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文档简介
1连续时间系统的时域分析第二章2引言d
n
d
n-1
ddtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)d
m
d
m-1
d=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)ddd
m
d
m-1d
n
d
n-1dtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)时域分析
建立和求解线性微分方程的过程建立数学模型数学模型的建立过程与应用系统的特性有关–对电系统而言，《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL和KVL方程线性非时变系统的微分方程的一般形式3引言d
n
d
n-1
ddtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)d
m
d
m-1
d=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)ddd
m
d
m-1d
n
d
n-1dtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)时域分析
建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程经典法
求齐次方程通解和非齐次方程特解
–
通解：由方程左边部分所对应的特征方程解得的特征频率所求解得的系统的自然响应（或称自由响应）–
特解：由系统的激励函数得到系统的受迫响应–
通解：将初始条件带入，确定全解中通解的待定系数线性非时变系统的微分方程的一般形式引言d
n
d
n-1
ddtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)d
m
d
m-1
d=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)ddd
m
d
m-1d
n
d
n-1dtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)时域分析
建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程卷积法/近代时域法/算子法–
零输入响应：系统在无输入激励的情况下，仅由系统的初始状态引起的响应–
零状态响应：系统初始状态为零（无初始储能）的条件下，仅由输入激励引起的响应线性非时变系统的微分方程的一般形式4引言5时域分析
建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程经典法与卷积法/近代时域法/算子法–在简单激励信号形式下经典解法求解简单，但比较复杂的激励信号形式下难确定特解的形式–卷积法要求激励信号是有始信号，否则无法确定初始状态–零输入响应可用经典法求解，在只有自然响应部分–零状态响应可用经典法求解，但用卷积积分法更方便–卷积积分法可借助计算机数值计算，求出任意信号激励下的响应（数值解），实用价值大内容1235系统方程的算子表示法系统零输入响应奇异信号与信号时域分解4
系统零状态响应叠加积分与卷积线性系统响应的时域求解66系统方程的算子表示法1算子表达符号微分算子积分算子应用算子ndndtnddtp
=，
p
=
-¥=t(
)dt1p
-¥tnxdnxdtn1p=
p
x,dx
=
px,dtxdt
=7系统方程的算子表示法算子简化系统方程微分方程积分微分方程+
1
i(t)
=
de(t)C
dt2Ld i(t)
+
Rdi(t)dt2
dtC(Lp2
+
Rp
+
1
)i(t)
=
pe(t)di(t)
1dt
CLt+
-¥i(t)dt
+
Ri(t)
=
e(t)Cp(Lp
+
1
+
R)i(t)
=
e(t)8系统方程的算子表示法算子n阶微分方程简化p
n
r
(t
)
+
an
-1=
b p
m
e(t
)
+
b p
m
-1
e(t
)
+
b pe
(t
)
+
b
e(t
)m
m
-1
1
0p
n
-1
r
(t
)
+
a pr
(t
)
+
a r
(t
)1
0d
n
d
n-1
ddtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)d
m
d
m-1
d=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)ddd
m
d
m-1=
bm
dtm
e(t)
+
bm-1
dtm-1
e(t)
+...
+
b1
dt
e(t)
+
b0e(t)d
n
d
n-1dtn
r(t)
+
an-1
dtn-1
r(t)
+...
