2021年中考13 一元一次不等式（组）及其应用（解析版）(一)

专题13一元一次不等式（组）及其应用

专题知识点概述

1.不等式的定义：用不等号示意不相等关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有

解，组成这个不等式的解集。

3.一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高

次数是1,

像如许的不等式，叫做一元一次不等式。

4.一元一次不等式组：一样地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一路，就组成了一个一元

一次不等式组。

5.不等式的性质：

性质1:不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。

性质2:不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3:不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

6.一元一次不等式的解法的一样步骤：

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.

7.一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)操纵数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

8.求不等式组解集的规律：

不等式解集在数轴上的示意方式：含2或W,用实心圆点，含>或<用空心圆圈。

不等式组的解集有四种情况：

若a>b,

(1)当4x>a时，•则不等式的公共解集为x>a;

x>b

(2)\x<a时，不等式的公共解集为b<x<a;

x>b

(3)\x<a时，不等式的公共解集为x<b;

x<b

(4)当《x>a，时，不等式组无解.

x<b

9,中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：

类型一：一元一次不等式的解集问题。

类型二：一元一次不等式组无解的情况。

类型三：明白一元一次不等式组的解集求范畴。

类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范畴。

类型五：一元一次不等式组有整数解求范畴。

类型六：一元一次不等式（组）应用题。

2x-6<3x,

【例题1】（2021贵州黔西南）不等式组（x+2x-1的解集为

...（）

I54

【答案解析】—6<xW13

【试题解答】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上订交的点的集合就是该不等

式的解集.若没有交集，则不等式无解.

2x-6<3x,

【详解】\x+2x-\x>-6

解得{x<13

在坐标轴上示意为：

014

，不等式组的解集为-6VXW13

【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，谙练掌握其解法及示意方式是解题的关键.

[3x-5<x+1

【对点练习】（2021广西北部湾）解不等式组（3尤-4<2%-1，并操纵数轴确定不等式组的解集.

[-63

-5-4-3-2-1012345

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题主要考查领会一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x<3和X2-2,再根据大

小小大中间找确定不等式组的解集.然后操纵数轴示意其解集.

3x-5<x+l®

解:一忘2②

I63

解①得x<3,

解②得x2-2,

所以不等式组的解集为-2Wx<3.

用数轴示意为：

।।।I।।।।1।

-5-4-3-2-1012345

【例题2］（2021•天水）若关于x的不等式39aW2只有2个正整数解，则a的取值范畴为（）

A.-7<a<-4B.-7WaW-4C.-7Wa<-4D.-7<aW-4

【答案解析】D

【试题解答】先解不等式得出三等，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2,据此得

出2《等V3,解之可得答案.

♦.•3x+aW2,

二3xW2-a,

则烂半，

•.•不等式只有2个正整数解，

二不等式的正整数解为1、2,

则2<等<3,

解得：-7Va<-4

【对点练习】（2021湖北黄石模拟）若关于x的不等式组有实数解，则。的取值范

围是_______.

【答案解析】a<4.

【试题解答】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，求出a

的取值范畴即可.

2x>3x-3...①

3x-a>5...②

由①得，x<3,由②得，x>5+a3,

:此不等式组有实数解，

；.5+a/3<3,解得a<4.

【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此

题的关键.

【例题3】(2021•苏州)如图，“开心”农场筹办用50加的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花

园的长为a(/?;),宽为b(z»).

(1)当a=20时，求人的值；

(2)受场地前提的限制，a的取值范畴为18Wa<26,求6的取值范畴.

墙

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）由护栏的总长度为50巩可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论;

（2）由a的取值范畴联合a=50-2”即可得出关于6的一元一次不等式，解之即可得出结论.

【试题解答】（1）依题意，得：20+26=50,

解得：6=15.

（2）;T8WaW26,a=50-2b,

.（50-26>18

2b<26'

解得:12W6W16.

