多尺度法初识和应用

多尺度法初识和应用摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。非线性问题的研究非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。线性与非线性的意义“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进式为q+T1的发展。出的,此后得到进式为q+T1的发展。=0上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形的方程所控制的系统，设方程的解为q—q+x—q+8x+82xH—0012将原点移至中心位置q—q0是合适的。于是有

此时第一式可写成x+f\x+q)=00假设f可以展为泰勒级数，则上式可写为x+Eaxn=0n其中n=1其中a=f6)(q)nn!0而f(n)而f(n)表示关变量的n阶导数,对于中心f(q0)=0，而我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把x看成是t和£t，…，的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。T=£nt(n=0,1,2,…)nT=tT=£tT=£2t012因此关于t的导数变成了关于的偏导数的展开式，即d2dt2=D2+2£DD+£2(D2+2DD)+…d2dt2001102然后代入方程进行求解，求出xi，x2，x3‘•…。这时，方程的解可写成：然后按照小参数法(摄动法)建立£的各阶方程，进而求出xi，x2，x3,多重尺度法的应用一、求解自治系统例1.4.1求Duffing方程(1.1.4)00x+x=一£x3(3=1)0自由振动的二次近似解(用多尺度法)解：求二次近似解可选三个变量，设x=x(T,T,T)+£x(T,T,T)+s2x(T,T,T)001210122012代入原方程，并用到式(1.4.3)，可得到下列方程组d2x0+x=0dT200d2x_d21+x=一2―x35T21QTQT0001d2xQ2Q2Q2x2+x=—2—2—2—3x3xQT220QTQT01QTQT02QT2011设式(1.4.4a)的解为x=A(T,T)exp(iT)+Aexp(—iT)01200其中A是未知复函数，A是A的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把x0代入式@x1+x0T210+3A2Aexp(T)—A3exp(3T)+cc00其中CC表示前面各项的共轭。为使X1,不出现永年项，必须2i巴+3A2A=06T11.4.4a).4.4b)1.4.4c).4.4b)4.4d)又求得1x=_A3exp(i3T)+cc180x,x把01代入(1.4.4c),并利用条件(1.4.4d),有d2x=-G更-EA-石1dT8221—3exp(iT)-一A4Aexp(i3T)--A5exp(5iT)+cc

08080消除永年项dA15,2i-A-A2=0dT282+XdT220x2解为1.4.4e)2164A4Aexp(i3T)-0164A5exp(5iT)+cc0利用式（1.4.4d）,（1.4.4e）求人（T1,T2）如下:由(1.4.4d)dAdT1由(1.4.4c)dAdT2iAdAdT2iA-A216dA利用式（1.4.3a）并注意到dTQ=0，就得到dAdt=-iA2A-15iA-A22161A=77aexP（g）a申是t的实函数，将之代入上式，实、虚部展开,令2，其中有a=0315=—8a2—£2a48256a=a积分得(315)®=—8a2—82a4t+®(8256丿0ao®o为积分常数，所以A=-aexp2o“315i(8a2一82a4)t+即_8256o_于是，原方程二阶近似解为121x二acos屮+一8a3(1—8a2)cos3屮+82a5cos5wo32o32o十1024o十其中门315屮二(1+—8a2—82a4)t+申8256o二、无限传输方程的近似解(一)稳定性分析对于系统x(t)—ax(t—t)+x(t)+aPx(t—t)=8f(x(t))(21])对于方程(2.1.1)的根x,如果对x的任一邻域U,存在x的一个属于U的邻域TOC\o"1-5"\h\zooo使系统(2.1.1)的解x(t)，若有xeU，则对一切t>o，有x(t)GU，就1o1称xo是稳定的，否则就称为不稳定的。如果x稳定，并且有limx(t)=x，就oootT+S称xo是渐近稳定的。定义：若(2.1.1)的零解对VtgW都是渐近稳定的。则称(2.1.1)为全时滞+稳定的。或叫无条件稳定或绝对稳定。可求(2.1)的特征方程：将x=cek代人到方程(2.1.1)中则有，x(t)=c九e九tx(t—t)=cek(t-t)x(t—t)=cke九(t-t)所以有：ckekt—acXeMt-u)+a^ce<(t—t)=o即有：九一a九e-航+aBe-航=0(212)即有：t—aPe—航ae—航一1若t=0时，则九=凹为其特征根。a—1t如果其特征根位于左半平面，而当由o增至乜时，不越过虚轴，则系统(2.1.2)的更全具有负实部，这样系统(2.1)的零解为全时滞稳定的。因此要使(2.1.1)为全时滞稳定，首先要使(2.1.2)的根具有负实部。只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。用k=®l代人(2.i.i)中，有®i—ie—顾+aPe—顾=0即®i—affli(cosroT一isinwx)+aPcosop-iaPsinwx=0®—aocosot—aPsinot=0所以有]aosinot+apcosot=0令f(o)=o2(1—acosot)—aP2cosotr兀_当1—aCOSot>0时，在区间上°，㊁亍上,f'(o)=2o(1—acosot)+O2aTsinoT+aP2TsinoT>0函数单调=0时，f(o)函数单调=0时，f(o)=f(0)=—aP2<0冗o=当IT时,兀f(O)=f(2T)=兀24f2>0函数与X轴有交点，方程有解，即特征方程(2.1.2)有纯虚根。(二)近似周期解在8x3的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解(利用多尺度法)设x(t)=x(T,T,T)+8x(T,T,T)+82X(T,T,T)+…(2.2.1)001210122012

