连续的均匀分布，另一种是具有离散分布，对于涉及均匀分布需求的问题，他发展了一个线性时间复杂度的最优算法，同时他证明了带有离散分布需求的问题是一个NP难题，但利用动态规划方法是可解的。上述多物品联合订购模型都假定物品是非变质的，作为进一步的推广，Bhattacharya[26](2005)考虑了产品具有易变质性的多物品联合订购问题。关于多物品的生产批量模型的研究目前主要集中在以下几个方面：一是单台设备上加工多种产品的经济生产批量计划问题，这类问题简称为ELSP(economiclotschedulingproblem)Rogers[27](1958)首次建立了一个关于多物品ELSP的模型，并提供了在给定计划期内需求多种产品的最优生产方案；随后，许多研究者在Rogers(1958)的基础上提出了寻求最优生产指策略的更好的算法。Bomberger[28](1966)利用动态规划方法来求解多物品ELSP。Doll[29](1973)发展了一个求解多物品ELSP的启发式算法，Haessler[30](1976)提出了一个改进的启发式算法解多物品ELSP.Elmaghraby[31](1978)给出了多物品ELSP的综述并提出了一个改进的基本周期法模型。Bomberger(1966)的算法又以此做了进一步的改进，给出了最优周期数的搜索范围，利用经范围可以大大改善Elmaghraby所提出的算法的效率。Dobson[32](1987)假定生产装配费用与装配次数相关的前提下，发展了一个解决允许生产批量和共同订购周期随时间变化的多物品经济生产批量计划模型；Bretthauer[33]等(1994)提出了一个更为一般的多物品ELSP模型，并运用分枝定界法获得了最优解。Bretthauer等(1994)分析指出Elmaghraby(1978)的模型实际上是他所建立模型的特例，而且运用分枝定界法比启发式算法效率更高；Gallego[34](1997)指出多物品ELSP实际上是一个NP难题；Yao[35](2001)在不考虑生产能力限制的前提下，采取2的幕次方订购策略建立了多物ELSP的模型，并且指出了模型中的目标函数是一个分段凸函数；WagneH36](2002)建立了一个带有产品装配顺序依赖的多物品ELSP的模型，并给出了一个求解模型的启发式算法；Cooke[37](2004)同样考虑了产品装配时间和费用依赖产品牟多物品ELSP；Yao和Huang[38](2005)将产品的易变质因素引入到多物品ELSP中，并利用2的幂次方订购策略来分析多种易变质物品的ELSP；Chang[39]等(2006)则探讨了模糊需求下的多物品ELSP；Bayindir^o]等(2006)则考虑了带有可变生产费用的多物品联合生产订购问题；Salvietti则在假定需求依赖价格的前提下，研究了多物品ELSP，给出了各产品最优销售价格和生产指联合确定的求解算法。二是多设备并行加工多种产品的生产批量问题。例如Garreno[41](1990)首次给出了多设备并行加工多种产品的生产指问题和一个非线性混合整数规划解法，Dellaert[42](2000)等给出了解决该类问题的一个遗传算法。张岩和顾培亮也提出一个并行加工经济指问题的最优算法，只不过他们仅考虑单一产品。三是多设备串联系统加工多产品的生产指问题，比如Billingtons等(1994)将Karami[44](1992)提出的多设备串联系统上加工单产品的生产模型扩展到了加工多种产品的情形•Hung[45](2000)则进一步给出了一个更复杂的多产品加工生产批量模型，该模型对生产结构不加限制，可应用于更复杂的制造环境，但这些模型研究的都带有定常需求和生产率的确定性静态生产环境。多层库存控制问题是库存控制理论中另外一个复杂而又迫切需要解决的问题，在近二十年来，引起了众多企业和研究者的关注。许多研究者从不同的角度建立了多层联合库存控制模型。在已有的多层联合库存控制模型中，对于需求和前置期的处理分两种情况：一种是确定性情形，比如Goyal和Banerjee[46](1986)将供货商与销售商联合起来考虑，建立了一个批对批的供货模型。在该模型中，供货商的每次供货被分开来考虑。Goyal[47](1988)指出如果供货商在一个生产周期内生产量是销售商所订购批量的整数倍，那么此供货商与销售商联合生产库存系统一般来说能够取得较低的平均总费用，但是他在模型中假定了供货商将一个生产周期内销售商所需的全部量生产完毕后，才向销售商供货。