基于驱动被动引力的并联机构刚度和弹性变形分析

基于驱动被动引力的并联机构刚度和弹性变形分析

0串联机构的刚度和弹性变形刚性是组合机构最重要的执行指标之一。刚性性能决定了机构的动态特性和定位精度。更高的刚性允许更高的加工速度。对于少自由度并联机构,由于结构约束的存在,分支中出现了约束反力,在传统方案中,并没有考虑机构中约束反力产生的变形,而事实上这个变形已经达到了不可忽视的程度。因此在初始设计阶段,分析并联机构的刚度和弹性变形很重要。对于少自由度并联机构的刚度,许多学者也做了研究。Joshi等分析和比较了Tricept机构和3-UPU机构的刚度模型。Huang等对一种tripod-based并联机构进行了刚度分析。Li等分析了3-PUU机构的刚度。韩书葵等用螺旋理论建立了一种新型4自由度并联机构的刚度模型。张勇等建立3自由度可约移动并联机构3-PPRR的刚度模型。李剑锋等对具有大位置空间的2PUS-PU3自由度并联机构刚度进行了分析。本文中我们以3-SPR并联机构为研究对象,通过驱动力/约束力研究分支刚度伴随矩阵和弹性变形,从而求解机构总的刚度矩阵和弹性变形。13-spr组合结构的刚性和弹性变形1.13驱动分段的静力学建模由文献中并联机构中的约束力位置和方向的约束情况可知3-SPR并联机构中只存在约束力,无约束力矩。3-SPR并联机构及其受力情况如图1所示。整个工作载荷被简化为作用在动平台m的o上的集中力/力矩(F,T),(F,T)平衡于机构本身产生的3个驱动力力Fai(i=1,2,3)和3个约束力Fci(i=1,2,3)。驱动力Fai沿着ri作用在ri上的Bi上,每个Fci∥转动副轴线Ri。基于虚功原理,从参考文献中导出3-SPR的静力学方程为式中,J是一个6×6的雅克比矩阵;ri和δi(i=1,2,3)是驱动分支的长度和单位矢量;ei是从o到bi的矢量;ci(i=1,2,3)是Fci的单位矢量;di是从o到Bi的矢量。1.23spr于各链杆间所作的变形(1)连续性假设:认为组成固体的物质毫无间隙地充满了固体的几何空间。(2)均匀性假设:认为从构件内任取一部分,不论体积大小如何,其力学性能完全相同。(3)各项同性假设:认为固体在各个方向上的力学性能完全相同。(4)弹性小变形条件:固体因外力作用而引起的变形,限于变形的大小远远小于构件原始尺寸的情况,且在外力解除后又可恢复原状。(5)不考虑各转动副处的变形和间隙。(6)动平台比各链杆的尺寸大很多,其变形远远小于杆的变形,为计算动平台上中心点变形及协调关系,假定动平台为刚体。并联机构中每个SPR分支既受轴向力作用产生拉压弹性变形,又受切向力作用产生弯曲弹性变形,每个分支的变形可以看作这两种变形分别作用的结果。设定如下参数:r1i、B1i、I1i分别为分支活塞的长度、截面积和惯性矩;r1i-r1i、B2i、I2i分别为分支液压缸的长度、截面积和惯性矩;Ei为分支ri的弹性模量。当每个驱动力Fai(i=1,2,3)沿着ri作用在驱动分支ri上时,分支上产生的轴向弹性微变形δai(图2a)为,约束力Fci施加在SPR分支上的S副,产生一个径向的弯曲弹性变形δci(图2b)为式中,kai和kci分别是SPR分支的轴向刚度和弯曲刚度,其推导过程参见文献。由式(2)~式(3)可导出分支的力变形方程为式中,Kp是3-SPR并联机构驱动分支ri的一个6×6的伴随矩阵。1.33构变形创造的虚功总量与由f,t的变异产生的虚功根据虚功原理有(Fa1,Fa2,Fa3,Fc1,Fc2,Fc3)沿并联机构变形产生的虚功总量与由(F,T)沿在{B}里的点o的变形产生的虚功之和为零,如式(5)表达所示。令(dXo,dYo,dZo)为{B}里m弹性微变形的3个线位移分量,(dφx,dφy,dφz)为{B}里m弹性微变形的3个角位移分量。23位姿对动平台刚度的影响在3SPS并联机构中,令初始位姿为α=1°,β=1°(α=γ),Zo=100mm,机构以νZo=3mm/s,ωα=1(°)/s,ωβ=2(°)/s的速度运动。设L=100mm,l=50mm,F=[-20,-30,-60]TN,Ei=2.11×1011Pa,EiI1i=EiI2i=26502N·m2,B1i=B2i=0.0013m2。图3a和3b所示为动平台欧拉角和位置坐标相对时间t的变化情况,通过分析相关方程组,可得到ri的伸长量、驱动分支的弹性变形、驱动分支的弯曲变形以及动平台的最终弹性变形,分别如图3c~图3g所示。综合图3可以得到:3-SPR并联机构的刚度随着动平台的位姿变化而变化;当动平台处于初始位置,即驱动分支伸长量最小时,并联机构的刚度最大。3约束/矩的影响通过求解3-SPR并联机构中的驱动分支的弹性变形,导出驱动/约束分支的伴随矩阵,根据驱动分支的6×6雅克比矩阵和伴随矩阵,导出3-SPR并联机构的总刚度矩阵和弹性变形。3-SPR并联机构的刚度随着动平台的位姿变化而变化,当动平台处于初始位置,即驱动分支伸长量最小时,并联机构的刚度最大。约束力/矩对3-SPR并联机构的弹性有巨大的影响,当建立3-SPR并联机构的总刚度矩阵和求解其弹性变形时,必须充分考虑约束力/矩的影响。用解析法建立本文中并联机构刚度模型时,仅考虑连杆和驱动关节等组件弹性的影响,所建模型缺乏一定的完备性,势必会影响刚度预测的精确度,并且所建模型还缺乏对铰链间隙以及预应力影响的考虑,因此很多研究内容还需要进一步深入开展。为了便于计算先做如下假设:结合式(