答：6的取值范畴为12W6W16.

【对点练习】（2021•湖南衡阳）某商店购进4、6两种商品，采办1个/商品比采办1个6商品多花10

元，并且破费300元采办A商品和破费100元采办6商品的数量相等.

（1）求采办一个/商品和一个8商品各需要几元；

（2）商店筹办采办4、夕两种商品共80个，若/商品的数量不少于8商品数量的4倍，并且采办人

6商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种采办方案？

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等

量关系，正确列出分式方程：（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

(1)设采办一个6商品需要“元，则采办一个1商品需要(於10)元,

依题意，得：*_=独，

x+10x

解得：x=5,

经检验，*=5是原方程的解，且吻合题意，

•*.jf+10=15.

答：采办一个/商品需要15元，采办一个8商品需要5元.

(2)设采办8商品0个，则采办力商品(80-tri)个，

’80-m〉41n

依题意，得：<15(8CHn)+5m>100C，

15(80-m)+5n<105C

解得：15W辰16.

为整数，；.加=15或16.

商店有2种采办方案，方案①：购进力商品65个、8商品15个;

方案②：购进力商品64个、3商品16个.

一、挑选题

1.（2021•贵阳）已知aVb,下列式子不必然成立的是（）

A.a-l<b-1B.-2a>-2b

C.ia+1iD.ma>mb

22

【答案解析】D

【试题解答】根据不等式的根基性质进行判断.

/.在不等式a<6的两边同时减去1,不等号的方向不变,即a-KA-1原变形正确，故此选项

不吻合题意;

笈在不等式aV8的两边同时乘以-2,不等号方向改变，即-2a>-26,原变形正确，故此选项不

吻合题意;

C在不等式的两边同时乘以最不等号的方向不变,即不等式的两边同时加

上1,不等号的方向不变，即原变形正确,故此选项不吻合题意;

D.在不等式a<b的两边同时乘以他不等式不必然成立,即磔>〃力，或maVmb,或ma=mb,原变

形不正确，故此选项吻合题意.

3f%—2）v%—4

f3x>2x-；的解集在数轴上示意对的是（）

-I1----1---&>

A.-2-1012

B.-2-1012

I厂I1.A

c.-2-1012

—i---1।---»>

D.-2-102

【答案解析】C

【试题解答】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上

示意出来即可求解.

[3(x-2)<x-4®

(3x>2x-1(g)

由①得Ml；

由②得%>-1;

故不等式组的解集为-1<七1,

在数轴上示意出来为：

—」一厂11.A

-2-1012

x_3<1

3.不等式组，的解集为（)

3x+244x

A.x02B.x<\C.2«4D.42

【答案解析】C.

【试题解答】先求出每个不等式的解集,再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可.

解不等式X-3V1,得：xV4,

解不等式3户2W4x,得：x22,

・・・不等式组的解集为：2WxV4。

L--—x

4.（2021湖北随州）不等式组22的解集示意在数轴上，对的是（）

5x-2〉3（x+1）

2

5

45:

55

【答案解析】A

【试题解答】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根

据“大于向右，小于向左，包罗端点用实心,不包罗端点用空心”的原则解析选项可得答案.

解不等式尹1W7-得：x<4,

解不等式5x-2>3（户1）,得:x>^

，不等式组的解集为：-|<%<4

5.对于不等式组｛22、，下列说法对的是()

5x+2〉3(x-1)

A.此不等式组无解

B.此不等式组有7个整数解

C.此不等式组的负整数解是-3,-2,-1

D.此不等式组的解集是-趣〈后2

【答案解析】B.

【试题解答】本题考查了一元一次不等式组的整数解：操纵数轴确定不等式组的解(整数解).解决

此类问题的关键在「正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据问题中对于解集的限制得到

下一步所需要的前提，再根据得到的前提进而求得不等式组的整数解.

分别解两个不等式得到xW4和-2.5,操纵大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，

再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断.

