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瞬时功率的变化规律【摘要】用极端法，数学方法讨论了一个具体问题中的瞬时功率的变化规律。【关键词】瞬时功率，变化规律，极端法，数学方法【正文】如图1所示，一质量为m的小球被长为L的线TOC\o"1-5"\h\z悬挂起来，初始时，悬线水平，然后由静止释 - °放小球。讨论小球从开始至摆到悬点正下方的 [ :过程中重力的瞬时功率的变化规律。 [ /•/用极端法分析：重力的功率等于重力乘以重力 I //方向上的速度。初始时由于重力方向上的速度 1―丿是零，因而功率为零。到达悬点正下方时，两 "图1样有重力方向的速度为零，因而功率为零。但在中间某个位置时，物体在重力方向的速度不为零。因而功率不为零。综上所述，在小球由静止运动至最低点的过程中，重力的瞬时功率是先增大后减小的。由此题可以演生出另外一个问题。长为L的绳子两端各系有一个质量为m的小球，如图2所示，绳子的正下方距离h处有一个钉子0。两球同时由静止释放，讨论绳子碰钉子后，TOC\o"1-5"\h\z重力对小球做功瞬时功率的变化规律。 L与上一个问题的不同点在于，小球开始摆动的时候具有 m :初速度。且由于不知道h的具体的数值，因此其初速度 :h具有有确定性。 1当其初速度比较小时，可以像分析第一个问题一样进行 图2分析。但是，当小球的初速度很大时，绳子跟钉子碰撞后绳子中就会产生很大的力，保证小球做圆周运动。此时若绳子拉力的竖直分力大于重力,则在竖直方向上做减速运动。重力做功的瞬时功率将减小。这就是说，这种可能性是存在的：绳子一旦碰到钉子，重力做功的瞬时功率就减小。但是，我们也可以知道，当绳子与钉子接触瞬间，绳子是水平的，从而无论绳子的拉力有多大，小球竖直方向受到的合力仍等于重力，其竖直方向加速度仍为g。小球在竖直方向上应该加速，从而得到结论：重力做功的瞬时功率先增大后减小。下面用数学方向进行讨论。

如上图所示，由机械能守恒定律可求得小球运动到如图所示位置的速度mg(h+£sine)= (1)重力做功的瞬时功率P=nigvcosO(2)(1)(2)联立可得化简为:P=mg^/gv2hcos20+Lcos20sin0只需讨论上式根号下物理量的变化规律，令y=2hcosz9+Lcos20sin0有y=2h(l-sin29)+L(1-sin26)sine整理可得y=—Lsin30—21isin20+Lsin6+211对e求导数，有y'=—3Lsin20cos0—41isin0cos0+Lcos6=cos0(—3Lsin20—41isin6+L)^x=sin0,则上式中小括号内是关于x的二次式4y'=o,有3Lx2+4hx-L=0_4h±J16h2+12L2 -2h± +3L26L3L

6L其中的正根』3+4』3+4住）_2住）屮+2（£）一2（£）逅 V — 3 3 3这就是说，确有ovxov1使0=arc

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