马尔可夫过程转移状态下的设备的序列维修策略

马尔可夫过程转移状态下的设备的序列维修策略

1设备状态维修由于设备运行的磨损，磨损降低了设备的使用能力，导致设备性能恶化。设备维修包括消除设备性能低劣化的一系列的工程及管理活动,其作用是恢复设备的正常工作性能。设备维修保障生产和生活之需要,是管理工作不可或缺的重要环节。改良设备维修手段,增强维修服务的质量及能力,提高设备维修的效率及经济效果,是维修服务研究的一个重要方向。维修有随坏随修、预防维修及状态维修等三类形式。随坏随修是在设备出现故障时采取维修行动的一种方式,适用于维修便利、维修费用低的情形。预防维修是一种周期性的维修活动,一般按固定的设备使用时间或运行程度来采取维修行动,如车辆的使用年限、行车里程及发动机运转时间等。近年来,由于设备运行状态检测仪器自动化化水平的提高及费用的下降,设备按可观测的低劣化状态来采取维修行动,已经是一种值得关注的动向,状态维修问题吸引了众多研究者的注意力。1975年,Taylor提出了一种面向状态维修的维修策略。此模型中,设备的低劣化状态是一个递增变量,随着设备使用时间的延伸而发生变化。当设备的低劣化状态达到或超过一个给定的控制点时,必须采取维修活动。Zuckerman,Bergman,AvenandGaarder,Chu,etal,Suetal和SahinandZahedi等人依据不同的设备运行条件及对低劣化过程的假设,提出了此种控制点策略的确定模型。以上研究策略是以单台设备为对象而提出的。如果不考虑设备维修服务能力,它可以扩展并应用于多台设备同时运行的情况。然而,在多台设备运行的条件下,如果设备维修的服务能力有限,设备维修存在设备等待维修、产生队列的可能性。设备维修低劣化状态的控制点,就不仅取决于设备自身的运行规律,也将受到维修设备队列的影响,从而产生多台设备同时运行的队列维修问题。在现实生活中,一个企业往往是使用多台设备。例如,一家运输公司拥有多辆车辆,一家物业公司照看多家房户,一家航空公司飞行多架飞机。而企业的维修部门通常只有一个。本文只考虑此种实际情形,并将设备的低劣化状态离散化,用马尔可夫转移过程建立状态转移模型,分析概率均衡及稳定时的结果。设备维修设置为单服务台,并用负指数分布描述其维修时间。我们考虑设备运行的收益及维修费用是设备低劣化状态的函数,可以用设备运行的平均净收益为目标函数,评价设备维修的决策效果,并确定维修控制点。2设备投运状态的状态i状态ij在一个企业中,考虑有n台同样的设备,每台设备的低劣化状态有m+1种,{0,1,…,m}。设备的低劣化状态依据设备运行的技术特征及维修的实际需要,可以是设置为串联、并联混合的单向网络形态。如汽车供油系统与转向系统的低劣化状态是并行的,而它们与行走系统之低劣化状态的关系却是串联的。按照Taylor的分析原理,设备应存在一个维修决策的状态控制点。我们先设置一个设备维修的控制点,称进入状态,记为Se,它是并行的设备低劣化状态的一个集合,当一个设备的低劣化状态达到Se的规定或超过Se规定的界限时,只要服务台有空,此设备应立即送入服务台进行维修。当存在设备维修队列、服务台没有空时,我们继续设置另一个设备维修的控制点,称运行停止状态,记为Sp,它也是并行的设备低劣化状态的一个集合。Sp中的状态是比Se的低劣化程度更为严重的状态。若一个设备的低劣化状态没有达到Sp的规定,服务台又没有空,此设备还可以继续运行。若此设备的低劣化状态达到了Sp的规定,此设备须无条件终止运行,并被送入维修队列之中。在设备的运行过程中,若某些设备处于状态Se与Sp之间但没有达到Sp,此时若服务台正好为空,应从这些设备中选择低劣化状态最严重的设备立即投入维修。记λij是状态i转移到状态j的到达率。若状态i可以直接转移到状态j,λij>0;若状态i不能直接转移到状态j,λij=0。