圆锥曲线：抛物线（高考真题汇编）-2022-2023年2年全国高考数学试题

圆锥曲线：抛物线（高考真题汇编）2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版一．选择题（共5小题）1．（2023•港、澳、台）抛物线y2＝2px过点，求焦点（）A．（，0） B．（，0） C． D．2．（2022•港、澳、台）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（）A．y2＝x﹣ B．y2＝x+ C．y2＝2x﹣1 D．y2＝2x+13．（2023•北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（）A．7 B．6 C．5 D．44．（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A．2 B．2 C．3 D．35．（2023•上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立二．多选题（共3小题）（多选）6．（2023•新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形（多选）7．（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切 C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）8．（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°三．填空题（共1小题）9．（2023•乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为．四．解答题（共7小题）10．（2023•上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．11．（2022•上海）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．12．（2022•浙江）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q（0，）在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝﹣x+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．13．（2022•甲卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．14．（2023•甲卷）已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且•＝0，求△MFN面积的最小值．15．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．16．（2023•甲卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线x﹣2y+1＝0与C交于A，B两点，且|AB|＝4．（1）求p的值；（2）F为y2＝2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且•＝0，求△MNF面积的最小值．

圆锥曲线：抛物线（高考真题汇编）-2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2023•港、澳、台）抛物线y2＝2px过点，求焦点（）A．（，0） B．（，0） C． D．【答案】C【解答】解：抛物线y2＝2px过点，则3＝2p，解得p＝，故该抛物线的焦点为（）．故选：C．2．（2022•港、澳、台）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（）A．y2＝x﹣ B．y2＝x+ C．y2＝2x﹣1 D．y2＝2x+1【答案】C【解答】解：以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线中p＝1，所以顶点坐标为焦点与准线与x轴的交点的中点的横坐标为，即该抛物线的方程为：y2＝2（x﹣）＝2x﹣1，故选：C．3．（2023•北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解答】解：如图所示，因为点M到直线x＝﹣3的距离|MR|＝5，∴点M到直线x＝﹣2的距离|MN|＝4．由方程y2＝8x可知，x＝﹣2是抛物线的准线，又抛物线上点M到准线x＝﹣2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4．故选：D．4．（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2．故选：B．5．（2023•上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2023•新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形【答案】AC【解答】解：直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得＝1，所以p＝2，所以A正确；抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN＝，所以|MN|＝xM+xN+p＝，所以B不正确；M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1+＝，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN＝，yM＝﹣2，yN＝，|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．故选：AC．（多选）7．（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切 C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【答案】BCD【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．（多选）8．（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°【答案】ACD【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共1小题）9．（2023•乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为．【答案】．【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则5＝2p，解得p＝，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为．故答案为：．四．解答题（共7小题）10．（2023•上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．11．（2022•上海）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．【答案】（1）；（2）或；．【解答】解：（1）由题意可得，，∵AM的中点在x轴上，∴M的纵坐标为，代入得．（2）由直线方程可知，①若，则，即，∴，∴．②若，则，∵，∴，∴，∴tan∠BAM＝7．即tan∠OAF2＝7，∴，∴，综上或．（3）设P（acosθ，bsinθ），由点到直线距离公式可得，很明显椭圆在直线的左下方，则，即，∵a2＝b2+2，∴，据此可得，，整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即，从而．即d的最小值为．12．（2022•浙江）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q（0，）在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝﹣x+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），则|PM|2＝x2+（y﹣1）2＝12﹣12y2+y2﹣2y+1＝﹣11y2﹣2y+13，y∈[﹣1，1]，而函数z＝﹣11y2﹣2y+13的对称轴为，则其最大值为，∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得，（12k2+1）x2+12kx﹣9＝0，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AP：，直线BP：，联立以及，可得，∴由弦长公式可得＝＝2||＝2||＝＝≥＝，当且仅当时等号成立，∴|CD|的最小值为．13．（2022•甲卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）y2＝4x；（2）．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2，得yM＝p，可知|MD|＝p，|FD|＝．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|2，得＝9，解得p＝2．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），当MN与x轴垂直时，由对称性可知，AB也与x轴垂直，此时，则α﹣β＝0，由（1）可知F（1，0），D（2，0），则tanα＝kMN＝，又N、D、B三点共线，则kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三点共线，得y3＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则tanα＝，tanβ＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞0时，tan（α﹣β）＝≤＝；当m＜0时，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，等号成立，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，又∵y3+y4＝﹣＝8m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为4x﹣4y﹣16＝0，即x﹣y﹣4＝0．14．（2023•甲卷）已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且•＝0，求△MFN面积的最小值．【答案】（1）p＝2；（2）12﹣8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得：y2﹣4py+2p＝0，∴y1+y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2﹣8p＞0，∴p（2p﹣1）＞0，∴p＞，|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4，∴16p2﹣8p＝48，∴2p2﹣p﹣6＝0，∴（2p+3）（p﹣2）＝0，∴p＝2，（2）由（1）知y2＝4x，所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2）由，可得y2﹣4my﹣4n＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，Δ＝16m2+16n＞0→m2+n＞0，因为，所以（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，即（my1+n﹣1）（my2+n﹣1）+y1y2＝0，即，将y1+y2＝4m，y2＝﹣4n，代入得4m2＝n2﹣6n+1，∴4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3﹣2．设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，|MN|＝|y1﹣y2|＝＝＝＝2|n﹣1|，所以△MNF的面积S＝|MN|×d＝××2|n﹣1|，又或，所以当n＝3﹣2时，△MNF的面积Smin＝（2﹣2）2＝12﹣8．15．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|＝，两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y+，化简得：y＝x2+，符合题意．故W的方程为y＝x2+．（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．设A（a，a2），B（b，），C（c，），则，．由题意，＝0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b﹣，则|AB|+|BC|＝|b﹣a|+|c﹣b|＝|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|＝|b+c+|．设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+），即f（x）＝，又f′（x）＝＝．显然，x＝为最小值点．故f（x）≥f（）＝，故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|＝，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．设A（a，a2）（a