第三章 平面与空间直线

第三章平面与空间直线第1页，课件共75页，创作于2023年2月第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1、方位向量

在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a,b称为平面的方位向量。

显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作为平面的方位向量。第2页，课件共75页，创作于2023年2月2、平面的向量式参数方程

在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的向量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第3页，课件共75页，创作于2023年2月3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）第4页，课件共75页，创作于2023年2月例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第5页，课件共75页，创作于2023年2月从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。第6页，课件共75页，创作于2023年2月特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o第7页，课件共75页，创作于2023年2月

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．二、平面的点法式方程1.法向量:注:1

对平面

,法向量n不唯一;2

平面

的法向量n与

上任一向量垂直.第8页，课件共75页，创作于2023年2月2.平面的点法式方程设平面

过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={x

x0,y

y0,z

z0},得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)第9页，课件共75页，创作于2023年2月例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第10页，课件共75页，创作于2023年2月nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2

M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(

1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9y

z15=0第11页，课件共75页，创作于2023年2月例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面

的方程。解：因为向量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法向量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第12页，课件共75页，创作于2023年2月三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.且法向量为n={A,B,C}的平面.第13页，课件共75页，创作于2023年2月例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第14页，课件共75页，创作于2023年2月2.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第15页，课件共75页，创作于2023年2月(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.第16页，课件共75页，创作于2023年2月(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0第17页，课件共75页，创作于2023年2月例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以

3B

C=0C=

3B所求平面方程为By

3Bz=0即:y

3z=0第18页，课件共75页，创作于2023年2月例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第19页，课件共75页，创作于2023年2月所求平面的方程为:即:(3)第20页，课件共75页，创作于2023年2月设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解第21页，课件共75页，创作于2023年2月化简得令代入体积式所求平面方程为第22页，课件共75页，创作于2023年2月若平面上的一点特殊地取自原点O向平面所引垂线的垂足，而的法向量取单位向量，设，那么由点和法向量决定的平面的向量式法式方程为：平面的坐标式方程，简称法式方程为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；②因为p是原点O到平面的距离，所以常数第23页，课件共75页，创作于2023年2月平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0与法式方程的互化取乘平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程在取定符号后叫做法式化因子选取的符号通常与常数项相反的符号第24页，课件共75页，创作于2023年2月例

把平分面的方程化为法式方程，求自原点指向平面的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离第25页，课件共75页，创作于2023年2月第二节平面与点的相关位置

设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。

在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)则P1P0={x0

x1,y0

y1,z0

z1}过P0点作一法向量n={A,B,C}于是:第26页，课件共75页，创作于2023年2月又A(x0

x1)+B(y0

y1)+C(z0

z1)=Ax0+By0+Cz0+D

(Ax1+By1+C

z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax

+By

+Cz

+D=0的距离:(4)第27页，课件共75页，创作于2023年2月例如:求点A(1,2,1)到平面

:x+2y

+2z10=0的距离第28页，课件共75页，创作于2023年2月第三节两平面的相关位置1、设两个平面的方程为：

1：A1x+B1y+c1z+D1=0(1)

2：A2x+B2y+c2z+D2=0(2)定理1：两个平面（1）与（2）相交

A1:B1:C1≠A2:B2:C2.

平行

重合

第29页，课件共75页，创作于2023年2月（1）定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.2、两平面的夹角第30页，课件共75页，创作于2023年2月（2）、两个平面的交角公式

设两个平面

1，2间的二面角用(1,2)表示，而两平面的法向量n1,n2的夹角记为θ=(n1,n2），显然有(1,2)=θ或-θ因此

1

n1n2

2第31页，课件共75页，创作于2023年2月3、两平面垂直的充要条件两平面(1)(2)垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0第32页，课件共75页，创作于2023年2月例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,

1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n={A,B,C}已知平面x+y+z=0的法向量n1={1,1,1}所以:n

M1M2

且n

n1

而M1M2={1,0,2}于是:A

(1)+B

0+C(2)=0

A

1+B

1+C1=0第33页，课件共75页，创作于2023年2月解得:B=CA=

2C取C=1,得平面的一个法向量n={2,1,1}所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0第34页，课件共75页，创作于2023年2月例6

研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角第35页，课件共75页，创作于2023年2月两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.第36页，课件共75页，创作于2023年2月练习题第37页，课件共75页，创作于2023年2月第38页，课件共75页，创作于2023年2月练习题答案第39页，课件共75页，创作于2023年2月

已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v

={X,Y}共线，求直线l的方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定的实数）又因为M0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式参数方程为

r=r0+tv(

＜t＜+)（2）矢量式参数方程为故得l的

第四节空间直线及其方程第40页，课件共75页，创作于2023年2月注1：参数t的几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。事实上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线的方向矢量：与直线l共线的非零矢量v称为直线l的方向矢量。（3）：直线的对称式方程由直线的参数方程（2）中消去参数t可得：对称式方程第41页，课件共75页，创作于2023年2月定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第42页，课件共75页，创作于2023年2月1、方位向量的定义：