随后Yang[48](2002),Zhou和Wang(2007)，王圣东等[49](2007)在放宽了模型中的假定的前提下，分别建立了不同的两层联合系统的库存控制模型；另一种是随机情形，比如Federgruen和Zipkin[50](1984)建立了一个单供货商多个销售前几年两层库存工，在其模型中，假定所有的零售商都具有相同的单位库存费用和单位短缺费用，并用所有零售商的需求都相互独立且服从正态分布；Zipkin(1984)同样考虑了单供货商多个销售商的两层库存系统联合运作问题，并且提出了一个平衡各个零售商之间的库存的方法；Jonsson和Silver[51](1987)则指出当供货商处有一定量的库存可以给系统带来更大的利润。Taguchi方法[52]是以实验手段来决定设计参数，为了减少实验次数，依控制因子及其水准的数目选用适当的实验直交表，设计的目标是寻求最佳的产品(或制程)机能(性能)，并且维持此一机能的稳健性(鲁棒性)，变即受干扰因子的影响减至最少。Taguchi方法步骤：1、选定适当的直交表，并安排完整的实验计划；2、执行实验，记录实验数据；3、资料分析；4、确认实验；5若有必要，可以重复以上实验，直到达到最佳品质及性能为止。1.2本文内容本文内容共分四部分，第一章介绍研究现状，第二章介绍田口劣质成本法在单周期单物品库存中的应用，第三章介绍Taguchi方法在多物品多周期库存控制中的应用，第四章作总结以及阐明未来研究的方向。第二章应用Taguchi方法考虑由品质特性决定的工艺品规格服从指数分布的EOQ模型，在此分析年利润受产品品质特性的影响，在模型中考虑了按Taguchi方法计算质量损失成本。通过Taguchi方法分析发现文中年平均利润比经典EOQ模型中求得的结果低，而最优订购量要高于经典EOQ。并进一步指出了模型在生产实际中的应用。第三章建立了一个带有多重约束条件下的多层次多周期库存控制系统模型，同时考虑了折扣、利息等因素。虽然需求率在一个周期内是确定的，但不同周期内的需求率数值不同。为了模型更接近于实际，还包含了空间、预算资金和订货量限制。目标是找到库存系统的最低消耗成本。但模型是一个N-P难题，我们采用遗传算法解决这个问题，但为了对比，又引入了模拟退火算法。为了使算法更加有并效，我们应用田口方法对不同参数在遗传算法和模拟退火算法中进行参数调优。本文最后通过算例图表对建立的模型进行分析。第四章主要对本文做了总结和本文的不足,以及下一步研究的方向第二章Taguchi方法在指数分布型EOQ中的应用经典的库存模型大多没有考虑变质或残次品可以打折售卖,Taguchi方法讲述这样一个简单道理：当品质特性与消费者期待值(目标值)一致时，消费者不满意度是最低的，换句话说，品质损失是最小的。当品质特性开始偏离目标值时，消费者的不满意度也开始提高——品质损失开始增加。本文考虑的EOQ模型受产品质量影响的产品实际价格服从指数分布。其中缺陷产品被淘汰。合格产品保留，并打折出售，折扣按Taguchi方法确定。2.1符号含义c：单位产品成本d：筛选单位产品所耗费成本p(x)：指数分布G：Taguchi方法损失参数h：单位时间单位产品的库存成本K订购费L(X):单位次品损失费LSL:合格产品规格值的容忍下限N：需求率e：产品不合格率S：单位合格产品售价USL:合格产品规格值的容忍上限X：由品质特性决定的实际产品规格值y：每周期内订购量乙筛选产品的速度蛀：最优产品规格值2.2模型建立假设瞬时供货，每个库存周期为订购量为y。每单位购买价格为C,固定成本为K。假设次品率为e。由品质特性决定的实际产品规格值跟最优产品规格值之间的误差服从指数分布p(X)[16]，当实际产品规格与标准产品规格之间有误差时使用Taguchi方法来确定此误差造成的损失，单位时间内有Z单位合格产品被筛选出来,达标产品将被保留按照Taguchi方法出售。缺陷产品的价值等于其原材料成本。p(X)二e-p(X)二e-^X,<0,X>0,X<0,Wp(X)dX=1—g根据文献［13］中定义的Taguchi质量损失函数L(X)L(X)二G(X—卩)2;LSL<X<USLtL(X)二c;X<LSL,X>USL.G：Taguchi损失参数G二c/U2U二(USL—卩)二(卩—LSL).tt在本文的模型中库存水平变化如图2.1,T是周期长度，yO是次品量，t是在周期T内筛选次品所占用的总时间。