+
a1
dt
r(t)
+
a0r(t)9系统方程的算子表示法算子n阶微分方程简化p
n
r
(t
)
+
a p
n
-1
r
(t
)
+
a pr
(t
)
+
a r
(t
)n
-1
1
0=
b p
m
e(t
)
+
b p
m
-1
e(t
)
+
b pe
(t
)
+
b
e(t
)m
m
-1
1
0=
(b
pm
+b
pm-1
+
b
p
+b
)e(t)m
m
-1
1
0N(
p)(
pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)r(t)
n
-1
1
0D(
p)D(
p)r(t)
=
N(
p)e(t)系统特征多项式系统特征方程D(
p)
=0算子方程10系统方程的算子表示法11运算规则利用算子符号：微分方程
形式上的代数方程。有一些代数规则可适用加法交换率(pn
+pm
)x(t)=(pm
+pn
)x(t)分配率[(pm
+pq
)+pn
]x(t)=[pm
+(pq
+pn
)]x(t)乘法交换率(pm
*
pn
)x(t)=(pn
*
pm
)x(t)=pm+n
x(t)分配率
pn
(
pm
+
pq
)x(t)
=
pm+n
x(t)
+
pn+q
x(t)结合率pn
(
pm
*
pq
)x(t)
=
(
pn
*
pm
)*
pq
x(t)
=
pm+n+q
x(t)系统方程的算子表示法运算规则因式分解(
pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)x(t)n-1
1
0=(
p
-l1)(p
-l2
)(p
-li
)......(p
-ln
)x(t)系统的特征根12系统方程的算子表示法运算规则不适用算子运算等号两边相同微分算子不能相消分子分母中相同算子不能随意相消，微分积分运算次序不能任意颠倒微分方程：px
=
py
fi
x
=
y
+
c代数方程：px
=
py
fi
x
=
ypppx
=
1
px
=
x代数方程：1
-¥-¥ttpx
=pdx
=
x(t)
-
x(-¥
)[
1p微分方程：p
1
x
=xdt]
=dtdx(t)ppx
„
p
1
x
=
x1p13系统方程的算子表示法转移算子（传递算子）系统激励与响应之间的转移关系，反映了系统对信号的影响求系统零输入响应
解齐次方程求系统零状态响应
解非齐次方程D(
p)r(t)
=
N(
p)e(t)01p
mN
(
p
)
b
+
bD
(
p
)H
(
p
)
=n
-1=
m
m
-1
1
0
p
n
+
a p
n
-1
+
a p
+
ap
m
-1
+
b p
+
bD(
p)r(t)
=0
e(t)
=014r(t)
=
H(
p)e(t)
e(t)
„0系统方程的算子表示法1转移算子H(p)举例激励e(t)作用于电路，求i1(t)与i2(t)的转移算子
15
-1121)
i
2
(
t
)
=
0pi1
(
t
)
+
(
2
p
+
1
+pp
p
(1
+
p
+
1
)
i
(
t
)
-
1
i
(
t
)
=
e
(
t
)用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)但系数中有p和1/p，为避开算子乘除能否相消，先将方程改写成为系统方程的算子表示法转移算子举例
-1
11
11
22pi1(t)
+(2p2
+
p+1)
i2(t)
=0
pe(t)1)
i
(t)
-
i
(t)
=p
p(p
+
p+整个变量
16
=
0
122
e(t)
i
(t)p
1
i
(t)
-1
p
1-1
2p
+
p+1
p2+
p+1系统方程的算子表示法转移算子举例12e(t)pp(2p3
+3p2
+4p
+2)=-1
2p2
+
p
+1p2
+
p
+1
-1p2
+
p
+1
e(t)01
i
(t)
=
-112p2
+
p+1=
e(t)p(2p3
+3p2
+4p+2)-1 2p2
+
p+10 2p2
+
p+1e(t)
-1i1(t)
=p
p2+
p+1
-1两边微分，先除后乘可消17系统方程的算子表示法2
p
2
+
p
+
1H
1(
p
)
=
2
p
3
+
3
p
2
+
4
p
+
2转移算子举例2
p
2
+
p
+
1i1
(t
)
=
2
p
3
+
3
p
2
+
4
p
+
2
e(t
)1181H
2(
p)
=
2
p3
+3p2
+
4
p
+
2i2
(t)
=
2
p3
+3p2
+
4
p
+
2