苴中T苴中T—t,T—81,T—82t...T—8nt012d应用微分算子，记—D0，dT00ddddT—Dr知:1_—+8+0(82)—D+8D+0(82)dtdTdT0i01由X(t)—X(T,T)+8X(T,T)+0(82)，知001101X(t-T)—X(T-T,T-T)+8X(T-T,T-T)+0(82)

001101根据二元函数的泰勒展开：f(X+h,y+k)00dd—f(x,y)+(h+k)f(x,y)+...TOC\o"1-5"\h\z00dxdy00令(T-T—X,h—0,T—y,-T—k)知令0010知ddXX(T-T,T-T)—X(T-T,T)+(0•吞-T利00iooiOxdT1dX—X(T—T,T)—T8001dT1—X(T-T,T)-T8DXX(T-T,T-TX(T-T,T-T)—X(T-T,T-T)+(0-101101d

dxdx—X(T一T,T)一T8101-T—dT1dXor12.2.2)(2.2.3)2.2.4)2.2.5)—X(T—T,T)—T8DX2.2.5)10111将(2.2.4)，(2.2.5)代人(2.2.3)中得到时滞项：X(t-T)—X(T-T,T-T)+8X(T-T,T-T)+0(82)001101—X(T-T,T)-T8DX+8X(T-T,T)-T82DX+0(82)1011110111=x(T-T,T)+8[x(T-T,T)-TDx(T-T,T)]+0(£2)(2.2.6)0011011001X3(t)=(X+sX+.・.)301=x3(T,T)+38x2(T,T)X(T,T)001001101+3x(T,T)・82x2(T,T)+83x3(T,T)+...(227)001101101(2.2.7)/、fixfixfixfixfixfix2.2.8)x(t)=0+80+820+8L+821+831…2.2.8)fiTfiTfiTfiTfiTfiT010012将(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)(2.2.7)(2.2.8)代人原方程得x(t)—CIx(t—T)+C^Px(t—T)=Dx(T,T)+8Dx(T,T)+8Dx(T,T)+82Dx(T,T)0001100100011101-C「Dx(T,T)+8Dx(T,T)+8Dx(T,T)+82Dx(T,T)]0001100101011101+cP「x(T—T,T)+8x(T—T,T)—8TDx(T—T,T)]0011011001=8x3(T,T)+382x2(T,T)x(T,T)+3x(T,T)・83x2(T,T)+84x3(T,T)001001101001101101