T二yI)N.假设每周期总收益是TR(y)，成本是TC(y)，利润是TP(y)，那么有TP(y)=TR(y)-TC(y).(2.1)库存水平随着时间的变化如下图1所示：平水存库可平水存库可图2-1库存水平时间图总成本包括：周期内购买成本cy，筛选成本dy订购费K和周期内库存费公式y(1—9)T0y2TC(y)=cy+K+dy+hx(-+子).(2.2)Z总收益是合格品的销售收入，总收益公式如下：TR(y)=yfUSLp(X)(s—L(X))dXLSL=ysf竹(x)dx—yfUSLp(X)L(X)dX.(2.3)据上，次品率0与合格率之间有如下关系式1—9=fUSLp(X)dXLSL在标准误差范围内，Taguchi质量损失成本等于G(X-卩)2同样可以表示为tL(X)二G(X—卩)2；LSL<X<USLt

由此利润可用公式表示如下TP(y)二ys(1-0)-yfUSL九e瓜LSLxG(X-p)2dX.(2.4)t这个函数可以解释利润等于总收益减去次品造成的损失，总收益可用公式表示如下TP(y)=ys(l—0)—yfUSLXe-^xxG(X—卩)2dXLSLt—(cy+K+dy+hx(y(1；0)T+字))(2.5)每周期的单位产品利润可用公式表示如下NxTP(y)TPY(y)=F?=Ns-爲fusl=Ns-爲fuslXe-XxxG(X-p)2dX1-0LSLtNcNKNdyh(1-0)

-(+++

(1-0)y(1-0)(1-0)20hNy+)(1-0)我们可以通过对(2.6)式求导数证明是其为凹函数。TPY'(y)二二-心y2(1-0)2TPY〃(y)=-2N<0y3(1-0)通过以上步骤可发现存在最优值公式丄0hN+Z(1-0)2.8)2.6)2.7)2.9)2.9)h(1-0)2+0hN注意当e=o时(2.10)上式即为经典EOQ模型。2・3与经典EOQ模型的对比从产品生产到流通的全过程我们已经进行检查，由品质特性决定的实际产品规格服从指数分布，合格品被筛选保留并按Taguchi方法打折销售。在这些前提条件下，假设模型中的最优成本和经典模型中的最优成本之比为R,则R的值如下

R=y*yR=y*y**NKh（i-e）2ehN2+~Z：2NK

h~\Z（1-0）2+20N从式（11）中我们可以把R看作z、0和N的函数，假设Z>0且Z>N。这意味着筛选率大于0而且大于需求率（成品都将被检查）。我们假设次品率低于0.7，基于上述分析。我们可以得到R>1即y*>y**，这意味着本文建立的模型最优订购量高于经典EOQ模型。从图2（N=10时）我们可以得到R的值随0增加而减少，随Z增加而增加。图2-2图2-2R关于0和Z的函数图2.4数值例子某工艺品厂现生产某种规格的木雕笔筒出口，产品构件为管状（见图2），该构件各项参数如下，单位产品成本c=5¥/个；筛选单位产品所耗费成本d=1¥/个；单位时间单位产品的库存成本h=4¥/个.年；订购费K=100¥；管壁厚度最小规格LSL=0.1cm；管壁厚度最大规格USL=0.9cm；需求率N=20000单位/年；单位合格产品售价s=24¥/个；筛选产品的速度Z=2/min=1051200/年；X〜Exp⑴,其中九=0.5；图2-3图2-3管状构件示意图按照前面分析可计算出次品率如下：0=1-jo-9O.5e-o-5xdX=0.68640.1

20000xlOO420000xlOO4x(1—0.6864)2*0.6864x4x200002x365x24x60=2834把y*代入公式(2.6)可求出每年最大盈利为:TPY(2834)TPY(2834)=20,000x24-2834x(1—0.6864)xfxf0.90.5e-0.5xx0.1(X—0.5)2dX(20,000x520,000x100—(+(1—0.6864)2834(1—0.6864)+20'00°"+2834x4x(1一°.6864)(1—0.6864)20.6864x4x20,000x2834)+2x365x24x60x(1—0.6864))=92729¥/年而在经典EOQ假设下：y**=1000,TPY**(1000)=376000¥/年。通过Taguchi方法分析发现算例中年平均利润比经典EOQ模型中求得的年平均利润低，而最优订购量却高于经典EOQ,从而说明当产品有缺陷时经典EOQ求得的最优定购量偏离实际。