e(t)分子、分母中多下公因子，但不能随意相消，因此产生一个问题既三阶系统其特征多项式为四阶，注意以后问题不要这样处理，求零输入响应时由于多了一特征根则多出一项系统的零输入响应2零输入响应当系统激励信号e(t)=0时，仅由初始状态（系 统贮能）所产生的响应(
pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)r(t)
=0n-1
1
0=(
p
-l1)(p
-l2)(p
-li
)......(p
-ln
)r(t)求解方法解特征方程(p
-l1)(p
-l2
)(p
-li
)......(p
-ln
)=0确定零输入响应模式由初始条件确定常数19系统的零输入响应小结若初始r(0),代入可确定C1=r(0)
则
rzi(t)=r(0)eλt
t≥0若初状为r(t0)，则
rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)
t≥t02rdtdrdr=
l
dt
-
l
r
=
0一阶系统零输入响应(
p
-
l
)
r
=
011l
t
ln
r
=
lt
+
k
r(t)
=
ck
elt
=
ce11l
tr(t)
=
c
e20系统的零输入响应二阶系统零输入响应若2211
2l
tl
t+
c
er(t)
=
c
e(
p2
+a
p
+a
)r
=01
0(
p
-l1)(p
-l2
)r
=0(
p
-l1)r
=0 (
p
-l2
)r
=0初始条件t
=
0,
r(t)
=
r(0),
r'(t)
=
r'(0)r(0)
=
c1
+
c2r'(0)
=
l1c1
+
l2c2c1c221系统的零输入响应二阶系统零输入响应l
tl
t1
2+
c
ter(t)
=
c
e21l
tl
tr(t)
=
c1e
+
c2e异实根
l1
„
l2重实根
l1
=
l2
=
l=
a
-
jb共轭复根
l1
=
a
+
jb
,
l2211
221l
t
l
t=eat
(c
cosbt
+c
j
sinbt
+c
cosbt
-c j
sinbt)1
1
2
2=eat
[(c
+c
)cosbt
+
j(c
-c
)sinbt]1
2
1
2=eat
[c'
cosbt
+c'
sinbt)1
2+c
e+c
e
=c
er(t)
=ceat-
jbtat+
jbt22系统的零输入响应例题1(p33)已知某系统微分方程相应的齐次方程为+ +
r(t)
=
0dt
2
dtd
2
r(t)
dr(t)r(0)=0,r'(0)=1211
2l
tl
t+
c
er(t)
=
c
e系统的初始条件为求系统的零输入响应(
p2
+
p
+1)r
=0l1
=-1/
2+
j
3
/
2,l2
=-1/
2-
j
3
/
2r(0)
=
c1
+
c2r'(0)
=
l1c1
+
l2c22312e
sin(
3
t)2-
tr(t)
=23系统的零输入响应24例题2(p32)在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2Ω激励e(t)=0,且电路的初始条件为求两种初值下电流的零输入响应(2)
i(0)=0,uc
(0)=10v–求关于电流的微分方程–特征方程求特征根，求微分方程解–初始条件求系数(1)
i(0)
=
0,
i'(0)
=1A/s系统的零输入响应不同特征根所对应的齐次解单实根
r重实根
一对共轭复根
n阶系统零输入响应D(
p)r(t)
=0特性根，自然频率(pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)r(t)=0
特性方程n-1
1
0(
p
-l1)(p
-l2
)(p
-li
)......(p
-ln
)r(t)
=0代数量nnl
tl
tl
t+
c
e+......
+
c
er(t)
=
c
e2121l
t250+
c
)e+......
+
c
tr
-2(c t
r
-1
+
c
tr
-1
r
-2
1el
tea
t
[c'
cosbt
+c'
sinbt)1
2系统的零输入响应
n
nc
1
n-112n-1
n-1(
n-1)r
(0)
r'(0)
r(0)
1
l
ll
ln
c2
=
l1
1
1
1
c
1l21211
(
n-1)n-1nn-1
n-
n
r
(0)
r'(0)1
-1
r(0)
c
c
lll1
1
l2
ln
c2
=
l1n阶系统零输入响应初始条件t
=
0,r(t)
=
r(0),
r'(t)
=
r'(0),...,
r
(
n-1)
(t)
=
r
(
n-1)
(0)范德蒙德矩阵26奇异信号单位阶跃函数定义延迟3
0 (t
<
0)
1 (t
>