点一4-永①

5x+2>3(x-1)②

解①得启4,

解②得x>-2.5,

所以不等式组的解集为-2.5VxW4,

所以不等式组的整数解为■2,-1,0,1,2,3,4.

-11

6.(2021重庆市)从-3,1,3这五个数中，随机抽取一个数，记为a,若数a使关于

，2'

蓝(2x+7)

>3Ya-2

x的不等式组4无解,且使关于x的分式方程言一行”有整数解，那么这5

X-a<0

个数中所有满足前提的a的值之和是()

「3

A.-3B.-2C-2

口1

【答案解析】B.

士(2x+7)>3

产9二，于是得到近-

【试题解答】根据不等式组｛3无解，求得aWl,解方程得

x-a<02

3或1,即可得到结论.

《(2x+7)>3

解：J3得，

x<a

x-a<0

4(2x+7)>3

•.•不等式组彳3无解,

x-a<0

aWl,

x_a-25~a

解方程-1得

x-33-x产一F’

尸口为整数，aWl,

2

a=-3或1,

...所有满足前提的a的值之和是-2

【点拨】本题考查领会分式方程，解一元一次不等式组，谙练掌握解分式方程和一元一次不等式组的

方式是解题的关键.

x-2>4

7.（2021四川省雅安市）不等式组，x的解集为（）

-<4

12

A.6Wx<8B.6<xW8C.2Wx<4D.2<xW8

【答案解析】B

【试题解答】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再找它们的公共部分，由第1个不等式得

x>6,由第2个不等式得xW8,它们的公共部分是6<xW8,故选B.

'5x+2〉3（xT）

8.（2021•山东省德州市）不等式组|1,3的所有非负整数解的和是（）

Eg亍

A.10B.7C.6D.0

【答案解析】A

【试题解答】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，

继而可得知不等式组的非负整数解.

'5x+2>3（x-l）①

解不等式①得：x>-2.5,

解不等式②得：xW4,

二不等式组的解集为：-2.5〈忘4,

二不等式组的所有非负整数解是：0,1,2,3,4,

二不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10

9.（2021•江苏无锡）某工厂为了要在规按期限内完成2160个零件的任务，于是放置15名工人每人

天天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人天天多加

工2个零件，则不能按期完成此次任务，由此可知a的值至少为（）

A.10B.9C.8D.7

【答案解析】B

【试题解答】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量<2160列出不等式并解答.

设原筹划力天完成，开工x天后3人外出培训，

则15a〃=2160,

得到an=144.

所以15a户12（歼2）（〃-x）<2160.

整理，得4x+4a/?+8〃-8A<720.

・・・H〃=144.

・・・将其代入化简，得a卢8〃-8xV144,即av+8/?-8x<an,

整理，得8(〃-x)<a(/?-%)

*：n>x、

：・n-x>0,

・♦.a>8.

・・・a至少为9.

10.（2021•浙江宁波）不等式的解为（）

2

A.x<lB.x<-1C.x>lD.x>-1

【答案解析】A

【试题解答】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可.

2

3-x>2x,

3>3x,

xVl

dm的解集在数轴上示意对的是（）

11.（2021黑龙江绥化）不等式组

B.―I-

0

【答案解析】B

【试题解答】解不等式组，用数轴示意不等式组的解集

解①得，x》l,

解②得,x<2,

二原不等式组的解集为lWx〈2,故选B.

12.（2021•绵阳）红星商店筹划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元

的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若

所获利润大于750元，则该店进货方案有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案解析】C

【试题解答】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200

元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列加关于x的不等式组，解之求得整数x的值即

可得出答案.

设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件,

'60x+100(50-x)<420C

根据题意，得：4

10x+20(50-x)>750'

解得：20Wx<25,

为整数，

...x=20、21、22、23、24,

...该店进货方案有5种。

二、填空题

13.（2021•黔西南州）不等式组工+2.1的解集为________.

h—r-°

【答案解析】-6W3.