2.5结论本文考虑一类由品质特性决定的实际产品规格服从指数分布的EOQ模型,在模型中引入管理学中著名的Taguchi方法.考虑带有Taguchi成本损失下的最优成本.通过分析我们发现次品数量影响单位产品利润，最优成本随着需求的增加而增加,随着次品率的增加而下降.并通过实际算例把本文模型和经典EOQ对比检验.为企业库存决策提供有价值的参考。第三章多物品多周期库存问题的优化控制3.1前言经济批量定货模型是最早应用于解决生产库存问题的，但是这种经典的库存模型里有许多假设远离实际生活。近年来的库存模型研究了多项目多周期在含有通用的时值影响下的情形，Das等［53］研究了一个恒常需求率下确定补货周期不允许短缺的库存模型，Silver^］研究了约束条件下的确定需求率的制造业模型。Kirkpatrick^］应用数学软件解决多周期的库存问题，许多学者研究了含有变质的库存问题。Kim［56］用拉格朗日常数法和线性规划方法解决了多周期库存问题。Goyalm］又把上述方法拓展为含有变质的情形。Pandas］应用非线性规划方法解决了多周期库存问题，更多的学者开始研究多周期形式下的报童问题。量折扣问题一直以来是协调供应商和销售商的方法之一。这里我们简要叙述下：Chandra。9］利用分段线性松弛方法解决了不同前置期含打折的库存问题。MaitiWO］研究了易碎品多周期增量折扣的库存问题。Taleizadeh［6i］在随机补货全量折扣下研究了多产品多约束的混合整型非线性规划库存模型。Taleizadeh［62］应用模糊数学和启发算法对前者模型进行了拓展。Sana［63］把上述模型推广到延期支付和价格折扣情形下。遗传算法在不同区域已有广泛应用，比如库存分类Guvenir［64］、含有打折的多项目库存［23］、库存选址以及供应链管理Melo［65］。Mondal［66］发展了一个多项目模糊EOQ模型，Maiti［67］研究了含有残缺的情形。上述模型都用遗传算法解决数学模型。模拟退火算法在解决更复杂的问题上有更广泛的应用，相关文献有Pasandideh［68］、Taleizadeh［69］。既然多产品多周期库存与理论脱节，于是我们这篇文章主要是一步一步打破传统假设。文献Pasandideh［70］解决理论的实用性问题，模型建立在需求为变量的多产品库存系统，考虑空间，资金、订购量的限制，还有增量折扣。这些因素的添加增加了模型的实用性同时也增加了模型的难度，我们的目标是使库存系统单位时间单位净成本最小。但这个模型是N-P难题。我们用了启发式算法中的遗传算法和模拟退火算法以求解数学模型。另外，为了让运算结果逼尽现实，本文应用田口方法调优算法中所使用的参数。最后，用算例和图表对算法得到的结果进行分析和说明。本章安排如下：第二节是本文用到的符号和假设，第三节给出了数值例子，第四节讨论了启发式算法，第五节对各参数进行了调优。3.2符号和假设考虑到一个公司储存的不同货物在一个确定库存期内的N个周期对顾客来说可能有不同的需求率。初始库存为零。每周期内只能进行一次订购且订购量有限。言下之意单位订购量不允许拆分。根据定购量进行全量打折和增量折扣。另外，系统不允许短缺，库存空间，资金有限。目标是寻找满足约束条件且使库存系统成本最低的订购量。符号说明如下：2.1符号T:第j个补货周期m:物品种类数N:周期数Dij:物品i在第j(以年为单位)周期的需求率H：单位物品i单位时间库存费iM:极大数O:物品i在前置期的订购费iB:订购物品i的批量大小i:物品i在第j个周期内的批量数目Q,:物品i在第j个周期的订货量(Q,=VB)i,ji,jijiK:价格折扣间断点数目qi,k:第i个产品第k个折扣断点S:可用库存空间si:单位产品i的库存所需空间ipk:基于定购量2.)的价格折扣的项目i的在价格断点k进货成本。P:第i个单位产品在周期初的进货成本。.TO:总的订购费TH:总库存成本TC:库存总花费C:总的可用资金预算M1：Q的上界10):项目i在时间t的库存水平(T<t<T1)ijj+lX.J:项目i在第j个周期的期初存货(j=l所有项目的初始库存水平为0)U::二元决策变量；第j个周期在价格断点k购买项目i时的值为1,其他情况为ijk0W..:二元决策变量；第j个周期购买项目i时值为1,其他情况为0ij图3-1库存水平变化图如上图1,第i项物品库存水平在第j+1个周期内等于它的存货加上订购量减去需求量。