0)e(t)
=
te
(t)01
0
1 (t
>
t0
)(t
<
t0
)e(t
-
t
)
=
0te(t-t0)t00271奇异信号利用阶跃信号描述理想开关的动作t
=0合闸u(t) =
Ee
(t
)t
=0合闸i(t) =
Is
e
(t
)IsKi(t
)u(t)Ee(t
)KEu(t)28奇异信号利用阶跃信号表示矩形脉冲11=0+ -1Gt
(t)-t
t2
2Rt
(t)
=
e(t)
-
e(t
-t)Rt
(t)29222ttt
t=
e(t
+
)
-e(t
-
)G
(t)
=
R
(t
+
t)奇异信号11f(t)0t
e(t
)t-(t
-
1)e(t
-
1)1t1f(t)0=
te(t)
-(t
-1)e(t
-1)利用阶跃信号组成复杂信号f
(t)
=
t[e(t)
-e(t
-1)]
+
e(t
-1)30奇异信号1
t1f(t)0-111f(t-2)
e(t-2)02
t任何一个函数乘以单位阶跃函数后，其乘积在阶 跃之前为零，在阶跃之后保持原函数值f
(t)
=
f
(t
-
2)e(t
-
2)31右移2个单位保持阶跃后值奇异信号单位冲激函数定义设矩形脉冲函数f(t)，面积恒定为132
2tf
(t)
=
1
[e(t
+
t)
-
e(t
-
t)]t
fi
0tt1td(t)（1）2
2t
fi
0
td
(t
)
=
lim
1
[e
(t
+
t
)
-
e
(t
-
t
)]32奇异信号单位冲激函数定义本质在t=0处一个宽度无限小。幅度无限大，面积为“1”的脉冲函数表示δ(t)–箭头表示是冲激函数。–冲激函数的强度,1表示面积td(t)(1)0333奇异信号单位冲激函数数学定义式冲激函数面积为A则表示为Aδ(t)td(t)(1)0
¥
-
¥t
„
0d
(
t
)
d
t
=
1
d
(
t
)
=
0334奇异信号单位冲激函数延迟
t0处冲激函数
¥
-¥0)dt
=
1t
„
t0d(t
-
t
d(t
-
t0
)
=
0,td
(t-t
)t000（1）335奇异信号冲激函数性质抽样性任一函数f(t)与单位冲激函数相乘后,在(－∞,＋∞)区间上的积分，等于f(t)在冲激时刻的函数值
¥-¥¥-¥¥-¥¥-¥00f
(t)d(t
-
t0
)dt
=
f
(t0
)d(t
-t
)dt
=
f
(t
)f
(0)d(t)dt
=
f
(0)f
(t)d(t)dt
=
f
(t)
d(t
-
t0
)
=
f
(t0
)d(t
-
t0
)td(t)
从函数f(t)中抽取一个样值(1)f
(t)
d(t)
=
f
(0)
d(t)0f(t)f(0)336奇异信号冲激函数性质偶函数时域压扩性d(t)
=
d(-t)d(t)
=
d(-t)
=
0
t
„
0|
a
|d(at)
=
1
d(t)
a
„
0
1
|
a
|
1
|
a
|
1
|
a
|=
¥-¥¥-¥¥-¥¥-¥d(t)dt
=d(|
a
|
t)d(|
a
|
t)d(|
a
|
t)dt
=d(at)dt
=337奇异信号冲激函数性质单位冲激函数的积分是单位阶跃函数单位阶跃函数的导数是单位冲激函数
-¥-¥-¥(t)
=tttd(t)dt
=
0
t
<
0d(t)dt
=1
t
>
0d(t)dt
=
e00dtdt=
d(t
-t
)de(t
-t
)de(t)
=
d(t)
-¥
0
t
<
t0
1
t
>
t0td(t
-t0
)dt
=
e(t
-t0
)
=
338奇异信号冲激函数性质奇异函数若干次积分和微分也是奇异函数单位阶跃函数的积分是单位斜变函数单位冲激函数的导数是单位冲激偶
-¥
t
(t
‡0)f
(t)
=te(t)dt=
0(t
<0)f
(t)tf
(t
-t0)t0
t0
+1110
1
t0dtd¢(t)=
d
d(t)-
t
t2
21t2-
t
t2t
fi
0d
(t)求导339奇异信号冲激函数性质
¥¥-¥
-¥d
¢(t
)
f
(t
)dt
=
-
d
(t
)
f
¢(t
)dt
=
-
f
¢(0)f(t)d
(t)
=
f
(0)d
(t)
-
f
(0)d(t)34041奇异信号练习：求f(t)，并画出f(t)的导数的波形44(1)f(t)
f(t)t1
t2f(t)t(2)
A
(3)t
t-1
12100dt
dt=
d(t
-t
)de(t)
=
d(t)
de(t
-t
)dtdf
=
e(t)
-e(t
-
4)f
(t)
=
t[e(t)
-e(t
-
4)]1
2dtdf
=
d(t
-t
)
-d(t
-t
)f(t)
=
Ae(t-t1
)
-
Ae(t
-
t2
)dtdf
=
