2021年中考05 因式分解（原卷版）

专题05因式分化

专题知识点概述

一、因式分化及其方式

因式分化，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分化是恒等变形的根本，它作为数

学的一个有力工具、一种数学方式在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分化的方

式有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分化法、十字相乘法等外，还有如操

纵拆项添项、求根分化、换元、待定系数等等。

1.提公因式法：一样地，参加多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成

因式乘积的形式，这种分化因式的方式叫做提公因式法.比如：am+an=a(m+n)

2.运用公式法：参加把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分化因式，这种分化因式的方式叫

做运用公式法.

(1)平方差公式

两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：。2一。2=(。+3(4一3

(2)完全平方公式

两个数的平方和，加上(大概减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(大概差)的平方.

字母表达式：a2±2ab+b2-(a±Z?)'

(3)立方和与立方差公式

两个数的立方和(大概差)等于这两个数的和(大概差)乘以它们的平方和与它们积的差(大概和).

a'+b''=(a+b)(a2-ab+b')

a"-b'=(a-b)(a2+ab+b")

3.十字相乘法分化因式：操纵十字交叉线来分化系数，把二次三项式分化因式的方式叫做十字相乘法.

(1)对于二次三项式V+bx+c,若存在—c,则灰+c=(x+p)(x+q)

p+q=b

(2)首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式o?+法+C(。#0)中，参加二次项系数4可以分化成两个因数之积，即。=《生，

常数项c可以分化成两个因数之积，即。=《。2，把《，4，J，布列如下：

以］612+。］

按斜线交叉相乘，再相加，得到4c2+4J,若它正好等于二次三项式a^+bx+c的一次项系

数。，即aj+a2G=6,那么二次三项式就可以分化为两个因式qx+q与之积，即

cvc+Zzr+c=(alx+cl)(fi2x+c2).

4.分组分化法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分化时，可思

量分步处理的方式，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分化因式，然后再对整体作因式分化一

一分组分化法.即先对问题进行分组，然后再分化因式.比如:

am-an-bm+bn=(am-an)-(bm-bn)-a(m-n)-b(m-n)=(m-n)(a-b).

二、因式分化策略

1.因式分化的一样步骤：

(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分化法，即通过度组后提取各组公因式或运用公式法来达到分化的目的；

(4)因式分化的末了成果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分化；

(5)因式分化的成果必须进行到每个因式在有理数范畴内不能再分化为止.

若有公因式，先提公因式；然后再思量用公式法(平方差公式4—4=(,+6)(a—6),完全平方公

式成±2a6+62=(a±8)2)或其它方式分化；直到每个因式都不能再分化为止.

2.从多项式的项数来思量用什么方式分化因式.

(1)参加是两项，应思量用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分化因式.

(2)参加是二次三项式，应思量用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法.

(3)参加是四项式大概大于四项式，应思量提公因式法，分组分化法.

3.因式分化要注重的几个问题:

(1)每个因式分化到不能再分为止.

(2)一样因式写成乘方的形式.

(3)因式分化的成果不要中括号.

(4)参加多项式的第一项系数是负数，一样要提出“一”号，使括号内的第一项系数为正数.

(5)因式分化的成果，参加是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面.

【例题1】(2021•江苏无锡)分化因式4x?-y2的成果是()

A.(4x+y)(4x-y)B.4(x+y)(x-y)

C.(2广力(2x-力D.2(A+y)(x-y)

【对点练习】(2021广西贺州)把多项式4/7分化因式，成果对的是()

A.(4。+1)(4。-1)B.(2。+1)(2。-1)

C.(2a-I)?D.(2a+l)2

【例题2】(2021贵州黔西南)多项式/—4a分化因式的成果是.

【对点练习】(2021宁夏)分化因式：2a-8a=.

【例题3】(2021•聊城)因式分化：x(x-2)-广2=

【对点练习】(2021齐齐哈尔)因式分化：才+1-2>4(a-1)

一、挑选题

1.(2021•金华)下列多项式中，能运用平方差公式分化因式的是()

A.a+l)B.2a-I)C.a-1)D.-a-1)

2.(2021湖北荆州模拟)把多项式4--2*-丫2-丫用分组分化法分化因式，对的分组方式应该是

()

A.(4xJ-y)-(2x+y2)B.(4x'-y2)-(2x+y)

C.4x~-(2x+y'+y)D.(4x2-2x)-(y2+y)

3.(2021广西贺州)把多项式4a2-分化因式，成果对的是()

B.(4«+1)(4«-1)B.(2a+l)(2a-l)

C.(2a-I)?D.(2a+l)2

4.(2021四川泸州)把2az-8分化因式，成果对的是()

A.2(a2-4)B.2(a-2)2

C.2(我2)(a-2)I).2(歼2)2

5.(2021山东潍坊模拟)下列因式分化对的是()

A.x-4=(x+4)(x-4)B.X2+2X+1=X(X+2)+1

C.3mx-6my=3m(x-6y)D.2x+4=2(x+2)

6.(2021齐齐哈尔模拟)把多项式x2-6x+9分化因式，成果对的是()

A.(x-3)2B.(x-9)2

C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)

7.(2021黑龙江绥化)下列因式分化对的是()

A.X2—x=x(x+1)B.a*—3a—4=(a+4)(a—1)

C.a'+2ab—b2=(a—b)'D.x°—『=(x+y)(x—y)

二、填空题

8.(2021•聊城)因式分化：x(x-2)-户2=.

9.(2021•株洲模拟)分化因式：x?+3x(x-3)-9=.

10.(2021•绥化)因式分化：mrf-m—.

11.（2021•哈尔滨）把多项式加7+6/m+9〃分化因式的成果是

12.（2021•黔东南州）在实数范畴内分化因式：xy-4A-=.

13.（2021•济宁）分化因式a：'-4a的成果是.

14.（2021•宁波）分化因式：2a?-18=.

15.（2021•温州）分化因式：nf-25=.

16.（2021•铜仁市）因式分化：a+ab-a=.

17.（2021•黔西南州）把多项式a，-4a分化因式，成果是

18.（2021•湖北天门）分化因式：x‘-4/=.

19.（2021山东东营）因式分化：x（A-3）-x+3=

20.（2021贵州省毕节市）分化因式：x-16=.

21.（2021广东深圳）分化因式：ab2-a=.

22.（2021黑龙江哈尔滨）分化因式：a3-6a2b+9ab2^

23.（2021贵州黔西南州）分化因式：9%-y=•

24.（2021•湖南张家界）因式分化：xy-y^

25.（2021年陕西省）因式分化：Yy-9盯3=

26.(2021黑龙江大庆)分化因式:a?b+ab2—a—b=.

27.(2021•江苏常州)分化因式：a/—4a=.

28.(2021内蒙古赤峰)因式分化：x-2xy+xy=.

三、解答题

29.(2021湖北咸宁)若整式步+苏(/为常数，且它0)能在有理数范畴内分化因式，则"的值

可以几(写一个即可).

30.把ab-a-b+1分化因式。

31.(2021广西河池)分化因式：(x-l>+2(x-5).

32.若|m-41与r?-8n+16互为相反数，把多项式aJ+4b-mab-n因式分化.

33.