TOC\o"1-5"\h\zX二X+Q-D(3.1)i,j+ii,ji,ji,j库存控制的成本问题包括总的购买成本费,总库存费,总订购费TC二TO+TH+TP(3.2)使用二元决策变量W其值在第j个周期购买项目i时为1,其他情况为0i,jTO上N-1OW(3.3)ii,jj=1/、为获得总的成本库存费，我们首先要计算I.(t)在T<t<T时。由边界条件ijj+1IVT)=X+Q得下式iji,j+1i,j+1I(t)=(x+Q)-DC-T)(3.4)ii,ji,ji,jj因此项目i在［T,T］的库存总成本值为jj+1HIT+1(t为t(3.5)将(3.4)代入(5)式得到区间［T,T］内的项目i的为jj+1茧NH［(X+Q)(t-T)—1D(t—T(3.6)ii,ji,jj2i,jji=1j=1与全量折扣和价格折扣相关的购买成本由以下两部分构成：全量折扣下的购买成本可由公式(3.7)得出IP；0<QqTOC\o"1-5"\h\zTi1iji2IP;q<QqTTi2i2iji3p=ix(3.7)IP;q<QiKiKij因此在全量折扣策略下的总购买成本是*KPQU(3.8)i,ki,ji,j,ki=1j=1k=1上式中U是一个二元决策变量；第j个周期在价格断点k购买项目i时的值为1，i,j,k其余情况值为0。在增量折扣策略下，依赖于订购量的项目i的单位购买成本是pi=PQ；::i1ij::pi=PQ；::i1ij::pq+p(Q-八i1i2i2j鬃】鬃pq+p(Q-i1i2i2ijqi2);0<Qijq<Qi2ijqi2qi3i鬃.3.9)又因为，在增量折扣下总的购买成本是qi2)+...+PiK(Qij-qiK);qiK<QijEmEEmEN-1EK-1P(q-qi,ki,k+1i=1j=1k=1整理上式可得：‘)+EElUP(Q-q)i,ki,j,Ki,Ki,ji,Ki=1j=13.10)(P(Q-(P(Q-q)U)+艺P(qi,ki,ji,Ki,j,Ki,Kii=1j=1k=1在库存模型中使用的方法有线性规划，非线性规划，动态规划，i,ki,ji,Ki,j,K-q,)i,Ki,k+1i,k3.11)几何规划，共轭梯度法，混合整型规划，本文中我们应用一种混合二元整型规划法解决所建立的模型。模型中的我们首先指出3.12)3.13)Q=V3.12)3.13)i,ji,ji全量折扣和增量折扣下单位项目品我们规定：q+Mx(U-1)<Q<q+MxG-U)i,k-1i,j,ki,ji,ki,j,kTOC\o"1-5"\h\zM是一个极大数，q.和q.’是在价格断点k项目i定购量的下限和上限。特别指出i,k-1i,k的是，假如U等于零，对于任意的Q，q和q式q-M<Q<q+M都i,j,ki,ji,k-1i,ki,k-1i,ji,k成立，将会使约束条件失效。但是假如Q等于1，qk1<Q<qk意味着项目i在i,ji,k-1i,ji,k价格断点k时的定购量非零。我们还要指出的是既然Q,j出现在价格断点，那么约束条件aku=1，i=1,2...,m，j=1,2...,N-1一定成立。采用这种策略的前提条件K=1ijk是在全量折扣下的最低定购量必须为0。比如说对任意的i，q=0。i1对于(在)库存空间有限的条件下，基于单位产品i(si)的库存上界(I(T)=X+Q)我们有ijij+1ij+1EmI(T)S<S;j=12...N(3.14)ijii=1在上述条件下，基于总的可用预算C得到第i种产品的购买成本P.和订购量Q..,对预算的约束条件是：EmQP<C(3.15)ijii=1最后，需要指出的是对于定购上界我们有Q<Mi=1,2...,mj=1,2...,N-1(3.16)i,j1

综上，全部的库存控制问题构建的数学模型转化为下式：TC=茧N_1OWii,ji=1j=1+茧NH[(X+Q)C-T)—-D(/-T)]ii,ji,jj2i,jj(p(Q-q)U+艺P(q-q)i,Ki,ji,Ki,j,Ki,ki,k+1i,ki=1j=1k=1在上式中要满足以下条件：Xi,j+1=X+Xi,j+1=X+Q-Di,ji,ji,jX=0