-d(-t
+1)
+e(t
+1)
-e(t
-1)f
(t)
=
e(-t
+1)
+(t
+1)[e(t
+1)
-e(t
-1)]
+
e(t
-1)奇异信号42冲激函数练习3(1)(2)(3)(4)(5)3¥-¥-26-4¥-¥2-2sin(t)d(t
-
p
)dt4e-5td(t
-1)dte-2td(t
+
8)dte-td(2
-
2t)dt(t2
+
3t)d(
t
-1)dt(6)(t3
+
2t2
+
3)d(t
-
2)(7)e-4td(2
+
2t)(8)e-2tu(t)d(t
+1)
sin(p
/
4)e-50e-10t
=
2
fi
19e40奇异信号斜变函数
-¥e(t)dte(t)dt
=
0tt
R
(t
)
=d
(t
)dt
dR
(t
)
=
e(t
)
=
e(t
)
+
te(t
)R
(t
)
=
tf(t)tt343奇异信号d¢(t)
=
d
d(t)dtf
(t)
d'(t)
=
f
(0)d'(t)
-
f
'(0)d(t)冲激偶t由－∞→0－时,是一个强度无限大的正冲激t由+∞→0＋时,是一个强度无限大的负冲激f(t)344信号时域分解3¥45n=0任务外加的复杂激励信号分解成一系列单元激励信号周期性脉冲信号分解为奇异函数之和f
(t)
=
A[e(t)
-e(t
-t)]+
A[e(t
-T)
-e(t
-T
-t)]+
A[e(t
-2T)
-e(t
-2T
-t)]+
=
A
[e(t
-nT)
-e(t
-nT
-t)]矩形脉冲信号时域分解周期性脉冲信号分解为奇异函数之和f
(t)
=
R(t)
-
R(t
-1)
-
R(t
-
3)
+
R(t
-
4)=
te(t
)
-
(t
-1)e(t
-1)
-
(t
-
3)e(t
-
3)+
(t
-
4)e(t
-
4)n
=1TTf
(
t
)
==
A
R
(
t
)
-
A
(
t
nT
)¥e
-A
R
(
t
)
-
A
e
(
t
-
T
)
-
A
e
(
t
-
2
T
)
锯齿形脉冲梯形脉冲346f(0)f(t)t△t
(k-1)△tk△tf(k△t)-
f((k-1)△t)naDt
e(t
-kDt)
Df
(t)
Dt
e(t)
+f
(t)
=
f
(0)
k=1t=kDtt0f
'(t)e(t
-t)dte(t)
+f
(t)
=
f
(0)
3信号时域分解任意函数表示为阶跃函数的积分分解为无限多个小阶跃函数相叠加的叠加积分 表示式将t轴n等分每段△t作阶梯信号fa(t)逼近f(t)
fa(t)≈f(t)当△t
→0，n→∞
，fa(t)
→f(t)47信号时域分解任意函数表示为冲激函数的积分分解为无限多个冲激函数相叠加的叠加积分的 形式将t轴n等分每段△t作阶梯信号fb(t)逼近f(t)
fb(t)≈f(t)当△t→e，n→∞
，fb(t)
→f(t)nfb
(t)
=
f
(kDt)d(t
-
kDt)
Dtk
=0
-t0f
(t)
=f
(t)d(t
-t)dtf(0)f(t)t△t
(k-1)△tk△tf(k△t)348信号时域分解总结信号在时间域里分解成阶跃函数、冲激函数、斜变函数这样的一些单元激励信号任意函数表示为阶跃函数或冲激函数的积分为求响应方便，分解的单元激励种类越少越好求系统零状态响应，可先求对各单元激励信号的响应，再利用系统线性、时不变性求所有单元响应349
-+00f
(t)d(t
-t)dtf
(t)
=f
'(t)e(t
-t)dt
f
(t)
=
f
(0)e(t)
+tt系统的零状态响应零状态响应定义无初始状态条件下，系统对激励信号e(t)所产生的响应典型单元激励响应冲激响应阶跃响应斜变响应450系统的零状态响应4冲激响应系统在零状态条件下，对单位冲激函数激励所 产生的响应，用h(t)表示e(t)
fi
r(t)
de(t)
fi
dr(t)dt
dt
e(t)
fi
re(t),d(t)
fi
h(t)dtdth(t)
=
dre(t)\
d(t)
=
de(t)
fi51系统的零状态响应4阶跃响应系统在零状态条件下，对单位阶跃函数激励所 产生的响应，用rε(t)表示e(t)
fi
r(t)
de(t)
fi
dr(t)dt
dt
e(t)
fi
re(t),d(t)
fi
h(t)\
d(t)
=
de(t)
fi
h(t)
=
dre(t)dt
dth(t)d(t)tre
(t)
=
0-52系统的零状态响应斜变响应系统在零状态条件下，对单位斜变函数激励所 产生的响应，用rR(t)表示e(t)
fi
r(t)
de(t)
fi
dr(t)dt
dt
e(t)
fi
re(t),d(t)
fi