如果一非零向量s={m,n,p},平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方位向量．二、空间直线的对称式方程

而s的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sM0L第43页，课件共75页，创作于2023年2月2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方位向量s={m,n,p}所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.//第44页，课件共75页，创作于2023年2月三、空间直线的参数式方程得:称为空间直线的参数方程.(3)令直线的一组方向数方位向量的余弦称为直线的方向余弦.第45页，课件共75页，创作于2023年2月例1:写出直线x+y+z+1=02x

y+3z+4=0的对称式方程.解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02x

y+4=0解得:所以,点在直线上.第46页，课件共75页，创作于2023年2月(2)再找直线的方位向量s.由于平面

1:x+y+z+1=0的法线向量n1={1,1,1}平面

2:2x

y+3z+4=0的法线向量n2={2,

1,3}所以,可取=4i

j

3k于是,得直线的对称式方程:第47页，课件共75页，创作于2023年2月例2:求通过点A(2,

3,4)与B(4,

1,3)的直线方程.解:直线的方位向量可取AB={2,2,

1}所以,直线的对称式方程为第48页，课件共75页，创作于2023年2月

第五节直线与平面的相关位置设直线和平面的方程分别为一、直线与平面的位置关系的充要条件定理1直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的充要条件：第49页，课件共75页，创作于2023年2月1o

相交：

AX+BY+CZ≠02o

平行

AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D≠03o

重合

AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0证：将直线方程改与为参数式第50页，课件共75页，创作于2023年2月将（3）代入（2）并整理得(AX+BY+CZ)t=-(Ax0+By0+Cz0+D)（4）因此，当且仅当AX+BY+CZ≠0时，（4）有唯一解这时直线与平面有唯一公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D≠0时方程（4）无解，这时直线与平面有没有公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0时方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。第51页，课件共75页，创作于2023年2月定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^二、直线与平面的夹角第52页，课件共75页，创作于2023年2月（1）直线与平面的夹角公式（2）直线与平面的位置关系：//

s//n

s

n第53页，课件共75页，创作于2023年2月例1:判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方位向量s={2,7,3}

的法向量n={4,2,2}s

n=(2)4+(7)

(2)+3(2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与

平行,但不重合.第54页，课件共75页，创作于2023年2月解:L的方位向量s={3,2,7}

的法向量n={6,4,14}

L与

垂直.第55页，课件共75页，创作于2023年2月解:L的方位向量s={3,1,4}

的法向量n={1,1,1}s

n=31+1

1+(4)

1=0又L上的点M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L与

重合.第56页，课件共75页，创作于2023年2月解为所求夹角．第57页，课件共75页，创作于2023年2月第六节空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系1、位置关系：共面异面相交平行重合2、相关位置的判定：设两直线L1,L2的方程为s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}第58页，课件共75页，创作于2023年2月定理1判定空间两直线L1，L2的相关位置的充要条件：（1）异面（2）共面∆=0相交：m1:n1:p1≠m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2≠(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合：m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)第59页，课件共75页，创作于2023年2月二、两直线的夹角定义:两直线的方位向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.s1s2

已知直线L1,L2的方程s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}第60页，课件共75页，创作于2023年2月1.L1与L2的夹角

的余弦为:2.L1垂直于L2

m1m2+n1n2+p1p2=03.L1平行于L2

第61页，课件共75页，创作于2023年2月解:直线L1,L2的方位向量s1={1,

4,1}

s2={2,

2,

1}有:所以:第62页，课件共75页，创作于2023年2月解设所求直线的方位向量为根据题意知取所求直线的方程第63页，课件共75页，创作于2023年2月解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令第64页，课件共75页，创作于2023年2月代入平面方程得,交点取所求直线的方位向量为所求直线方程为第65页，课件共75页，创作于2023年2月三、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离L0L1L2N1N2M1M2s1s2第66页，课件共75页，创作于2023年2月所以两异面直线L1，L2的距离为第67页，课件共75页，创作于2023年2月2、两直线的公垂线方程

公垂线可看为由过L1上的点M1，以v1,v1v2为方位向量的平面与过L2上的点M2，以v2,v1v2为方位向量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：其中{X，Y，Z}为v1v2

的分量。第68页，课件共75页，创作于2023年2月例1求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。解：设所求直线的方向矢为v={X,Y,Z},则直线为因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为v1={1,2,3},L2过点M2(1,2,3)，方向矢为v2={2,1,4}故第69页，课件共75页，创作于2023年2月即X-2Y+Z=0X+2Y-Z=0解得X:Y:Z