i,1£(X+Q)si,ji,jii=1,2,...mi=1Q=Bxi=1Q=BxVi,ji(i,jq+Mx(Ui,k-1i,j,Ki=1,2,...m&j=1,2,...N-1)<Q<q+MxG-Ui,ji,ki,j,Ki=1,2,...m&j=1,2,...N&k=1,2,...K£U=1i=1,2,..m&j=1,2,...Ni,j,kk=1£mQP<Cj=1,2,...Ni,jik=1Q<Mi=1,2,..m&j=1,2,...NWe{0,1}i=1,2,..m&j=1,2,...NUe{0,1}i=1,2,..m&j=1,2,...N&k=1,2,...k(3.17)i,j,k但式(3.17)是一个N-P难题，我们在下面一章中应用遗传算法，模拟退火算法和分枝定界方法来解决问题。3.3模型求解文中我们使用的数值如下：m=5,N=4,S=2800,C=5000,M］=110,（写成例题的形式具体一点）其它所需数据与文献［71］相同。许多学者应用启发式算法成功的在自然科学和工程领域里解决了很多复杂的优化问题。包括用二元混合整型规划方法解决带有N-P难题的库存控制问题。还有比如遗传算法，模拟退火算法。3.3.1遗传算法遗传算法首先由Holland提及，一些学者还对算法进行了拓展。简言之，遗传算法的步骤如下：遗传算法的参数设置包括交叉感染概率（Pc），变异概率（Pm），种群规模PS，亲子代数（NG）初始种群规模PS是随机地评估目标函数应用优胜劣汰法选择配对亲本

5•基于交叉感染概率（Pc）的每对染色体进行交叉配对基于变异概率（Pm）的每对染色体进行变异操作用新的种群代替原来的种群满足目的时停止，否则跳到第三步。表3-1本文所用GA参数水平PcPmPSNG10.70.153050020.80.24070030.90.25501000上表中的参数选择是根据大多数优化问题的实际情况自主确定的，一般交叉感染率应大于0.7，这里选用了三组参数主要为下文应用田口直交表法对遗传算法中的参数进行调优。3.3.2模拟退火算法众所周知，模拟退火算法是一个很好的局部搜索算法，最初由。模仿物理学上的灭火过程去解决带有多限制条件的优化模型。模拟退火算法包括三个控制参数卩（冷却系数），A0（初始温度或外部循环停止条件），Gen（内部循环停止条件）其实遗传算法和模拟退火算法在语法表达和效果上比较类似。遗传算法的变异算子在模拟退火算法中也有使用。表3-2本章所用SA参数水平PA0Gen10.85103020.9204030.953050上表中的参数选择是根据大多数优化问题的实际情况自主确定的，一般交叉感染率应大于0.8，这里选用了三组参数主要为下文应用田口直交表法对模拟退火算法中的参数进行调优。借助Matlab软件编程，我们求得的最佳定购量和最优目标函数值如下表，在GA中对第i种产品在第j周期的订购量Q..采用实数编码的方法。i,j表3-3最佳定购量和目标函数值（GA）i12345Qi,134106802919Qi,24069579868Qi,37480702921Qi,400000GA算法求得的最优函数值：18372表3-4最佳定购量和目标函数值（SA）i12345Qi,135106802934Qi,24383579259Qi,37473753711Qi,400000SA算法求得的最优函数值：184953.3.3参数调优参数的选择会显著影响启发式算法的效率。全因子试验是检验启发式算法效率最常用也是最详尽的方法。但是，但当噪因子太多的时候全因子试验反而是一种低效的方法。为了减少试验的次数，有限因子试验被提出来。但有限因子分析法要固定其它影响因子而去估计主要影响因子，部分因子矩阵法减少了试验次数，但依然不能提供足够有效的信息。大家所熟悉的田口优化技巧在工程鲁棒性试验设计中被广泛应用，应用正交矩阵通过少数试验研究决策变量的影响。田口方法已被公认为用少数试验全面分析主要影响因子的有效方法。田口玄一把影响因子分为两组：可控和噪因子。噪因子是那些无法直接控制的。既然噪因子无法也不可能控制，田口方法就是减少噪因子维持可控因子的最佳稳键水平。不仅如此，为了确定最优水平参数，田口建立单个因子对目标函数的相对影响水平。变化一个数据而固定其它数据来衡量其影响水平转化为一个合理的函数。这种转化就是信噪比（S/N）从而解释了为什么这一类型的参数设计被称为鲁棒设计。信号是我们需要到能使系统优化的量（这里是平均值），噪音意味着我们不想要的结果（这里用标准差）。因此信噪比用来衡量品质，而且信噪比的值越大越好。田口博士把目标函数分为三种类型，越小品质越佳，越大品质越佳，还有原点直线型。