h(t)dtdtrR
(t
)
=
t
e(t
)h(t)
=
dre(t)\
d(t)
=
de(t)
fire
(t)dttrR
(t)
=
0-53系统的零状态响应冲激响应h(t)的平衡求取法保持系统对应的动态方程式恒等，方程式两边 所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等dt求冲激响应
dy(t)
+3y(t)
=2
f
(t)dtdh(t)
+3h(t)
=
2d(t)(t
‡
0)(t
‡0)h(t)
fi
Aeltu(t)l
=-3dtd
[Ae-3tu(t)]
+3Ae-3tu(t)
=
2d(t)Ae-3td(t)
-3Ae-3tu(t)
+3Ae-3tu(t)
=
2d(t)Ad(t)
=
2d(t)h(t)
=
2e-3tu(t)54系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法(
pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)r(t)
=(b pm
+b
pm-1
+
+b
p
+b
)e(t)n-1
1
0
m
m-1
1
02101kkkn
d(t)
p-ln
p-l2+
p-l1=
pn
+an-1h(t)
=H(p)d(t)
=
m
m-1
1 0
d(t)+
+pn-1
+
+a
p+ab pm
+b
pm-1+
+b
p+b1
055d(t)m-1+
+b
p
+b
)(
pn
+a
pn-1
+
+a
p
+a
)h(t)
=(b pm
+b
pn-1
1
0
m
m-1系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n>m第i项构成的一阶微分方程解dti
i
i
iikiid
(t)
fi
d
h
(t
)
-
l
h
(t)
=
k
d
(t
)p
-
lh
(t
)
=diii
iiid(t)i
dt-l
t-l
te-l
th
(t)
=
k
eh
(t)
-le[e h
(t)]dtdiiiid(t)-l
t-l
t=
k
edtd00
---l
ttitiiik
e
-l
td
(t)
dt[e h
(t)]
dt
=56系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n>m第i项构成的一阶微分方程解dtd00ii[e h
(ititk
e
-l
td
(t)dt-l
t
--t)]dt
=i
iil
t\
h
(t
)
=
k
e
e(t
)
hi
(0-
)
=
0057itii
iiiie h
(t)
|d
(t)dt
=
k
e(t
)=
k=
e h
(t
)
-
h
(0
)
--t0
--l
t-l
t系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n>
m第i项构成的一阶微分方程解依同样方法可求出部分分式中每一项所对应的一阶微分方程的解，得到nii
i
=1h(t
)
=k
e
e(t
)l
t58系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n＝
m2101k2k1mm
km
m
p
-
l+p
-
l
=
b
+1
0
pm
+
a=
bpm
+
am-1pm-1
+
c+
m-1
m-2
1 0
d(t)m-1h(t)=
m
m-1
1 0
d(t)+
+
d(t)p
-
lpm-1
+
+
a p
+
ac
pm-2
+
+
c p
+
c
pm-1
+
+
a p
+
ab
pm
+
b
pm-1
+
+
b p
+
bmimk
ei
i
=1e
(t
)h
(t
)
=
b
d
(t
)
+l
t59系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n<
m2101k1
k2
knd(t)
n
p
-lp
-l
p
-l
=
bm
p
+
A
p
0
m
b
p
+
A
p=m-n-1m-n-1m-nn-1
1m-n-1m-n-1m-nn-1h(t)
=
m
m-1
1 0
d(t)+
+
++
A1
p
+
A0
+pn
+a
pn-1
+
+a
p
+ac
pn-1
+
+c
p
+c
n-1
1
2
+
+
A1
p
+
A0
+pn
+a
pn-1
+
+a
p
+ab pm
+b
pm-1
+
+b
p
+b
+nimii=10(m-n-1)m-n-1(m-n)(t)k
e
e+Ad(t)(t)+A
dh(t)