【试题解答】起首分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可.

2%—6<3x(1)

->0②

54

解①得：尤>-6,

解②得：后13,

不等式组的解集为：-6<xW13

5x-l>3(x+I,)

14.(2021•黔东南州)不等式组1i'的解集为________.

-X-1<4--x

【答案解析】2—.

【试题解答】先根据解不等式的根基步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不

等式组的解集.

解不等式5x-l>3(x+1),得：x>2,

解不等式%-々4-3，得：xW6,

则不等式组的解集为2<xW6

15.(2021广东模拟)不等式组，的解集是__________.

l4x<3x+2

【答案解析】-1<XW2.

[2x+l〉x①

【试题解答】Lx<3x+2②

解不等式①得，x>-1,

解不等式②得，xW2,

所以不等式组的解集是-1<XW2.

6（2021四川内江模拟）任取不等式组上I”的一个整数解，则能使关于'的方程：2、+*=-

1的解为非负数的概率为.

【答案解析】|

>-3^（）<

【试题解答】不等式组2k+5>0的解集为一"IVAWB,其整数解为A=-2,-1,0,1,2,3.

其中，当4=-2,—1时，方程2x+A=-1的解为非负数.

所以所求概率

63

三4-1

17.（2021•河南）不等式组｛2、'的解集是—.

-x+7>4

【答案解析】xW-2.

【试题解答】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集.

解不等式上W-1,得：启-2,

2

解不等式-x+7>4,得：x<3,

则不等式组的解集为后-2

18.（2021内蒙古包头市）已知不等式组的解集为%>-1,则A的取值范畴是.

【答案解析】4W-2.

【试题解答】

不等式组

解不等式①得，%>-1;

解不等式②得，x>代1;

•.•原不等式组的解集为%>-1,

...A+1WT

解得，反-2.

19.（2021黑龙江大庆）已知x=4是不等式ax-3a-l<0的解，x=2不是不等式ax-3a-l<0的解,

则实数a的取值范畴是.

【答案解析】aW-l

【试题解答】；x=4是不等式ax—3a—1<0的解，所以4a—3a-1<0,a<l,

因为x=2不是不等式ax—3a—1〈。的解，

所以2a—3a—120,所以aW—1,所以aW—1.

x<3a+2

20.（2021•铜仁）参加不等式组｛的解集是x<a-4,则a的取值范畴是.

x<Ca-4

【答案解析】心-3.

【试题解答】解这个不等式组为“Va-4,

则3a+22a-4,

解这个不等式得a2-3

故答案a2-3.

三、解答题

(4(%+1)<7x4-13,

21.(2021•枣庄)解不等式组匕-8并求它的所有整数解的和.

%-4<—，

3

【答案解析】见解析。

【试题解答】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可.

(4(%+1)<7x+13®

［无一4<一②，

由①得，G-3,

由②得，x<2,

所以，不等式组的解集是-3Wx<2,

所以，它的整数解为：-3,-2,-1,0,1,

所以，所有整数解的和为-5.

22.（2021•哈尔滨）昌云中学筹划为地理兴趣小组采办大、小两种地球仪，若采办1个大地球仪和3

个小地球仪需用136元；若采办2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各几元;

（2）昌云中学决意采办以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以采办

几个大地球仪？

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元,根据前提创立方程组求出其解即可;

（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30-a）台,根据要求采办的总费用不超过960元,

列出不等式解答即可.

【试题解答】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元,根据题意可得：

x+3y=136

,2x+y=132'

x=52

解得：

.y=28'

答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元;

（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30-a）台,根据题意可得：

52次28(30-a)<960,

解得：aW5,

答：最多可以采办5个大地球仪.

23.（2021•辽阳）某校筹划为教师采办甲、乙两种词典.已知采办1本甲种词典和2本乙种词典共需170

元，采办2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.