记μi是服务台维修状态i设备的服务率。记ni为处于状态i的设备的数量,(n0,…,nm)为设备低劣化的联合状态,(n0,…,nm)k为服务台正在修理某台状态k设备时的联合状态。Pt(n0,…,nm)和Pt(n0,…,nm)k分别是设备在t时刻处于联合状态(n0,…,nm)与(n0,…,nm)k时的概率。P(n0,…,nm)和P(n0,…,nm)k分别是设备处于联合状态(n0,…,nm)与(n0,…,nm)k时的稳定概率。记So是从设备的初始状态到设备维修的运行停止状态的所有低劣化状态之集合,Se∪Sp⊂So;S是从设备维修的进入状态到运行停止状态的所有低劣化状态之集合Se⊂S,及Sp⊂S;Sf=So-S是从设备初始状态到设备维修进入状态的所有低劣化状态之集合m*=max{i|i∈So};是设备维修管理最大可到达的低劣化状态;Sz={j|nj=0,allj∈S0}是设备没有达到的低劣化状态之集合;令δi={1,i=m*或若nj=0；j=i+1,⋯,m*;i<m*0,其它θ={1,若n0>00,其它从设备的初始状态到设备维修的运行停止状态,往往存在多条路径。若状态i位于路径r,ari=1;否则,ari=0。同一条路径r上设备的数量满足约束条件n∑i=0niari≤n。令A=[ari]及n是ni(i=0,…,m)组成的向量,则An≤n。位于运行停止状态的设备数量满足约束条件∑i∈Spni≤n。考虑一种情况,经过彻底维修,设备可以完全恢复性能,在一个循环中设备的初始状态完全等价于“新设备”。因此,我们可以构造出描述设备状态转移之马尔可夫过程的微分方程。dΡt(nk,k∈Sf及nι=0,l∈Sˉodt=-(∑k∈Sfnk∑j>k,j∈Soλkj)Ρt(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)+∑q≥1,q∈Sˉo∩q∉Sz∑j≤q-1,j∈S0-Sp,nj<n(nj+1)λjq⋅Ρt(nk,nj+1,nq-1,k∈Sf,k≠j≠q及nl=0,l∈Sˉo)+θ∑j∈SˉoμjΡt(n0-1,nk,k∈Sf,k≠0及nj=1,nl=0,l∈Sˉo,j≠l)j(1)dΡt(nk,k∈So)idt=-[∑k∈So-Sp,k≠ink∑j>k,j∈Soλkj+(ni-1)∑i∉Sp,j>i,j∈Soλij+μi]Ρt(nk,k∈So)i+∑l≥1,l∈So∩l∉Sz,∑j≤l-1,j∈S0-Sp,nj<n(nj+1)λjl⋅Ρt(nk,nj+1,nl-1,k∈So,j<l≠k)i+θδiμiΡt(n0-1,nk,ni+1,k∈S0,k≠i≠0)i+θδi∑j>i,ni>0μjΡt(n0-1,nk,nj=1,k∈S0,k≠j≠0)j,i∈Sˉo,i∉Sz(2)方程(1)和(2)的稳定概率表达为Ρ(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)=limt→∞Ρt(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)(3)和Ρ(nk,k∈So)i=limt→∞Ρt(nk,k∈So)i,i∈Sˉo,i∉Sz(4)在稳定状态下,位于状态i∈Sp,停下运行、等待维修的设备队列之平均长度为Lˉoi=jw∑j=i|j∈Sp∑l∈Sp∑nl>0∩An≤nnlΡ(nk,k∈S0)j(5)其平均等待时间为tˉoi=jw∑j=i|j∈Sp[(∑l∈Sp∑nl>0∩An≤n(nl-1)Ρ(nk,k∈So)j+1)/μj∑nj>0,An≤nΡ(nk,k∈So)j](6)设备到达进入状态并继续运行,其平均数量为Lˉr=∑i∈Sˉo∑l∈Sˉo-Sp∑An≤nnlΡ(nk,k∈So)i+∑l∈Sˉo-Sp∑An≤nnlΡ(nk,k∈Sf)及nl=0,l∈Sˉo)(7)记P0是服务台繁忙的概率,则Ρ0=∑j∈Sˉo∩nj>0Ρ(nk,k∈So)j。