=b
dlt(t)+
60系统的零状态响应61n阶系统冲激响应h(t)的求法讨论存在重根或共轭复根和单根情况下(
pn
+
an-1
pn-1
+
+
a1
p
+
a0
)r(t)
=
e(t)e(t)
=
d(t),
r(t)
=
h0(t)
d(t)只在t
=0时,才有意义.\可以肯定当t
>0时,(
pn
+
a
pn-1
+
+
a p
+
a
)h
(t)
=
0n-1
1
0
0h0(t)的模式一定与零输入响应模式相同系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法讨论若系统有m重根λs
,n－m个相异实根若系统有2m个复根，n－2m个相异实根k
en0
ijse(t)l
tl
t
mh
(t)
=
k
t
e
+
jj
=m+1
i=1i
-1k
eni1je(t)l
teait
(C
mcos
bit
+
Ci
2
sin
bi
(t)
+h
(t)
=
j0
j
=2m+1
i=1462系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法讨论h0(t)与rzi(t)的差别–rzi(t)中待定系数是由t=0－时系统的初态决定的–h0(t)中，系统在t=0－时具有初值一定为零
t=0时，δ(t)激励系统，这样，系统在t=0+时具有一定初值，h0(t)的待定系数时可用初始条件求得
+
+
+++000
00h
(0 )
=
1h
(0 )
=
h(
n-3)(n-1)(n-2)(0 )
=
=
h
'(0 )
=
h
(0 )
=
0463系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法微分方程为一般形式时利用线性时不变系统的微分特性及线性性质由标准形式方程微分方程的冲激响应h0(t)及h0(t) 的各阶导数加权组合而构成h
(
t
)
=
(
b p
m
+
b p
m
-1
+
+
b
p
+
b
)
h
(
t
)m m
-1
1
0
0p
m+
b p
m
-1
+
b
)e(t
)(
p
n
+
a p
n
-1
+
+
a p
+
a
)r
(t
)
=
(bn
-1
1
0
m m
-1
0464系统的零状态响应例题1求系统的冲激响应
p50dd
2r(t)
+
4
r(t)
+
4r(t)
=
e(t)dt
dtdtddtd
2h(t)
+
4h(t)
=
d(t)h(t)
+
4（p2
+
4
p
+
4)h(t)
=
d(t)1,2l
=
-2，n
>
me(t)-2th(t)
=（k1t
+
k2
)e
++=
0
2122
1
k
k
=1h
(0 )
=
0
=
kh
'(0 )
=1
=
k
-
2kh(t)
=
te-2te(t)465系统的零状态响应p51例题2求系统的冲激响应(p2
+4
p
+4)r(t)=(2
p2
+9
p
+11)e(t)(
p2
+
4
p
+
4)h(t)
=
(2
p2
+
9
p
+11)d(t)(2
p2
+
9
p
+11)
p
+
3(
p2
+
4
p
+
4)
d(t)
=
2d(t)
+
(
p2
+
4
p
+
4)
d(t)h(t)
=(
p2
+
4
p
+
4)h
(t)
=
d'(t)
+
3d(t)l1,2
=
-2，n
>
m1h1
(t)
=
h0
'(t)
+
3h0
(t)0(t)-2th
(t)
=
te
e1=
(1+
t)e-2th
(t)
=
e-2t
-
2te-2t
+
3te-2t1-2t=
2d(t)
+
(1+
t)e-2te(t)d(t)
+
h
(t)eh
(t)
=
2466系统的零状态响应»
系数总结求取冲激响应h(t)步骤确定模式(n>m,
n=m,
n<m)求标准方程冲激响应h0(t)的系数单根部分：系数为转移算子，展为部分分式的系数重根，共轭复根：»
D(
p)h0
(t)
=
d(t)
h0
(t)0
0
0+
'
+
(n-2)
+h(n-1)
(0+
)
=10h0(t)及h0(t)的各阶导数加权组合而构成h
(0 )
=
h(0 )
=
=
h
(0 )
=
0467系统的零状态响应总结冲激响应h(t)的响应模式与零输入模式相同，只 是求待定系数的方法有区别冲激响应h(t)是系统本身固有特性，与外界激励 无关。阶跃响应也如此。4685ne(t)
»
e(kDt)
Dt
d(t
-
kDt)k
=0n\
r
(t
)
»
e(kDt
)
Dt
h(t
-
kDt
)k
=0d
(t
)
fi
h(t
),
d
(t
-
kDt
)
fi
h(t
-
kDt