（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价钱分别为几元？

（2）学校筹划采办甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可采办甲种词典几

本？

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）设每本甲种词典的价钱为x元，每本乙种词典的价钱为y元，根据“采办1本甲

种词典和2本乙种词典共需170元，采办2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于X,

y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设学校采办甲种词典加本，则采办乙种词典（30-加本，根据总价=单价X数量联合总费用不

超过1600元，即可得出关于勿的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【试题解答】（1）设每本甲种词典的价钱为x元，每本乙种词典的价钱为y元，

依题意，得：仁m乳，

解得:（；：50-

答：每本甲种词典的价钱为70元，每本乙种词典的价钱为50元.

(2)设学校采办甲种词典m本，则采办乙种词典(30-加本,

依题意，得：70»50(30-向W1600,

解得：加W5.

答：学校最多可采办甲种词典5本.

24.(2021福州模拟)某次常识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分.

(1)小明考了68分，那么小明答对了几道题？

(2)小亮获得二等奖(70〜90分)，请你算算小亮答对了几道题？

【答案解析】见解析。

【试题解答】(1)设小明答对了x道题，

依题意得：5x-3(20-x)=68.

解得：x=16.

答：小明答对了16道题.

(2)设小亮答对了y道题，

位.音出[5y—3(20—y)270

依题忌侍,t5y-3(20-y)W90,

1Q

是以不等式组的解集为16—Wj<18q.

y是正整数，

二尸17或18.

答：小亮答对了17道题或18道题.

6x-2>2(x-4)

25.(2021广西省贵港市)解不等式组：23-xx，并在数轴上示意该不等式组的解集.

.3--2~"~3

【答案解析】见解析。

【试题解答】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集.

解不等式6尤-2>2(1-4),得：x>--,

2

解不等式2一土三”一二得：x„i,

323

则不等式组的解集为-之<%,1,

2

将不等式组的解集示意在数轴上如下：

-----2---3---1------0X------1-------2

'2

4(x-l)<x+2,

26.(2021北京市)解不等式组：x+7

——>X.

3

【答案解析】x<2.

【试题解答】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取

公共部分根据“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.

4(x-l)<x+2①

x+7

------>x②

3

山①得4x-4<x+2

3x<6

x<2

由②得x+7>3x

7>2x

7

x<—

2

①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为x<2.

r4(x+l)<7x+13

27.(2021•江苏扬州)解不等式组《“x-8，并写出它的所有负整数解.

x-4\——

3

【答案解析】-3Wx<2,所有负整数解为-3、-2、-1.

【试题解答】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集.

解不等式4（x+1）W7x+13,得：X2-3,

解不等式、-4<2出，得：x<2,

3

则不等式组的解集为-3Wx<2,

所以不等式组的所有负整数解为-3、-2、-1.

22-1f_2r<4

28.（2021贵州省安顺市）先化简（1+——）4---r-------,再从不等式组《的整数解中

x-3x-6x+9[3x<2x+4

选一个符合的x的值代入求值.

【答案解析】见解析。

【试题解答】起首进行分式的加减运算，进而操纵分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得

出x的值，把已知数据代入即可.

原式方舟为_x-3

X4-1

-2A:<4

解不等式组〈得-2VxV4,

3犬v2犬+4

・,•其整数解为-1,0,1,2,3,

•.•要使原分式有意义,

...X可取0,2....当L0时，原式=-3,

（或当x=2时，原式=-1）

3

'2x+3（x-2）＜4①

29.（2021•新疆）解不等式组：x+3）2x-5_并把解集在数轴上示意出来.

岑＜篝+3②

【答案解析】见解析。

【试题解答】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

'2x+3（x-2）＜4①

‘告■陪»②

解不等式①得：x＜2,

解不等式②得：尤＞1,

二不等式组的解集为l＜x＜2,

在数轴上示意不等式组的解集为