位于状态i的设备正忙于修理的概率为Ρ´i=∑ni>0∩An≤nΡ(nk,k∈S0)i,i∈Sˉo(8)记γi及ci分别是设备处于状态i时的运行收益与维修费用。一般地说,c0μ0≤…≤cmμm,γ0≥…≥γm。在稳定状态,设备在运行过程中维修的平均费用率是∑i∈Sˉo∑An≤n∩(nk,k∈So)ciμiΡ(nk,k∈So)i(9)设备运行的平均收益率是∑An≤n[(∑k∈Srnkγk)Ρ(nk,k∈Sr及nl=0,l∈Sˉo)+(∑k∈So-Spnkγk)Ρ(nk,k∈So)i](10)最优维修策略的选择应使设备运行的平均净收益最大化,满足maxSe,Sp{∑An≤n[(∑k∈Srnkγk)Ρ(nk,k∈Sr及nl=0,l∈Sˉo)+(∑k∈So-Spnkγk)Ρ(nk,k∈So)i]-∑i∈Sˉo∑An≤n∩(nk,k∈So)ciμiΡ(nk,k∈So)i}(11)方程(1)到(11)的建立描述了确定队列维修的策略的基本模型。对模型(11),我们容易用启发式方法求解。计算方法如下:步骤1设S0e=S0p=S0ˉo={m},即状态m既是进入状态,又是运行停止状态。计算稳态概率及平均净收益π0;步骤2令k=k+1,使得i=max{q|λqj>0,∀j∈Sk-1,q∈So-Sk-1ˉo}及Skˉo=Sk-1∪{i},更新Ske={j|λij>0,j∈Skˉo,i∈So-Sk}及Skp=Sk-1p。计算稳态概率及平均净收益πk;步骤3若πk>πk-1,返回步骤2,否则,令k=k-1,继续下列步骤;步骤4令k=k+1,使得i=max{j|λqj>0,∀j,q∈Sk-1ˉo,j≠q}及Skˉo=Sk-1ˉo-{i},更新Skp={j|λij>0,λjq=0,∀j,q∈Skˉo,i∈So,i≠j≠q}及Ske=Sk-1e。计算稳态概率及平均净收益πk;步骤5若πk>πk-1,返回步骤4,否则,停止迭代计算,(Sk-1e,Sk-1p)为方程(11)的满意解。以上算法中的稳态概率,可以利用解析方法或模拟方法求解。3设备低成本状态某部拥有一个30架某型号飞机组成的机队及一个维修站。已知每架飞机安装着两台同样品种的发动机,每台发动机按其磨损特性可分成{1,…,8}等8种低劣化程度递增的设备状态,并记状态0是发动机为“新”时的初始状态,状态8是发动机彻底损坏、必须整体更新的状态。依据发动机的有效运行时间度量,每一种状态从上一级状态转移到位的到达率都是0.0017。对应每种低劣化状态的设备维修费用分别为{200,230,270,330,390,460,540,630}万元,设备维修的服务率分别为{0.081,0.078,0.075,0.072,0.069,0.066,0.063,0.060}。对应每种可运行的状态,设备的收益率为{4.5,4.2,3.6,3.1,2.5,1.8,1.0,0.1}万元。我们依据模拟方法计算设备低劣化状态的稳定概率,并按照本文所提出的算法给出了计算过程及结果(见表1)。在表1中,第8次及第12次的搜索点是分别满足计算方法中步骤3及步骤5之结束条件的判断点。当计算达到第11次时,此算法得出了发动机队列维修的满意解,发动机维修的进入状态是状态1,运行停止状态是状态4。此时,发动机运行的平均净收益率为157万元/运行小时,在服务台中达到状态4并待修的发动机之平均队长为25台。4基于马尔可夫转移方程的设备维修改进策略队列设备的维修问题之所以使研究人员倍感兴趣,是因为影响一台设备之维修决策的因素不仅包括设备的低劣化规律,而且还包括其它设备的决策选择。设备的维修决策影响到维