)叠加积分叠加积分任务叠加原理
对激励信号各分量的响应进行叠加， 求任意函数激励的零状态响应各冲激分量响应叠加求系统零状态响应卷积积分
叠加积分激励函数沿垂直方向分解表示成冲激函数积分69叠加积分利用叠加积分由冲激响应求解系统对激励函数的
零状态积分公式nt700e(t)h(t
-t)dt
-卷积积分定义r
(t
)
»
e(kDt
)
Dt
h(t
-
kDt
)k
=0n→∞,Δt→0
kΔt→τ,Δt→dτ,Σ→∫系统对激励函数的响应
-t0r(t)
=r
(t
)
=e(t
-t)h(t)dt卷积积分叠加积分例题(p54)RC串联电路，初始状态为零,求响应电流2e
(t
)
=
(
1
t
+
1)[
e
(t
)
-
e
(t
-
2
)]
+
(t
+
1)e
(t
-
2
)C=2Fe(t)R=1/2i(t)21C
=
2F
,
R
=
W
1
R
2
Ce
(t
)-
t-
t
/
RC1C71i
(t
)
dt
=
d
(t
)Ri
(t
)
+t
-
¥d
(t
)
-
e
e
(t
)
=
2d
(t
)
-
2
e0
h
(t
)
=i
(t
)
=
1
Rt=
(1
+
e
-
t
)e
(t
)
+
(1
+
e
-
(
t
-
2
)
)e
(t
-
2
)e
(t
)
h
(t
-
t
)
dt下列运算关系卷积积分卷积的定义f1
(t)和
f
2(t)是具有相同变量t
的两个函数，它们相卷积后所成的变量为
g
(t)
,
f1
(t)
、f
2(t)
和
g
(t)
满足¥-¥g
(t)
=
f1
(t)
f
2
(t
-t)dt卷积积分g(t)
=
f1
(t)
*
f
2
(t)572卷积积分卷积物理意义冲激函数的抽样性可知任意信号可表示为冲激函数的积分线性时不变系统
t0e(t)
=e(t)d(t
-t)dth(t)d(t)
fid(t
-t)
fi
h(t
-t)
t0r(t)
=e(t)h(t
-t)dt
t0e(t)
=
e(t)d(t
-t)dt激励响应物理意义系统的零状态响应等于系统的激励与系统的单位冲激响应的卷积积分73卷积积分卷积的积分限激励信号e(t)是有始函数e(t)=0
(t<0)系统h(t)
是因果系统。有激励，才有响应。激励在t=0时加入，因此t<0
,h(t)=0
==00te(t
-t)h(t)dt-t)dte(t)h(t
-¥-¥¥==f1(t
-t)
f2
(t)dtf1(t)
f2
(t
-t)dt响应r(t)
=
e(t)*
h(t)t74卷积g(t)
=
f1(t)*
f2
(t)¥卷积积分
¥
¥t0-¥
0-t)dte(t)h(tr(t)
=
e(t)h(t
-t)dt
=
e(t)h(t
-t)dt=卷积的积分限e(t)有始,t
<0时为e(t)=0h(t)fi
因果系统，当t
-t
<0时,h(t
-t)=0积分限：0
fi
t
(t
>t)根据所给的e(t)和h(t),确定积分限75卷积积分卷积的积分限函数有“有始有终”且起点不在t=0处积分限 的确定要更为复杂常用积分限一般e(t),一般h(t)因果e(t),一般h(t)一般e(t),因果h(t)因果e(t),因果h(t)举例：因果e(t),因果h(t)¥¥e(t
-t)h(t)dte(t)h(t-t)dt或-¥¥-¥-¥t
0t¥
-¥t0
0t0t
=-¥¥
¥00e(t)h(t
-t)dtr(t)
=
e(t)h(t
-t)dt
=
e(t)h(t
-t)dt76卷积性质卷积的运算性质互换律分配律结合律卷积后微分卷积后积分延时后卷积相关与卷积577卷积性质卷积的代数运算分配律f1(t)*f2(t)=
f2(t)*f1(t)交换律证明:
¥-¥f
(t)*
f
(t)=f1(t)f2(t
-t)dt1
2t=t
-x-¥¥=
f1(t
-x)
f2
(x)d(-x)¥-¥=
f2
(x)
f1
(t
-x)dx=
f2
(t)
*
f1
(t)f1
(t)
*[
f
2
(t)
+
f3
(t)]
=
f1
(t)
*
f
2
(t)
+
f1
(t)
*
f3
(t)78卷积性质卷积的代数运算结合律[
f1
(t)*
f2
(t)]*
f3
(t)
=
f1
(t)
*[
f2
(t)*
f3
(t)]证明:1
2
3[
f
(t)
*
f
(t)]
*
f
(t)
=
¥
¥-¥
-¥[x
-t
=
x1
¥-¥f1
(t)
f
2(x
-t)dt]
f3
(t
-x)dx¥-¥=
f
(t)[1
¥-¥f2
(x)
f3
(t
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