在库存控制中我们经常使用的是越小品质越佳型，这时的信噪比定义如下：S/N=-101og（目标函数）210对于遗传算法来说需要校准的参数是Pc,Pm,PS,NG；对于模拟退火算法来说需要调优的参数是卩，A0，Gen,遗传算法和模型退火算法的参数设计一般根据问题类型而定。本文我们应用田口直交表法和Minitab软件可以算出GA中的最优参数Pc=0.8，Pm=0.2,PS=30，NG=700，在调优后的参数下的最优成本TC=18372。而SA中的最优参数是卩=0.85,A0=50,Gen=50,在调优后的参数下的最优成本TC=18495。3.4结论和未来的研究工作本文把一个二元混整型库存控制数学模型推广为多物品多周期且含打折的模型，为了更贴近实际，我们还考虑了空间，资金和定购量的限制，模型中使用了一个二元变量，模型非常类似于时令性库存模型，我们以单位时间单位成本最小为目标确定了最优的定购量。未来进一步研究的可以考虑含有产品短缺的模型，还可以拓展为多目标比如考虑产品排队和系统库存的净利润最小等。第四章研究中的不足和进一步研究的方向本文以一种混合整型数学规划模型用来模拟多产品多周期库存控制问题，该问题包括打折，有限空间，有限资金和订购数量。模型中，一个二元变量模拟在某一产品一个周期内的订货量。模型非常接近季节性库存控制模型，这种模型中订购和售卖在同一季节。我们目标是寻找一个确定期内库存净成本最低时的订购量。二元启发式算法和一个具体算法被用来解决NP难题。不仅如此，不但用相关软件求出来决策变量的最优值，而且用田口方法来校准参数的值。我们进一步的研究方向，模型还可以拓展为含有货物短缺的情形，或者研究多物品多周期多目标的库存问题。研究中的不足：随着网络技术，企业的经营环境变得日益复杂，经营模式在不断地发生变化，企业和电子商务的快速发展，要适应这样复杂多变的环境，企业必须有相应的新库存控制策略，这也需要我们去发展能适应新形势的库存控制理论。可见，库存控制理论仍然有很大的发展空间。（1）复杂动态库存控制理论与方法研究。现在的理论成果大多是针对较简单的静态环境，有关复杂的动态库存控制模型和方法研究并不多，并且其研究也不深入和完善；而实际的库存控制所处的环境通常是复杂多变的，因此复杂的动态库存控制问题将值得进一步深入研究，比如在确定或不确定性环境下多品种的联合动态库存控制问题，多个竞争或互补产品的联合动态库存控制问题等。（2）多库存系统联合库存控制模型与方法研究。现实中的库存系统特别是一些大型系统常常是由多个子系统，比如大型的零售企业像华联、沃尔玛、家乐福就有区域配送中心、城市配送中心等多个库存子系统。如果实施联合库存控制，这些子系统库存的物品就可以相互调剂，可以降低每个子系统的库存水平，那么这就要求有与之相适应的联合库存控制方法。因此，多库存系统联合库存控制模型与方法是值得系统、深入研究的一个方向。（3）混合经营模式下库存系统的库存控制方法研究。面对激烈的市场竞争环境，企业的经营模式在向多元化发展，比如直销、特约经销、电子商务等，那么很显然，同时采用多种模式经营的企业所面临的库存控制问题要比采用单一模式经营的企业的库存控制问题复杂的多，而现有的理论研究成果很少涉及混合经营模型下的库存系统，可见研究混合经营模式下库存系统的库存控制方法也将有重要的实际价值和科学意义。（4）服务系统的库存控制理论研究。当前世界经济正在向服务型经济转型，其发展十分迅速，例如在世界一些发达国家，服务产业甚至已经占到GDP和70%以上的份额，而在美国这一数字已经超过了75%，我国部分经济发达地区如珠江三角洲、长江三角洲等也开始在逐步实施经济转型。在这种背景下，研究如何有效运营服务系统、提高服务业服务质量，对于搞好服务经济将是十分有益的，而要改善服务质量，提高服务水平、增加顾客满意度是关键；要有效运营服务系统就需要进行合理的成本控制。所有这些都需要对服务系统的库存如：高技术人才和设备的配备、物料或配件、零部件等的库存等进行科学的管理和控制。由于服务系统的复杂性，服务系统的库存控制将面临许多新的困难和挑战。