高职应用数学 8

应第8章无穷级数用数学高职本章内容3幂级数4函数展开成幂级数1常数项级数的概念和性质2常数项级数的敛散性8.1常数项级数的概念和性质01常数项级数的概念02常数项级数的基本性质8.1.1常数项级数的概念举一个具体例子，在计算半径为R的圆面积S时，可先作圆的内接正六边形ABCDEF，其面积记为u1，则u1就是圆面积S的一个粗略的近似值，如图8-1所示。图8-1如此继续进行n次，这个圆的面积就十分地近似等于圆内接正边形的面积：n越大，则近似程度越好。当时，和的极限，就是这个圆的面积，也就是说，圆面积S是无穷多个数累加的和，即定义1给定一个数列，则由这个数列构成的表达式

称为无穷级数，简称级数，记为，即

其中第n项un称为级数的一般项或通项。各项都是常数的级数称为常数项级数。作级数的前n项和，称为级数的部分和。定义2若级数的部分和数列有极限s，即，则称无穷级数

收敛，这时极限称为该级数的和，并写成

若数列没有极限，则称无穷级数发散。当级数收敛时，其部分和是级数的和s的近似值，它们之间的差值称为级数的余项。若，则部分和例1讨论等比级数（几何级数）的敛散性，其中，q称为级数的公比解

当时，因为，所以此时级数收敛，其和为。当时，因为，所以此时级数发散。若，当时，，级数发散；当时，级数

成为，sn随着n为奇数或偶数而等于a或零，所以sn的极限不存在，级数也发散。综上所述，如果，则级数收敛，其和为；如果，则级数发散。例2有A，B，C三人按以下方法分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；以此类推，直至无穷。验证：最终每人分得苹果的。解

据题意，每人分得的苹果为上式是的等比级数，因此其和为即最终每人分得苹果的。例3判别级数敛散性。解

此级数的部分和为显然，，因此该级数是发散的。例4判别级数敛散性。解

由于所以该级数收敛，其和是1。因此从而解

例5讨论调和级数的敛散性。但另一方面，故，矛盾。这说明级数必定发散。假若级数收敛且其和为s，sn是它的部分和。显然有及。于是。8.1.2常数项级数的基本性质性质1

如果级数收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks。性质2若级数分别收敛于s，σ，则级数也收敛于。解

例6判断级数的敛散性。由几何级数的敛散性可知，级数与均收敛，根据性质2可知级数收敛。性质3在级数中添加、去掉或改变有限项，不会改变级数的敛散性。但对于收敛级数，其和一般要改变。性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则。因为是级数收敛的必要条件，所以有以下推论。推论若级数的通项un不趋于零，即，则级数一定发散。解

例7判断级数的敛散性。因为故发散8.2常数项级数的敛散性01正项级数及其审敛法02交错级数及其审敛法03绝对收敛与条件收敛8.2.1正项级数及其审敛法定义1若级数的每一项均非负，即，则称级数为正项级数。定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，且，则（1）若级数收敛，则级数收敛。（2）若级数发散，则级数发散。解

当时，按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项……括在一起：例1求讨论级数的敛散性，其中常数。当时，。由于调和级数发散，由比较审敛法知，当时，该级数是发散的。即它的各项显然小于下列级数的各项：而此级数是等比级数，其公比，所以该级数收敛。从而根据正项级数比较审敛法可知，级数当时收敛。综上所述，对于级数，当时收敛；当时发散。解

例2判别级数的敛散性。因为，而级数是发散的，根据比较审敛法可知级数也是发散的。定理3（比较审敛法的极限形式）设给定正项级数和，则（1）若，且级数收敛，则级数收敛；（2）若或，且级数发散，则级数发散。解

例3判别级数的敛散性。因为，而级数发散，由定理3可知级数发散。解

例4判别级数的敛散性。因为，而级数发散，由定理3可知级数收敛。8.2.2交错级数及其审敛法定义2若级数的各项符号正负相间，即

则称该级数为交错级数。交错级数的一般形式为，其中。定理4（莱布尼茨定理）若交错级数满足条件：（1）；（2），则级数收敛，且其和。证明例5证明级数收敛。（1）此级数是交错级数，且满足（2）由莱布尼茨定理知，级数是收敛的，且其和。8.2.3绝对收敛与条件收敛定义3若级数各项的绝对值所组成的级数