这样根据多项式的性质，可知，指数80,81,82的系数在等式两边相等。这样就有，80:Dx(T,T)—CDx(T,T)+CPx(T—T,T)=0(2.2.9)00010001001(2.2.9)则，当(a,b)gD时，系统可形如(2.1.1),这样i是特征方程的根。易见方—0程(2.2.9)有如下形式的谐波解：x(T,T)=A(T)e®0t0i+cc0011其中cc表示前面各项的共轭，x(T,T)=A(T)e®°T°i+A(T)e°T°i00111x3(T,T)=A3(T)e3%t0i+3A2(T)e2叽才(T)e-v?001111+3A(T)e2①0T0iA2(T)e-2①0t0/+A3(T)e-3①0t0/111=A3(T+3A2(T)A(T)幺％令+3A(T)A2(T)幺-%令+A3(T)e-3%T)i10011001100100

81:Dx(T,T)+Dx(T,T)-aDx(T,T)-aDx(T,T)1001010110010101+apx(T-T,T)-apTDx(T-T,T)101—x3(T101—x3(T,T)001ax=at1这样，Dx(T,T)-aDx(T01010101——Dx(T,T)+aDx(T,T)+aPTDx(T-t,T)+x3(T,T)100110011001001aa^A=-詁吧+aT•e-ro0Ti+aaTeco070i-aaT•e-ro0Ti+apTaTe°0T)i-e-即+A3(T0%今11111又有，D1x0(sT1)=aAeroTi+aT001,T)+a卩x(T-t,T)101dAe-®Tiat001aAaaaAaaaAarero0T0i+•e-ro0T'+aaT"%°-aar*e-%T'+apTarew0T)i•e-ro0Ti11111+A3(T)e3®0T)i+3A2(T)A(T))幺叫片+3A(T)A2(T)e-«0T)i+A3(T)幺-3叫片10011001100100aAaAaAaAaA—apTe-叫tiatat011a+3A(T)A2(T)幺-临+A3(T0临+A3(T0临ar111a-

dT1dA+a8T1+3A2(T)A(T)e叽11而对齐次方程D0x1(T0,T1)-aD0x1(T0,T1)+apx1(T0-tt二0的特征方程有:wi-awie-w0ti+ape-w0ti=0000得，为此，wi0—a得，为此，wi0—a(wi-p)01我们可以设A(TJ=2a(Ti)eib(Ti)e-wqTiaa可令at_1aa可令at_1aA这样，aT—1ab1aa2at1=1D2eib(T1)eib(T1)aaba(T)eib(tji_i1at1aDieib(T1)b11aDi)

beib(TaDi)

bTOC\o"1-5"\h\z2a由于所求的为方程的近似周期解，所以其永年项为0.则，aaaaaae—+tc卩•e-塑i+3A2(T)A(T)—0tataT0ii111即，1eib(t1)(D+aDi)[d—1+cBte—®0t订+3A2(T)A(T)—02ab11而，111A(T)A(T)——a(T)eib(t丿•—a(T)e—ib(t1)—_a21121214、、亠r?*/./这样有，111_eib(T1)(D+aDi)[d—1+a^Te—®0Ti]+3•—a2•—aeib(T1)—02ab42即，TOC\o"1-5"\h\z(D+aDi)[a—1+e-吟i]+ab即，Dex2wi—Dex2p—dDwi—DcxP+Dcx^twia0aa0aa0—ae2Dw—aPe2Di+aewD+aePDi—aePtwDb0b0bb0b+3a3dwi—4o分离实部和虚部3{—Dce2B—dBD—ad2Dw+adwD—adBTwD—_a3dB—0{aab00br0b4r3De2w一Dew+DcBtw—ad2BD+adBD+_a3dw—0a0a0a0bb40根据克拉默法则解方程组，得

—a3^B43a3aw0—a—a3^B43a3aw0o—aa2B+aaB—a