参考文献F.Harris,Howmanypartstomakeatonce.Factory,Mag.Manage.10(152)(1913)135—136,152.E.L.Porteus,Optimallot-sizingprocessqualityimprovementandsetupcostreduction,Oper.Res.34(1986)137—144.M.J.Rosenblat,H.L.Lee,Economicproductioncycleswithimperfectproductionprocesses,IIETrans.18(1986)48-55.H.L.Lee,M.J.Rosenblatt,Simultaneousdeterminationofproductioncyclesandinspectionschedulesinaproductionsystem,Manage.Sci.33(1987)1125-1137.C.Tapiero,Productionlearningandqualitycontrol,IIETrans.19(1987)362-370.C.H.Fine,Aqualitycontrolmodelwithlearningeffects,Oper.Res.36(1988)437-444.C.H.Fine,E.L.Porteus,Dynamicprocessimprovement,Oper.Res.37(1989)580-591.S.Chand,Lotsizessetupfrequencywithlearninginsetupsandprocessquality,Eur.J.Oper.Res.42(1989)190-202.290J.-C.Tsou/AppliedMathematicalModelling31(2007)283-291T.C.E.Cheng,Aneconomicproductionquantitymodelwithflexibilityandreliabilityconsiderations,Eur.J.Oper.Res.39(1989)174-179.T.C.E.Cheng,Economicorderquantitymodelwithdemand-dependentunitproductioncostandimperfectproductionprocesses,IIETrans.23(1991)23-28.J.Hong,S.H.Xu,J.C.Hayya,Processqualityimprovementandsetupreductionindynamiclot-sizing,Int.J.Prod.Res.31(1993)2693-2708.M.K.Salameh,M.Y.Jaber,Economicproductionquantitymodelforitemswithimperfectquality,Int.J.Prod.Econ.64(2000)59-64.G.Taguchi,Y.Wu,Introductiontooff-linequalitycontrol,CentralJpnQual.Contr.Assoc.(1985)1-25.D.M.Bryne,S.Taguchi,TheTaguchiapproachtoparameterdesign,ASQCQualityCongressTransactions,Anaheim,CA,1986,p.168.G.Taguchi,D.Clausing,Robustquality,HarvardBusinessRev.68(1990)65-75GoyalSK.1973.Determinationofeconomicpackagingfrequencyforitemsjointlyreplenished.ManagementScience,20(2):232-235.KaspiM,RosenblattMJ.1983.AnimprovementofSilver'salgorithmforthejointreplenishmentproblem.IIETransactions,15(3):264-267.RoundyR.1985.98%effectiveintejer-ratiolot-sizingforone-warehousemulti-retailarsystems.ManagementScience,31(11):1416-1430PirkulH,ArasOA.1985.Capacitatedmultipleitemsorderingproblemwithquantitydiscounts.IIETransac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