收敛，则称原级数绝对收敛。定义4若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。定理5若级数绝对收敛，则级数必收敛。解

例6判别级数的敛散性。因为，而级数是收敛的，所以级数也收敛，从而级数绝对收敛。例7判断下列级数是否收敛，若收敛，是否为绝对收敛：（1）；（2）；（3）。解

（1）为交错级数，，故且。由莱布尼兹判别法知原级数收敛。但由于发散，故原级数为条件收敛。（2）由于，而为收敛级数，故原级数收敛，并且为绝对收敛。（3）的通项为。故。根据莱布尼兹判别法，知原级数收敛。因，且又因为，而级数发散，由比较审敛法知级数发散。故原级数为条件收敛。01函数项级数的概念02幂级数及其收敛性8.3幂级数03幂级数的运算8.3.1函数项级数的概念定义1给定一个定义在区间I上的函数列，由这函数列构成的表达式

称为定义在区间I上的函数项级数，记为。对于区间I内的一定点x0，若常数项级数收敛，则称点x0是级数的收敛点。若常数项级数发散，则称点x0是级数的发散点。函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域。在收敛域上，函数项级数的和是x的函数称为函数项级数的和函数，并写成。8.3.2幂级数及其收敛性定义2当函数项级数中各项都是幂函数时，即

则此级数称为幂级数，其中都是常数，称为幂级数的系数，称为幂级数的通项。幂级数更一般的形式为令，幂级数即化为幂级数。对于每一个确定的实数x0，幂级数变成如下的常数项级数：这个级数可能收敛，也可能发散，如果收敛，则称点x0是幂级数的收敛点；如果发散，则称点x0是幂级数的发散点，幂级数所有收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域，记作I。在收敛域上，幂级数的和是x的函数，通常称为幂级数的和函数。其定义域就是级数的收敛域，并记为。定理1设有幂级数，如果，则（1）若，当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散。（2）当时，对于任意x，幂级数绝对收敛；（3）当时，幂级数仅在点收敛。定理2设有幂级数，如果，则此幂级数的收敛半径为解

例1求幂级数的收敛半径与收敛域。因为所以收敛半径为。当时，幂级数成为，是收敛的；当时，幂级数成为是发散的。因此，收敛域为。解

例2求幂级数

的收敛域。因为所以收敛半径为，从而收敛域为。解

例3求幂级数

的收敛半径。因为所以收敛半径为，即级数仅在处收敛。解

例4求幂级数的收敛半径。级数缺少奇次幂的项，定理2不能应用，可根据比值审敛法来求收敛半径。幂级数的一般项记为。当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散，所以收敛半径为。解

例5求幂级数的收敛域。令，上述级数变为。因为当时，级数成为，此级数发散；当时，级数成为，此级数收敛。因此级数的收敛域为。因为，即，所以原级数的收敛域为。所以收敛半径。设幂级数及分别在区间及内收敛，则在与中较小的区间内可作加法、减法及乘法运算：8.3.3幂级数的运算性质1幂级数的和函数在其收敛域I上连续。性质2幂级数的和函数在其收敛域I上可积，并且有逐项积分公式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。性质3幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并且有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。解

例6求幂级数的和函数。求得幂级数的收敛域为。对上式从0到x积分，得设和函数为，即。显然。在的两边求导得于是，当时，有。从而解

例7求级数的和。考虑幂级数，此级数在上收敛，设其和函数为，则。在例6中已得到，于是即01泰勒级数02将函数展开成幂级数8.4函数展开成幂级数如果在点x0的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数特别地，当时，称它为的麦克劳林级数，即8.4.1泰勒级数为在点x0处的泰勒级数。记称为的泰勒多项式。记称为拉格朗日余项。定理设函数在x0的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域能展开成泰勒级数的充分必要条件是

其中（ξ介于x与x0之间）。1．直接展开法8.4.2将函数展开成幂级数把函数展开成x的幂级数的方法，其一般步骤如下：（2